三維Duffing混沌系統(tǒng)的H∞同步

譚 飛， 范 燾， 何 平

(1.四川理工學院 自動化與電子信息學院， 四川 自貢 643000；2.四川理工學院 人工智能四川省重點實驗室， 四川 自貢 643000； 3.澳門大學 科技學院 機電工程系， 澳門 氹仔 999078)

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三維Duffing混沌系統(tǒng)的H∞同步

譚 飛1，2*， 范 燾1，2， 何 平3

(1.四川理工學院 自動化與電子信息學院， 四川 自貢 643000；2.四川理工學院 人工智能四川省重點實驗室， 四川 自貢 643000； 3.澳門大學 科技學院 機電工程系， 澳門 氹仔 999078)

研究了一個新型三維Duffing混沌系統(tǒng)的H∞同步問題，這個新型的Duffing混沌系統(tǒng)是從經(jīng)典的Duffing混沌系統(tǒng)中引入一個狀態(tài)變量而得到的.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式技術，并結合Schur補定理，給出了這類混沌系統(tǒng)H∞同步的充分條件.數(shù)值仿真表明了本文所設計的H∞同步體制的有效性.

H∞同步； 三維Duffing混沌系統(tǒng)； 線性矩陣不等式； Schur補定理

在應用科學領域，Duffing方程是一個非常常見的非線性動力學方程，它是討論諸多工程實際現(xiàn)象(如周期激勵、非一致現(xiàn)象、非線性動力學振子等)的一個強有力工具[1]，因此，近些年來一直是一個研究熱點.同步是非線性動力學系統(tǒng)普遍要求的現(xiàn)象.混沌同步在生物、化學、醫(yī)藥、電子、信息科學、保密通信等領域中都有廣泛應用.相關報道層出不窮[2]，相關同步方法相繼被發(fā)現(xiàn)，諸如魯棒控制[3]、微分幾何方法[4]、最優(yōu)控制方法[5]、滑?？刂品椒╗6]，上述方法都可以廣泛應用于基于數(shù)據(jù)驅動的故障診斷[7-11].目前，對于Duffing方程的研究大多集中在二維狀態(tài)方程[12-15]，本文將對三維Duffing方程進行系統(tǒng)的研究，當響應系統(tǒng)和驅動系統(tǒng)在不同的外部激勵作用條件下，在本文所設計的H∞同步控制器的作用下仍然能夠達成同步.

1 三維Duffing混沌系統(tǒng)

許多工程問題，如壓力傳感器的非線性振動，基于位移激勵的生產(chǎn)包裝系統(tǒng)，其動力學模型動可以簡化為一個含有三次方項的受激勵擾動的Duffing方程如下：

(1)

其中，x(t)是未知的實函數(shù)，μ，ω，ε，f，Ω是已知的物理參數(shù).

Duffing系統(tǒng)(1)有一個特別的形式如下所示

(2)

圖1 二維Duffing混沌系統(tǒng)(2)的相軌跡Fig.1 Phase diagram of two-dimensional Duffing chaotic system (2)

引理1在x1(0)=0的條件下，二維Duffing混沌系統(tǒng)(2)等價于如下三維混沌系統(tǒng)：

(3)

證明根據(jù)參考文獻[1]，其結論是明顯的，因此省略.

在初始條件xT(0)=[0，1，0]的條件下，三維Duffing混沌系統(tǒng)(3)產(chǎn)生的混沌吸引子如圖2所示，其在x1-o-x2，x2-o-x3面的投影如圖3所示.

圖2 三維Duffing混沌系統(tǒng)(3)的相圖Fig.2 Three-dimensional Duffing chaotic system (3) phase diagram

圖3 三維Duffing混沌系統(tǒng)(3)的投影相圖Fig.3 Projection of three-dimensional Duffing chaotic system phase diagram

注1比較圖1與圖3可以得出系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(3)的相圖是基本一致的，其等價條件是x1(0)=0，x3(0)=0，否則系統(tǒng)(3)的狀態(tài)可能不是混沌的.

2 主要結果

三維Duffing混沌系統(tǒng)(3)可以寫成如下更緊湊的形式：

(4)

取系統(tǒng)(4)為驅動系統(tǒng)，構造響應系統(tǒng)如下所示：

(5)

其中,u是稍后設計的魯棒同步控制器.

