球對稱銣原子玻色-愛因斯坦凝聚中單極子模的朗道阻尼和頻移

彭勝強, 阿孜古麗·熱合木提, 馬曉棟

(新疆師范大學物理與電子工程學院, 烏魯木齊 830054)

球對稱銣原子玻色-愛因斯坦凝聚中單極子模的朗道阻尼和頻移

彭勝強, 阿孜古麗·熱合木提, 馬曉棟

(新疆師范大學物理與電子工程學院, 烏魯木齊 830054)

采用含時哈特里-?？?博戈留波夫近似研究球對稱銣原子玻色-愛因斯坦凝聚中單極子模的朗道阻尼和頻移, 并用現有實驗和數值模擬研究的粒子數和囚禁頻率參量, 解析計算了阻尼系數和頻移大小及其它們的溫度依賴. 計算中, 考慮元激發的實際弛豫及其各弛豫間的正交關系以獲得阻尼和頻移計算公式, 把基態波函數取為高斯分布函數的一級近似以消除三模耦合矩陣元的發散. 我們的計算結果與數值模擬結果和實驗結果分別進行直接和間接地對比, 討論和說明了我們理論方法的合理性.

玻色-愛因斯坦凝聚; 朗道阻尼和頻移; 哈特里-?？?博戈留波夫近似; 托馬斯-費米近似

1 引 言

玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensate, 簡稱 BEC)中的元激發是量子多體物理研究一個很好的課題[1-16]. 阻尼和頻移是元激發的主要特征、也是 BEC 最基本的現象并有大量的觀察實驗[17-24]. 雖然已有很多關于囚禁 BEC 中集體激發朗道阻尼的理論研究[25-44], 但是阻尼的物理機制還沒有得到充分的研究和理解. 盡管頻移是阻尼相伴的物理現象, 但只有文獻[42]在研究阻尼的同時計算了頻移.

集體激發動力學行為的研究在高溫高密度下采用二流體理論[25-30]、在低溫低密度的情況下采用平均場理論[31-44]. 在平均場理論框架下, 文獻[38-42]研究了非均勻囚禁諧振子勢阱中的 BEC 集體激發的朗道阻尼. 文獻[38-41] 在頻率改變的微擾公式中引入洛倫茲分布函數以獲得計算阻尼系數的公式, 但是這種方法有一些缺陷, 并且不適用于準一維(quasi-one-dimension, 簡稱 Q1d)和準二維(quasi-two-dimension, 簡稱 Q2d)的凝聚體[43，44]. 文獻[43，44]在頻率改變的微擾公式中考慮元激發的實際弛豫從而用迭代的方法計算阻尼系數. 在文獻[43，44]的基礎上, 文獻[42]又考慮了各弛豫之間的正交關系, 這個問題在 2.3節詳細討論.

由于囚禁在諧振子勢中的凝聚體復雜的非均勻特征, 文獻[25-38]對朗道阻尼的研究都是數值模擬的. 解析工作僅能通過托馬斯-費米近似(Thomas-Fermi-Approximation, 簡稱 TFA)實現, 而在 TFA 近似下三模耦合矩陣元是發散的. 三模耦合矩陣元利用關于基態波函數的格羅斯-皮塔耶夫斯基(Gross-Pitaevskii, 簡稱 GP)方程解和關于元激發本征函數集的博格留波夫-德熱納(Bogoliubov-de Gennes, 簡稱 BdG)方程組解計算出, 對計算阻尼系數非常重要. 文獻[39-41]提出了一種改進的 TFA(beyond Thomas-Fermi- Approximation, 簡稱 bTFA), 通過引入一個決定于變分法的參量q來消除發散而實現了阻尼的解析計算. 這種方法在文獻[42]中通過確定q=1進行了改進, 這個問題在 2.4 中詳細討論.

文獻[42]研究了雪茄形銣原子凝聚體單極子模的朗道阻尼和頻移, 其理論計算結果和文獻[20]中的實驗結果符合. 本文用同樣的方法計算球對稱銣原子凝聚體單極子模的朗道阻尼和頻移. 理論計算結果將與文獻[38]的數值模擬結果與文獻[18，20] 的實驗結果分別進行直接和間接地對比和分析.

