基于多重分形的貴金屬市場風險研究

孫夢野, 王仲君

(武漢理工大學 理學院 統計學系, 武漢 430070)

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孫夢野*, 王仲君

(武漢理工大學 理學院 統計學系, 武漢 430070)

近些年來,由于金融危機、歐債危機的出現和通貨膨脹的加重,具有避險保值功能的貴金屬成為了更多投資者的投資對象.然而貴金屬市場的價格波動是一個具有非線性特征的變化過程,分形理論為這種復雜的市場行為提供了一種新型的定量分析方法.本文對多重分形去趨勢波動分析法(MF-DFA)和重疊平滑窗MF-DFA方法進行改進,提出了二分重疊平滑窗MF-DFA方法(Bi-OSW-MF-DFA)并且證明了此方法具有更強的穩健性和更高的效率,再運用改進的模型結合標度指數和多重分形譜對黃金和白銀市場的多重分形特征和風險性進行研究.證實了貴金屬市場的多重分形結構由長程相關性和厚尾概率分布兩個因素共同決定,其中序列的波動性是造成貴金屬市場具有多重分形特性的主要因素;并且發現了白銀市場的多重分形強度較大,其風險高于黃金市場.

貴金屬市場; 多重分形; Bi-OSW-MF-DFA; 多重分形譜; 風險

隨著資本市場的發展,金融產品的品種日益豐富,貴金屬在多元投資組合中的交易日趨活躍.國家放開對黃金的管制促使黃金市場迅速發展,同時白銀作為現代金融交易手段的歷史沿革,伴隨黃金而沉浮,成為現代貴金屬市場重要組成部分.黃金和白銀作為貴金屬市場中主要的投資產品,其價格波動必然會引起人們的關注,特別是在金融危機來臨的時候,具有避險保值功能的貴金屬更是投資者青睞的對象.根據已有的研究可知:貴金屬市場價格的變化是一個具有非線性特征的變化過程[1].

1986年Mandelbrot[2]定義分形為:局部和整體有某種方式相似的形.近幾十年,分形理論得到了良好的發展,它為金融市場中所出現的一些問題提供了一種新的研究手段.分形理論與混沌理論是緊密聯系的,其中分形理論側重于研究非線性系統內部的確定性與隨機性之間的關系[3].多重分形理論有利于推動非線性理論在資本市場的可操作性應用,更好地認識資本市場的本質[4].借助于非線性系統理論,分形理論不僅可以為市場行為的許多復雜現象做出解釋,同時也提供了一個新型的定量分析方法.傳統的R/S方法(重標極差分析法)最初由英國水文學家赫斯特于1951年在研究尼羅河水壩工程時提出,用來分析時間序列的分形特征和長期記憶過程,但是這種方法只適用于簡單的分形.2002年,Kantelhardt[5]提出了多重分形去趨勢波動分析法(MF-DFA方法),它能夠發現非平穩時間序列中的長范圍相關性,而且能夠避免對相關性的錯誤判斷[6].目前,國內許多學者運用MF-DFA方法對股票市場的多重分形性質進行研究,并得到了較好的結果,但是在貴金屬市場上的應用較少.此外,MF-DFA方法在分割子區間時存在著弊端,在對整個序列進行分割后所形成的分割區間是不相連的,這導致相鄰分割區間上的擬合多項式不連續,從而可能引入新的偽波動,造成波動函數產生偏誤,引起標度指數的失真[7].因此,本文首先對MF-DFA方法和重疊平滑窗MF-DFA方法進行改進,再運用改進后的二分重疊平滑窗MF-DFA方法(Bi-OSW-MF-DFA方法)對黃金和白銀市場的分形特性進行研究,對比兩個市場分形的強度,從而對其風險進行分析.

1 二分重疊平滑窗MF-DFA方法的構建

由于MF-DFA方法對整個序列分割后所形成的分割區間是非連續的,鄭輝,王斌會[1]對其進行了修正,得到了OSW-MF-DFA方法,它在分割區間時對相鄰區間進行了一部分的疊加,在一定程度上降低了MF-DFA方法中的偽波動.為了保證數據的完整性,以上2種多重分形分析方法分別按順序和逆序對數據進行了處理,這樣順序分割的Ns個子區間和逆序分割的Ns個子區間會存在較多的重復信息,在擬合波動函數時誤差也會變大.本文將在MF-DFA方法和OSW-MF-DFA方法的基礎上進行改進,改進的思想是從減小偽波動著手,對區間的分割方式進行重新定義,使擬合波動函數的誤差減小,模型的效率提高;改進的方法首先將原序列均分為兩段,第一段數據進行順序的重疊分割,第二段數據進行逆序的重疊分割.具體步驟如下.