注2從三維Duffing混沌系統(tǒng)(4)～(5)中可以看出來，其所受到的外部激勵的頻率與振幅均是不一致的，要實現(xiàn)其同步，必須設計一個H∞同步控制器.

定義誤差信號為

e=y-x,

(6)

其誤差動力學方程為：

(7)

定理1 對于給定H∞性能指標γ、正常數(shù)α和對稱正定矩陣S，若存在對稱正定矩陣P和任意矩陣X使得如下線性矩陣不等式

(8)

成立，則有控制器

u=K(y-x)=P-1X(y-x)

(9)

可以H∞同步系統(tǒng)(4)～(5)，且有

證明對誤差動力學系統(tǒng)(7)構造一個Lyapunov函數(shù)如下所示

V(e)=eTPe.

(10)

Lyapunov函數(shù)(10)沿誤差動力學系統(tǒng)(7)軌線的導數(shù)為

(11)

由混沌系統(tǒng)軌跡的有界性易知存在一個正常數(shù)α使得

(12)

由柯西矩陣不等式可知

(13)

將(12)～(13)式帶入(11)式有

(14)

在式(8)中，令X=PK，等價于

<0.

(15)

由Schur補定理知，(15)式等價于

(16)

將(16)式代入(14)式得

(17)

由(17)式易知在無擾動情況下，誤差動力學系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，在零初始條件下是滿足H∞性能指標γ的.證畢.

3 系統(tǒng)仿真

為了驗證本文結論的有效性，本節(jié)給出一個數(shù)值仿真，取k=1，ω1=2，ω2=4，r1=3，r2=5，從定理1，運用MATLAB LMI Control工具箱解線性矩陣不等式(8)，可得相關決策變量，進而可以解得H∞同步控制器增益矩陣為

因此，取狀態(tài)反饋控制律

(18)

即可H∞同步三維Duffing混沌系統(tǒng)(4)～(5).

在T=10 s時引入H∞同步控制器(18)后，誤差動力學系統(tǒng)的動態(tài)響應曲線如圖4所示.

圖4 誤差狀態(tài)變量受控前后的狀態(tài)向量歷程圖Fig.4 Error state vector history chart of the state variable at controlled before and after

4 總結

本文研究了三維Duffing混沌系統(tǒng)的H∞同步問題，包含兩個創(chuàng)新點，一是提出了一個與二維Duffing混沌系統(tǒng)等價的三維Duffing混沌系統(tǒng)；二是由于響應系統(tǒng)與驅動系統(tǒng)的外部激勵的振幅和頻率均不一致，因此，本文設計了一個H∞同步控制器.最后，數(shù)值仿真表明了本文方法的有效性.

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H∞synchronization of three dimensional Duffing chaotic system

TAN Fei1,2， FAN Tao1,2， HE Ping3

(1.School of Automation and Electronic Information， Sichuan University of Science & Engineering， Zigong, Sichuan 643000;2.Artificial Intelligence Key Laboratory of Sichuan Province， Sichuan University of Science & Engineering， Zigong, Sichuan 643000;3.Department of Electromechanical Engineering， Faculty of Science and Technology， University of Macau， Taipa, Macao 999078)

This paper focused on theH∞synchronization problem for a new three-dimensional Duffing chaotic system. Sufficient condition forH∞synchronization was developed in this paper by using Lyapunov stability theory， linear matrix inequality (LMI) scheme and Schur-complement theorem. It is demonstrated theoretically that the designedH∞synchronization controller can keep synchronization with three-dimensional Duffing chaotic system. Numerical simulation results to showed the effectiveness and feasibility of the proposed method.

H∞synchronization; three-dimensional Duffing chaotic system; LMI; Schur-complement theorem

2014-12-22.

國家自然科學基金項目(61203001); 四川省教育廳研究基金項目(14ZA0208、14ZA0203、14ZB0210); 四川理工學院培育項目基金項目(2014PY14); 企業(yè)信息化與物聯(lián)網(wǎng)測控技術四川省高校重點實驗室開放基金項目(2014WYJ01、2013WYY06); 人工智能四川省重點實驗室開放基金項目(2012RYJ01、2013RYJ01、2014RYY02); 四川理工學院科研基金項目(2012KY19)．

1000-1190(2015)03-0383-04

O415.5

A

*E-mail: 376055006@qq.com.