2 關于朗道阻尼和頻移的哈特里-福克-博戈留波夫平均場理論

我們采用基于哈特里-?？?博戈留波夫(Hartree-Fock-Bogoliubov, 簡稱 HFB)平均場近似的解析 BdG 方程本征函數集[14]和頻率改變微擾理論公式[31], 在 2.1 和 2.2 節簡要介紹.

我們采用文獻[42]消除三模耦合矩陣元發散的方法和計算阻尼和頻移的公式, 在2.3和2.4節詳細討論.

2.1 BdG 方程的本征函數集

(1)

(2)

我們采用 HFB 近似[31], 得到凝聚體滿足的方程

(3)

(4)

(5)

由(3)式還可得到描述凝聚體激發部分的運動方程

(6)

(7)

(8)

(7) 式的基態波函數bTFA解為

(9)

(8) 式的元激發本征函數 bTFA 解為

(10)

其中的參量q將在 2.4 節討論.

2.2 集體模頻率修正公式及其阻尼強度和三模耦合矩陣元表達式

(11)

(12)

其中

(13)

(14)

在 (12) 式的右邊, 第一項是未修正的集體模頻率, 第二項是集體模的頻率修正. 滿足選擇條件ω0+ωi-ωj=0的準粒子躍遷對第二項的貢獻非常大. 頻率為 ωi的準粒子通過吸收一個頻率為 ω0激發模變成了頻率為 ωj的準粒子的躍遷是集體模頻率改變的朗道機制.

2.3 朗道阻尼和頻移的計算公式

由微擾理論推出的 (12) 式, 右邊第一項是集體模的零階頻率, 第二項是微擾修正, 第二項在 ω0+ωi-ωj=0 的條件下是發散的.

(15)

而把(15)式的虛部看作是集體模的朗道阻尼系數

(16)

上述方法在文獻[42]中進行了如下改進.

(17)

令 (17) 式的虛部為零, 得到

(18)

和

(19)

(20)

成效三：社會聲譽不斷提升。2013年1月，學校達到廣州市一級學校辦學標準，同年，學校的“嶺南藝術”特色課程獲得廣州市特色課程重點立項；2014年，學校成為廣州市特色學校，走進了優質學校行列。以前無人問津的薄弱高中得到了學生、家長以及教育同行的高度認可，區教育局、市教育局領導都充分肯定了學校藝術特色辦學成效。近年來，武漢、福建、中山、東莞等地以及廣州市多所學校師生來校參觀交流。學校的美術、音樂聯考成績在省、市內均具有一定的知名度。

(21)

其中, 上述三個弛豫ω→ω±iγ的正負號±分別對應于頻率ω的衰減和增加eiωt→e?γteiωt, 以上三個弛豫的正負號決定于朗道機制.

(21) 式既考慮了元激發的弛豫, 又考慮了各弛豫間關系的正交關系, 這是因為元激發的本征函數是正交的.

以同樣的物理考慮, 我們還可給出計算集體模頻移的公式

.

(22)

2.4 q 值的確定

因為TFA的本征值接近于實驗值, 我們采用TFA的元激發本征值. 因為TFA的元激發本征函數會導致三模耦合矩陣元的發散, 我們采用bTFA的元激發本征函數.

bTFA中引入參量 q>0 是為了消除三模耦合矩陣元的發散. 如果 q=0，文獻 [14] 中的bTFA退化為文獻 [13] 的TFA.

文獻[42] 對消除發散的方法改進如下.

3 計算及結果

3.1 阻尼強度

阻尼強度用 (13) 及 (14) 式來計算.

3.2 計算阻尼系數和頻移的現在方法

.

(23)

圖1 以躍遷ωij為變量的單極子模阻尼強度γij函數線狀圖Fig. 1 Histogram of damping strength γij as a function of the transition ωij for the monopole mode in the condensate

用迭代的方法計算集體模的阻尼系數.