1) 記原序列的長度為N,求原序列對均值的累積離差,得到序列y(i):

(1)

2) 與原方法分割方式不同,首先將序列y(i)平均分為兩段,每段長度n=floor(N/2)(floor()表示向下取整運算),再對第一段時間序列進行順序分割,第二段時間序列進行逆序分割,每段都分割為Ns個長度為s的重疊的子區間,其中Ns=ceil((n-s)/(s-l))(ceil()表示向上取整運算),l(0

3) 通過最小二乘法擬合每一個子區間v(v=1,2,…,2Ns)上的局部趨勢pv(j),并用其消除區間中的局部趨勢,得到序列Zv(j):

Zv(j)=yv(j)-pv(j),j=1,2,…,s.

(2)

4) 分別計算2Ns個去趨勢子區間序列的均方值:

(3)

求序列的q階波動函數:

(4)

5) 確定波動函數的標度指數,首先固定階數q,通過雙對數圖分析Fq(s)和s的關系:

Fq(s)∝sh(q).

(5)

對于固定的階數q,每一種分割長度s都有一個波動函數Fq(s)與其對應.對上式兩邊取自然對數得到Ln[Fq(s)]～Ln(s)的關系,作出Ln[Fq(s)]和Ln(s)的函數關系圖,其斜率即為q階廣義Hurst指數.不同范圍內的Hurst指數描述了時間序列的不同性質[8]:H∈(0.5,1.0]時,時間序列具有長記憶性;H∈[0,0.5)時,時間序列具有反持久性;當H=0.5時,時間序列不相關,是一個獨立的隨機過程,即當前狀態不會影響將來狀態.

6) 通過MF-DFA方法得到的h(q)與經典多重分形標度指數(Renyi指數)τ(q)有下式中的關系:

τ(q)=qh(q)-1.

(6)

7) 對此式進行Legendre變換,可以得到多重分形譜分析中的奇異指數α和多重分形譜f(α):

α=h(q)+qh′(q),

(7)

f(α)=q[α-h(q)]+1=q2h′(q)+1.

(8)

多重分形的奇異指數α可以描述時間序列局部的特征,多重分形譜的寬度Δα(Δα=αmax-αmin)用來表示最大概率和最小概率之間的差值,多重分形譜f(α)反映了奇異指數α所對應的指數值出現的次數,多重分形譜f(α)與奇異指數α的關系圖可以體現概率分布的特征.對于一個時間序列,當多重分形譜f(α)是一個單一的值時,說明該序列具有單分形特征;當多重分形譜f(α)隨著奇異指數α的變化而變化時,說明該序列具有多重分形的特性.

2 黃金、白銀市場的多重分形特征和風險分析

2.1 數據選取與說明

本文研究針對的是貴金屬市場,選取的數據分別是現貨黃金(2008年1月2日到2013年12月31日)和白銀(2007年1月3日到2013年10月18日)的每日收盤價格,分別得到1 518和1 761個收盤價格,計算得到1 517和1 760個日收益率數據.數據來源于集金號黃金白銀分析軟件.

由于對數收益率可以消去價格變動對價格水平的依賴關系,同時以對數表示的價格間的差值也是收益率[9],對數據進行以下處理得到收益序列:設It為t時刻的收盤價格,則t時刻的收益率可表示為:

rt=ln(It)-ln(It-1).

圖1和圖2描述了現貨黃金和白銀的每日收益率隨時間變化的趨勢.為了進一步對數據進行分析,得到更精確的認識,分別對現貨黃金和白銀的收益序列進行描述性統計,得到表1.

圖1 現貨黃金每日收益率隨時間變化的趨勢(2008年～2013年)Fig.1 Daily return series history of spot gold market (2008～2013)

圖2 現貨白銀每日收益率隨時間變化的趨勢(2007年～2013年)Fig.2 Daily return series history of spot silver market (2007～2013)

表1 收益序列的基本統計量

從上表可知,現貨黃金和白銀的收益序列的偏度小于0,收益率分布呈左偏狀,兩序列的峰度均大于3,具有尖峰胖尾特征,說明現貨黃金和白銀的收益序列均不服從正態分布.

用傳統R/S方法對黃金收益率和白銀收益率進行分析,通過對log(R/S)和log(n)的圖形進行擬合(由于篇幅原因,只給出結果),得到的直線斜率分別是0.525 8和0.565 6.由于Hurst指數大于0.5,說明黃金收益率和白銀收益率具有長記憶性,但是對于具有多分形結構的時間序列而言,傳統R/S方法不適用,所以選用MF-DFA方法對市場進行進一步的分析.

