以“認知沖突”促成“概念生成”
——以“加權平均數”教學為例

? 北京市第一○一中學懷柔分校 熊娟霞

1 教學價值分析

1.1 課標價值

統計學是一門關于收集、整理和分析數據的方法論科學,其目的是探索數據內在的數量規律為制定決策提供依據.統計與其他數學內容相比有其獨有的兩個特點,一是數據的變異性,二是統計強調背景的重要性.《義務教育數學課程標準(2022年版)》強調數據觀念是指對數據的意義有比較清晰的認識,理解數據整理、分析和推斷的作用,知道在現實生活中,有許多問題應當先做調查、收集收據,再通過數據分析作出判斷和決策,知道數據中蘊含著信息,對同樣的數據有不同的表達方式和分析方法.

1.2 大數據時代價值

在大數據時代下,教學中應注重培養學生感知數據分析能力的重要性.加權平均數的計算公式,在形式上是表示加權平均,而在程序上是分別計算,而分別計算這種方法是分布式計算的最簡單形式,是當下大數據計算的熱門算法.因此在加權平均數公式的推導過程中,教師應在大數據時代的宏觀背景下強調對加權平均數公式的解讀.

1.3 概念價值

學生對數學概念的正確理解是掌握基本知識的關鍵.概念是學生學習數學的起點,也是學生開展數學推理活動的重要依據[1].因此,在“加權平均數”的課堂教學中要不斷滲透“權”的概念,發展學生理性思維.

2 教材分析

從統計意義上來講,權即為頻數或次數,這樣更加貼合學科特點.人教版教材基于“權”站位于“頻數”和“重要程度”進行解釋,本文中以人教版《義務教育教科書?數學》八年級下冊第二十章第1節中的“加權平均數”教學為案例進行分析.

3 以教育價值為導向的教學過程設計

情境主線:以第32屆夏季東京奧運會為活動背景,分三個小組分別調查、收集本班同學日觀看奧運會的平均時間(取整數),并對調查數據進行整理,選擇合理的數學統計圖表進行描述,計算全班同學的日平均觀看時間.

創設意圖：以學生熟悉的生活情境為載體,讓學生親歷收集數據、整理數據、描述數據、分析數據等統計調查的過程,依據調查結果讓學生快速回憶統計量“平均數”的計算方法.

3.1 過程一:與“權”沖突

問題1根據表1,計算八年級三個班所有同學日人均觀看奧運會時間.

表1

教學說明：教師要抓住學生認知沖突的拐點,讓學生在認知上產生沖突.學生發現之前計算平均值的方法不能解決此問題,認識到三個班的日人均觀看時間不僅與“每個班的日均觀看時間有關”還與“每個班的人數有關”,“每個班的人數”即為概念“權”.

問題2增加每個班級的總人數(見表2),計算八年級三個班所有同學日人均觀看奧運會時間.

表2

教學說明：教師通過創設合適的教學情境,為學生搭建“腳手架”,讓學生初步感知“權”的計算過程,體會“權”的公式結構.

問題3改變每個班級的總人數(見表3),計算八年級三個班所有同學的日人均觀看奧運會時間.

表3

3.2 過程二:探“權”感知

情境主線:奧運會受到全世界人們的關注,現有A,B,C三個網站分別對網友上網看奧運會的時間進行統計.

問題4根據表4,求出三家網站所有客戶的日人均上網時間.

表4

活動探究：(1)擬定三組w1,w2和w3的值,根據表5進行思考、計算;(2)改變w1,w2和w3的值,對計算結果產生了怎樣的影響?

表5

生成預設:本次活動探究的生成空間較大,教學過程可以從兩方面進行預設.一是比值關系:當w1∶w2∶w3為同一固定比值時,對w1,w2,w3賦予同一比值的數據,得到的結果均相同.二是大小關系:當w1=w2=w3時,結果為4;當w1遠大于w2,w3時,結果更接近3;當w3遠大于w1,w2時,結果更接近于5.

問題5根據表6,求出n家網站所有客戶的日人均上網時間.

表6

教學說明：學生再次經歷從“特殊”到“一般”的歸納過程,得到加權平均數的計算公式,同時要注重數學文化對“權”概念的解讀,達到突出重點、突破難點的教學目的.

3.3 過程三:辨“權”答疑

問題6嘗試解釋問題1與問題3的結果為何相同?

教學說明：利用新知幫助學生解惑,并且厘清加權平均數與算術平均數之間的關系,充分體會加權平均數的內涵與本質,同時讓學生在探究過程中體會成功的喜悅.

3.4 過程四:知“權”應用

問題7北京冬奧會在即,奧組委招募語言服務志愿者(語言翻譯),甲、乙兩位同學的各項成績(百分制)如表7所示:

表7

(1)如果要選一名綜合能力較強的翻譯,應該選誰?

(2)如果要選一名筆譯能力較強的翻譯,能否同等看待聽、說、讀、寫的成績?若分別按20%,10%,30%,40%來計算他們的平均成績,該選誰?

(3)如果要選擇一名口語能力較強的翻譯,應該如何選擇?請你制定選拔標準,選出你認為合適的人.

教學說明：從不同層次設計問題,并通過設計開放性問題,讓學生經歷“知權”“用權”“賦權”等環節,加深對“權”概念的理解,應用“權”解決問題,培養學生數據分析觀念,提升數學素養.

3.5 過程五:對“權”總結

問題8利用思維導圖的形式對本節課進行總結.

師生共建知識框架,如圖1:

圖1

4 教學思考

4.1 基于認知沖突的概念自然生成

數學概念具有高度抽象性、概括性和嚴密性,數學概念是數學思維的起點[2].初中生正由形象思維向抽象思維過渡,教學過程中利用學生原有的認知結構與新概念產生認知結構的矛盾,即認知沖突,將會有效提高學生對新概念的理解水平.教師在教學設計中應該有意識地建構以認知沖突為生長點的新概念的生成,促進學生對新概念的理解和應用.

本教學案例中設置的“問題1”與“問題2”,“問題1”作為學生認知思維的出發點,“問題2”作為學生認知沖突的生長點,極大地激發了學生對新知的探究興趣.

4.2 創設合適的統計教學情境

“統計”教學注重將生活化的教育與實踐貫穿于教學過程中.因此在教學過程中,教師要有意識地讓學生體會數據分析的實踐作用,培養學生應用統計知識的實踐能力.在學生所熟悉的生活情境中,以案例分析的形式讓學生體會利用數據統計方法處理、解決實際問題的作用,著力培養學生的數據統計素養,提升學生對統計學知識的理解和應用能力.

本教學案例,通過設置學生熟悉的“奧運會”問題情境,呈現不同的信息表達形式,提高學生利用所學新知分析并解決實際問題的能力,掌握“加權平均數”在實際問題中的重要價值,整個教學情境設置中,力求呈現“低起點、高立意、有梯度”的總體設計教學流程.