圖2分別給出在溫度 KBT/μ=0.4, 0.8, 1.2(相當于T=87.6, 175.2, 262.8nK, 其中 μ=

24.4?ωho) 下 γ0(以ωho為單位) 隨 γ (以 ωho為單位) 變化的關系，我們取 N0=150000 和 ωho=1174Hz.圖2中用星號表示的三點處γ0=γ, 在KBT/μ=0.4, 0.8, 1.2下的集體模阻尼系數的數值在此三點給出, 分別為0.00079, 0.0012, 0.0015, 相當于0.93, 1.4, 1.8s-1.

圖2 關于朗道阻尼的γ0隨γ變化函數圖Fig. 2 The γ0 as a function of γ for the Landau damping

把 (22) 式改寫成

(24)

由于沒有直接的實驗報道, 以下我們在取相同原子、粒子數、囚禁頻率和溫度以及相近集體模頻率的條件下, 用球對稱凝聚體 (各向異性參量λ=1) 的計算結果與蝶形凝聚體(λ=2.83)[18]和雪茄形凝聚體(λ=0.0646)[20]銣原子的實驗結果分別進行間接地對比.

圖3 凝聚體集體模的朗道阻尼系數 γ0(a) 和頻移 (b) 隨溫度T的變化圖Fig. 3 The landau damping rate γ0(a) and frequency-shift(b) of the collective mode in the condensate as a function of the temperature T

圖4 同圖3, 但參量另取為N0=200000和ωho=1146 HzFig. 4 Same as Fig. 3 but for N0=200000 and ωho=1146 Hz

圖4給出了阻尼 γ0(以 s-1為單位)和頻移(以 ω的變化表示，以 ωho為單位)隨溫度 T(以nK為單位)的函數關系, 我們取文獻[20]中的參量 N0=200000 和 ωho=1146Hz. 阻尼計算值大約是文獻[20]實驗值的1/8, 頻移計算值大約是文獻[20]實驗值的1/4.

比較圖3和圖4可以看出阻尼和頻移的計算值都隨著粒子數 N0的增大而增大, 這與實驗結果是相符的.

雖然阻尼和頻移的計算值比實驗值小, 但這是合理的. 我們把(23)式寫為

(25)

3.3 計算阻尼系數的原來方法

本節考慮滿足條件 0.82ω0<ωij<1.18ω0的躍遷并用 (16) 式來計算阻尼系數, 這種方法是原來文獻[38-41]計算阻尼系數的方法.

以下，我們在取完全相同參量的條件下, 用原來方法計算阻尼系數, 并與3.2節現在方法的計算結果進行對比.

圖5給出了在溫度KBT/μ=0.4, 0.8, 1.2時γ0(以ωho為單位)和Δ/2(以ωho為單位)的函數關系, 我們取與圖2相同的參數 N0=150000 和 ωho=1174 Hz. 從圖5中可以看出當Δ/2的數值在0.015到0.05之間時γ0是緩變的, 因此在KBT/μ=0.4, 0.8, 1.2下γ0的計算數值在此緩變區域內讀出, 分別為0.013, 0.029, 0.044, 相當于15, 34, 52 s-1.

圖5 與圖2相同, 但是用原來的方法, Δ/2相當于γFig. 5 Same as Fig. 2 but for the previous method, Δ/2 correspond to γ

可以看出阻尼系數圖5中用原來方法計算結果大約是圖2中用現在方法計算結果的30倍. 這是因為原來的方法只考慮一個弛豫而現在的方法考慮三個弛豫及其各弛豫之間的正交關系. 比較 (16) 式和 (18) 式可以看出 (16) 式中的 Δ/2相當于 (18) 式中的 γ0, 我們可以用 (16) 式以迭代的方法計算 γ0并且能得到相同的結果, 因為在圖5中緩變區域內有三個γ0和 Δ/2 相等的用星號標出的點, 這樣原來的方法中引入洛倫茲分布函數就相當于考慮一個元激發的弛豫.

以下, 我們在取完全相同參量的條件下, 用原來的方法計算阻尼系數, 和文獻[38]數值模擬計算結果進行對比.