2.23 種方法下黃金白銀市場的Hurst指數比較

在使用MF-DFA方法對市場進行分析的同時,也對此方法進行了改進.為證實構建的Bi-OSW-MF-DFA方法比MF-DFA方法和OSW-MF-DFA方法更具有穩健性,下面分別用3種方法對同一黃金和白銀收益率進行分析.在多重分析過程中,3種方法選用同樣的子區間分割長度和階數,以克服其他參數不同所造成的誤差,得出的Hurst指數h(q)和階數q的關系圖如圖3、圖4所示.

圖3 3種方法下的黃金收益率h(q)指數擬合圖Fig.3 h(q) of gold return series from three methods

圖4 3種方法下的白銀收益率h(q)指數擬合圖Fig.4 h(q) of silver return series from three methods

通過圖3和圖4可以發現,h(q)是依賴于q的遞減函數.比較3種方法的結果:由Bi-OSW-MF-DFA方法得到的h(q)的值較為集中,從表2的統計結果可得Bi-OSW-MF-DFA方法下兩序列的Hurst指數h(q)的波動都較小,對于黃金收益序列:Δh*=0.41853<Δh＾=0.52908<Δh=0.63666;對于白銀收益序列Δh*=0.52017<Δh＾=0.67432<Δh=0.72737.證實了二分重疊平滑窗MF-DFA(Bi-OSW-MF-DFA方法)具有較好的穩健性.

表2 3種方法下黃金和白銀收益序列h(q)和q的關系

2.3 貴金屬市場多重分形的成因分析

根據現有的文獻可知,時間序列中的多重分形行為存在兩種原因:一是由于小幅波動及大幅波動中不同的長范圍相關性造成的;另一種是由于波動的胖尾概率分布引起的[11].為了進一步研究貴金屬市場多重分形的成因,下面分別對數據進行處理得到重排序列和替換序列,重排過程充分地打亂了原序列的順序.相比原始序列,重排序列打亂了序列之間的相關性但保留其波動性,替換序列弱化了時間序列分布的非高斯性.因此,若多重分形只由長程相關性造成,那么重排序列的h(q)=0.5;若多重分形只由波動的胖尾概率分布造成,那么重排序列和原始序列的h(q)相同.當兩種因素同時存在,重排序列會表現出較弱于原始序列的多重分形特征.

運用具有較強穩健性的Bi-OSW-MF-DFA方法對現貨黃金和白銀收益序列的原始序列、重排序列和替換序列進行比較分析,得到如圖5、圖6結果.

圖5 3種黃金收益序列h(q)指數擬合圖Fig.5 h(q) versus the order q of three different gold series based on Bi-OSW-MF-DFA method

圖6 3種白銀收益序列h(q)指數擬合圖Fig.6 h(q) versus the order q of three different silver series based on Bi-OSW-MF-DFA method

由圖5和圖6可知:黃金和白銀收益序列經過重排后h(q)下降的幅度都要大于序列經過替換后h(q)下降的幅度,說明兩個市場中的價格波動對其多重分形特性的影響占主導作用.對比兩個市場可知:黃金重排序列比白銀重排序列的h(q)更加遠離0.5,即對原序列的相關性進行破壞后,黃金市場顯示出了更強的反持久性,說明黃金收益序列的相關程度更高.此外,黃金替換序列的Δh=0.09275明顯小于白銀替換序列的Δh=0.37624,說明黃金市場中波動的胖尾概率分布對其多重分形特征的影響要大于白銀市場.

表3 黃金和白銀各收益序列的Hurst指數變化

2.4 基于標度指數和多重分形譜的貴金屬市場風險分析

由圖7和圖8可知:黃金收益原始序列和白銀收益原始序列的τ(q)～q圖形有較強的非線性,并且兩個市場的重排序列的非線性都高于替換序列的非線性,說明重排序列對多標度的貢獻要強于替換序列.對比可知:白銀收益序列的τ(q)～q曲線的非線性更強,說明了白銀市場價格更不穩定,具有較高的風險性.

此外,多重分形譜對黃金和白銀收益率波動的多重分形特征進行了充分的描述.單分形中,多重分形譜f(α)是一個恒定的常數,不隨著奇異指數α的變化而變化.由圖9和圖10可知,所有序列的多重分形譜都是上凸的拋物線,證實了黃金和白銀市場中價格的多重分形行為.值得注意的是,雖然價格存在波動,但是黃金和白銀收益原始序列的多重分形譜展現了較好的對稱性,重排序列卻存在一個較長的右尾,說明實際市場的價格波動是較為均勻的.此外,多重分形譜的寬度可以反映金融市場的風險性.