圖6給出了阻尼系數 γ0(以 ω0為單位) 隨溫度 KBT/μ 的函數關系, 我們取文獻[38]中的參數 ωho=1174 Hz、N0=50000 和150000. 圖6 給出的結果與實驗結果間接地對比也可以看出原來方法計算的阻尼數值偏大, 圖6采用的粒子數接近于文獻[20]的粒子數而遠大于文獻[18]的粒子數, 但計算的阻尼數值卻接近于文獻[18]的實驗值而遠大于文獻[20]的實驗值, 這不符合實驗結果的阻尼粒子數依賴. 而圖6中給出的解析計算結果和文獻[38]的數值模擬計算結果非常接近, 由于計算結果會隨著 q 的減小而增大、隨著 q 的增大而減小, 所以可以看出我們在解析方法中取 q=1 是合理的.

圖6 阻尼系數γ隨著溫度的函數關系 (原來的方法)Fig. 6 Damping rate γ as a function of the temperature (previous method)

4 結 論

我們應用哈特里-?？?博戈留波夫近似研究了球對稱銣原子玻色-愛因斯坦凝聚中的單極子模, 解析計算了這個集體模的朗道阻尼和頻移. 我們用現在方法計算的結果和實驗結果進行間接對比, 討論了在計算公式中考慮元激發的實際弛豫及其各弛豫間的正交關系合理性. 我們用原來方法計算阻尼系數的結果和數值模擬結果進行直接對比, 說明了基態波函數取高斯分布函數的一級近似的合理性. 因為原來的方法中存在一些缺陷, 阻尼尤其是頻移還沒有得到充分的研究, 所以我們的改進方法有助于理解玻色-愛因斯坦凝聚集體模阻尼和頻移的機制.

[1] Pethick C J and Smith H.Bose-Einsteincondensationindilutegases[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2002: 22.

[2] Stringari S. Collective excitations of a trapped bose-condensed gas [J].Phys.Rev.Lett., 1996, 77: 2360.

[3] Fetter A L. Ground state and excited states of a confined condensed bose gas [J].Phys.Rev. A, 1996, 53: 4245.

[4] Ruprecht P A, Edwards M, Burnett K,etal. Probing the linear and nonlinear excitations of bose-condensed neutral atoms in a trap [J].Phys.Rev. A, 1996, 54(5): 4178.

[5] Dalfovo F, Minniti C, Pitaevskii L P. Frequency shift and mode coupling in the nonlinear dynamics of a bose condensed gas [J].Phys.Rev. A, 1997, 56: 4855.

[6] Morgan S A, Choi S, Burnett K,etal. Nonlinear mixing of quasiparticles in an inhomogeneous bose condensate [J].Phys.Rev. A, 1998, 57(5): 3818.

[7] Hechenblaikner G, Maragò O M, Hodby E,etal. Observation of harmonic generation and nonlinear coupling in the collective dynamics of a Bose-Einstein condensate [J].Phys.Rev.Lett., 2000, 85(4): 692.

[8] Hodby E, Maragò O M, Hechenblaikner G,etal. Experimental observation of beliaev coupling in a Bose-Einstein condensate [J].Phys.Rev.Lett., 2001, 86: 2196.

[9] Maragò O M, Hopkins S A, Arlt J,etal. Observation of the scissors mode and evidence for superfluidity of a trapped Bose-Einstein condensed gas [J].Phys.Rev.Lett., 2000, 84: 2056.

[10] Khawaja U Al, Stoof H T C. Nonlinear coupling between scissors modes of a Bose-Einstein condensate [J].Phys.Rev. A, 2001, 65: 013605.

[11] Hechenblaikner G, Morgan S A, Hodby E,etal. Calculation of mode coupling for quadrupole excitations in a BEC [J].Phys.Rev. A, 2002, 65: 033612.

[12] Liu W M, Fan W B, Zheng W M,etal. Quantum tunneling of Bose-Einstein condensates in optical lattices under gravity [J].Phys.Rev.Lett., 2002, 88(17): 170408.

[13] Ma Y L, Chui S T. Analytical expressions for the hydrodynamic excitation spectrum of Bose-Einstein condensates in axially anisotropic traps [J].Phys.Rev. A, 2002, 65: 053610.

[14] Hu B, Huang G, Ma Y L. Analytical solutions of the Bogoliubov-de Gennes equations for excitations of a trapped Bose-Einstein-condensed gas [J].Phys.Rev. A, 2004, 69: 063608.

[15] Huang G, Szeftel J, Zhu S. Dynamics of dark solitons in quasi-one-dimensional Bose-Einstein condensates [J].Phys.Rev. A, 2002, 65: 053605.

[16] Li C, Ma X, Ma Y L,etal. Resonant interactions of collective modes in a quasi-one-dimensional attractive Bose-Einstein condensate [J].J.Phy.Soc.Jpn., 2013, 82: 044002.

[17] Anderson M H, Ensher J R, Matthews M R,etal. Observation of Bose-Einstein condensate a dilute atomic vapor [J].Science, 1995, 269: 198.

[18] Jin D S, Ensher J R, Matthews M R,etal. Temperature-dependent damping and frequency shifts in collective excitations of a dilute Bose-Einstein condensate [J].Phys.Rev.Lett., 1997, 78(5): 764.

[19] Jin D S, Ensher J R, Matthews M R,etal. Collective excitations of a Bose-Einstein condensate in a dilute gas [J].Phys.Rev.Lett., 1996, 77(3): 420.

[20] Chevy F, Bretin V, Rosenbusch P,etal. The transverse breathing mode of an elongated Bose-Einstein condensate [J].Phys.Rev.Lett., 2002, 88: 250402.

[21] Stamper-Kurn D M, Miesner H J, Inouye S,etal. Collisionless and hydrodynamic excitations of a Bose-Einstein condensate [J].Phys.Rev.Lett., 1998, 81(3): 500.

[22] Onofrio R, Durfee D S, Raman C,etal. Surface excitations in a Bose-Einstein Condensate [J].Phys.Rev.Lett., 2000, 84: 810.

[23] Maragò O, Hechenblaikner J, Hodby E,etal. Temperature dependence of damping and frequency shifts of the scissors mode of a trapped Bose-Einstein condensate [J].Phys.Rev.Lett., 2001, 86(6): 3938.

[24] Mewes M O, Andrews M R, Druten N J V,etal. Collective excitations of a Bose-Einstein condensate in a magnetic trap [J].Phys.Rev.Lett., 1996, 77: 988.

[25] Zaremba E, Griffin A, Nikuni T. Two-fluid hydrodynamics for a trapped weakly-interacting bose gas [J].Phys.Rev. A, 1998, 57: 4695.

[26] Zaremba E, Nikuni T, Griffin A. Dynamics of trapped bose gases at finite temperatures [J].J.LowTemp.Phys., 1999, 116: 277.

[27] Jackson B, Zaremba E. Quadrupole collective modes in trapped finite-temperature Bose-Einstein condensates [J].Phys.Rev.Lett., 2002, 88: 180402.

[28] Jackson B, Zaremba E. Accidental suppression of Landau damping of the transverse breathing mode in elongated Bose-Einstein condensates [J].Phys.Rev.Lett., 2002, 89: 150402.

[29] Morgan S A, Rusch M, Hutchinson D A W,etal. Quantitative test of thermal field theory for Bose-Einstein condensates [J].Phys.Rev.Lett., 2003, 91: 250403.

[30] Morgan S A. The response of Bose-Einstein condensates to external perturbations at finite temperature [J].Phys.Rev. A, 2004, 69: 023609.

[31] Giorgini S. Damping in dilute Bose gases: a mean-field approach [J].Phys.Rev. A, 1998, 57: 2949.

[32] Giorgini S. Collisionless dynamics of dilute bose gases: Role of quantum and thermal fluctuations [J].Phys.Rev. A, 2000, 61: 063615.

[33] Pitaevskii L P, Stringari S. Landau damping in dilute bose gases [J].Phys.Lett. A, 1997, 235: 398.