圖7 黃金序列多重分形τ(q)～q圖形Fig.7 τ(q)～q of three different gold series

圖8 白銀序列多重分形τ(q)～q圖形Fig.8 τ(q)～q of three different silver series

白銀收益原始序列的多重分形譜寬度Δα=0.65352大于和黃金收益原始序列的多重分形譜寬度Δα=0.54466,說明白銀價格波動的幅度要更加強烈,白銀市場的風險性要高于黃金市場,但風險性大的市場意味著較高的收益,適合投機者進入.

對于兩個市場,重排序列和替換序列的多重分形譜寬度都有了明顯變化,再次證實了貴金屬市場多重分形成因是由2個因素共同決定的.經過替換處理后的多重分形譜寬度變窄幅度較大,說明了極端大的非高斯事件對時間序列的多重分形特征也有一定的影響.

圖9 黃金序列多重分形f(α)～α圖形Fig.9 f(α)～α of three different gold series

圖10 白銀序列多重分形f(α)～α圖形Fig.10 f(α)～α of three different silver series

3 總結

本文基于分形理論,對廣泛運用的MF-DFA方法進行改進并對貴金屬市場進行了研究,選取了現貨黃金市場和白銀市場作為研究對象,得出了以下結論.

1) 對多重分形去趨勢波動分析法(MF-DFA)進行改進,證實了修正后的二分重疊平滑窗的多重分形去趨勢波動分析法(Bi-OSW-MF-DFA)在多重分形分析上有更強的穩健性.一方面該模型減少了對信息的重復提取,減小了誤差;另一方面該模型具有更高的運算效率.

2) 貴金屬市場不符合單分形結構,具有明顯的多重分形特性,并且白銀市場的多重分形強度要高于現貨黃金市場的多重分形強度.說明對于投資而言,白銀市場的風險和收益要高于黃金市場.

3) 通過對黃金市場和白銀市場的原收益序列進行重排和替換處理,可以發現貴金屬市場的多重分形特征是由小幅波動及大幅波動中的不同的長程相關性和波動厚尾概率分布共同作用引起的,并且序列的波動性是造成貴金屬市場具有多重分形特性的主要因素.

4) 通過對黃金市場和白銀市場進行多重分形譜分析,發現白銀市場的多重分形譜寬度要大于黃金市場的寬度,證實了白銀市場的風險相對較高.多重分形譜寬度越寬,則市場的價格波動較強,回報率較高,說明白銀市場更適合投機;多重分形譜寬度越窄,則市場的價格波動較弱,風險也較低,說明黃金市場更適合投資者做套期保值.

在現實交易中,白銀市場更小的容量以及更高的投機傾向使其價格具有更大的波動率,并且本文通過實證分析得出了同樣的結論.除此之外,白銀存量的分散性以及更高的成本等因素也使其波動性顯著高于黃金市場.但是對比股票市場,貴金屬市場運行時間較短,風險較大,仍然是一個發展尚不成熟的金融市場,需要對其進行更加深入的研究,為更多的投資者提供全面的細節信息和有力支持.

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The risk of precious metal market based on multifractal analysis

SUN Mengye, WANG Zhongjun

(The Statistics Department of Science School, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070)

In recent years, with the aggravation of the global economic crisis and inflation, precious metals with safe-haven function have become increasingly popular. However, the price fluctuation of precious metals is a non-linear process, and multifractal theory has provided a new quantitative analysis method for these complicated market behaviors. In the present work, market Multifractal Detrended Fluctuation Analysis (MF-DFA method) and Overlapped Sliding Window-based MF-DFA (OSW-MF-DFA) are improved, generating a stronger model-Bi-OSW-MF -DFA method. Besides, the multifractal characteristics and risks of gold and silver market are analyzed in combination of the advanced model with scaling exponent and multifractal spectrum. It is found that a broad probability density function and different long-range correlations of small and large fluctuations are the two contributors for multifractality in precious metals market. Additionally, the risk of silver market is higher than the gold market.

the precious metals market; multifractal analysis; Bi-OSW-MF-DFA; multifractal spectrum; risk

2015-03-09.

中央高校基本科研業務費專項資金項目(2014-zy-162).

1000-1190(2015)06-0831-07

C812;F224

A

*E-mail: 277807614@qq.com.