[34] Fedichev P O, Shlyapnikov G V, Walraven J T M. Damping of low-energy excitations of a trapped Bose-Einstein condensate at finite temperatures [J].Phys.Rev.Lett., 1998, 80(11): 2269.

[35] Reidl J, Csordás A, Graham R,etal. Landau damping of bogoliubov excitations in optical lattices at finite temperature [J].Phys.Rev. A, 2000, 61: 043606.

[36] Tsuchiya S, Griffin A. Landau damping of bogoliubov excitations in optical lattices at finite temperature [J].Phys.Rev. A, 2005, 72: 053621.

[37] Guilleumas M, Pitaevskii L P. Landau damping of transverse quadrupole oscillations of an elongated Bose-Einstein condensate [J].Phys.Rev. A, 2003, 67: 053607.

[38] Guilleumas M, Pitaevskii L P. Temperature-induced resonances and Landau damping of collective modes in Bose-Einstein condensed gases in spherical traps [J].Phys.Rev. A, 1999, 61: 013602.

[39] Ma X, Ma Y L, Huang G. Analytical calculations on Landau damping of collective modes in anisotropic Bose-Einstein condensates [J].Phys.Rev. A, 2007, 75: 013628.

[40] Ma X, Zhou Y, Ma Y L,etal. Landau damping of collective modes in a harmonically trapped Bose-Einstein condensate [J].Chin.Phys., 2006, 15 (8): 1871.

[41] Ma X, Ma Y L, Huang G. Landau damping of collective modes in a harmonicall trapped Bose-Einstein condensate [J].Chin.Phys.Lett., 2007, 24 (3): 616.

[42] Chai Z, Zhou Y, Ma X. Landau damping and frequency-shift of monopole mode in an elongated rubidium Bose-Einstein condensate [J].ActaPhys., 2013, 62(13): 130307(in Chinese)[ 柴兆亮, 周昱, 馬曉棟. 雪茄形銣原子玻色-愛因斯坦凝聚中單極子模的朗道阻尼和頻移[J]. 物理學報, 2013, 62(13): 130307]

[43] Ma X, Yang Z, Lu J,etal. Landau damping of collective mode in a quasi-two-dimensional repulsive Bose Einstein condensate [J].Chin.Phys. B, 2011, 20(7): 070307.

[44] Yang Z, Chai Z, Li C,etal. Landau damping of collective mode in a quasi-one-dimensional repulsive Bose-Einstein condensate [J].Commun.Theor.Phys., 2012, 57(5): 789.

Landau damping and frequency-shift of a monopole mode in a spherical rubidium Bose-Einstein condensate

PENG Sheng-Qiang, RAHMUT Arzigul, MA Xiao-Dong

(College of Physics and Electronic Engineering, Xinjiang Normal University, Urumchi 830054, China)

The Landau damping and frequency-shift of a monopole mode in a spherical rubidium Bose-Einstein condensate are investigated by using the Hartree-Fock-Bogoliubov approximation. The damping rate and frequency-shift magnitude and their temperature dependence are analytically calculated by using the parameters of particle number and traping frequency in the study of numerical simulation and experiment in existence. In the calculation, the practical relaxations of the elementary excitations and the orthometric relation among them are taken into account to obtain the calculation formula for damping and frequency-shift, and the first approximation of Gaussian distribution function is employed for the ground-state wavefunction to eliminate the divergence of the three-mode coupling matrix elements. Our calculation results are directly and indirectly compared with the numerical simulation ones and experimental ones, respectively. And all the comparison illustrate that our method is reasonable.

Bose-Einstein condensate; Landau damping and frequency-shift; Hartree-Fock-Bogoliubov approximation; Thomas-Fermi approximation

103969/j.issn.1000-0364.2015.12.018

2014-03-18

國家自然科學基金項目(11264039);新疆理論物理重點學科(LLWLY201202, LLWLY201203);新疆師范大學研究生科技創新項目(20131234)

彭勝強(1987—),男，四川綿陽人，碩士研究生，主要研究領域為理論物理.

馬曉棟. E-mail: xdma07@aliyun.com

O561

A

1000-0364(2015)06-1018-09