超空泡航行體魯棒H∞絕對穩定控制

韓云濤，強寶琛，孫堯，白濤

(哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱150001)

在水中，當液體局部壓力下降到一定程度時，超空化現象就會出現。利用超空化現象可以極大地減小航行體受到的阻力，使得航行體速度的提高成為可能。HSSV幾乎整體包裹于空泡中，只有頭部的空化器和后面的尾舵與水接觸，隨之產生的強烈非線性滑行力以及空泡形態變化等都給HSSV的穩定控制和機動帶來了極大的困難［1］。國內外學者對HSSV的數學模型進行了研究:Dzielski等提出了一個4狀態2自由度模［2］，Kirschner等提出了一個12狀態6自由度模型［3］，Kulkarni等建立了一個4狀態3自由度模型［4］，并且均設計了相應的控制器以穩定系統。文獻［2，5-9］在Dzielski等提出的模型基礎上分別應用反饋線性化、圓判據和滑?？刂频确椒ㄟM行了穩定性分析和控制器設計。但是上述文獻對系統存在噪聲干擾的情況卻未加討論。以圓判據形式給出的絕對穩定理論是非線性系統穩定性分析和控制器綜合的有力手段，且特別適合處理系統非線性環節滿足扇形區域有界條件的情況。文獻［5-8］運用圓判據理論設計了控制器，在分析滑行力非線性特性的基礎上，將滑行力視作扇形區域有界不確定性進而設計了絕對穩定控制器。但是受限于圓判據本身所適用的模型形式，當系統存在噪聲干擾時，基于圓判據設計的控制器所獲得的系統魯棒性較差。近年來，從時域角度研究絕對穩定理論吸引了越來越多的學者的興趣。相較于頻域圓判據，時域絕對穩定判據在處理包含噪聲干擾等因素的系統時具有較強的魯棒性。本文考慮系統噪聲干擾，從絕對穩定理論的時域角度出發，提出了一種魯棒H∞絕對穩定控制器綜合方法。

1 HSSV數學模型及系統分析

1.1 數學模型

Dzielski研究了HSSV的一個基準控制問題［2］，被引用較多。本文在Dzielski提出的模型上繼續進行研究。其數學模型如下:

4個狀態z、θ、w、q分別為航行體深度，俯仰角，縱向速度和俯仰角速度，δc和δe是控制輸入，分別表示空化器轉角和尾舵轉角。同文獻［5，7］，本文中滑行力表達式為

式中:R'=(Rc－R)/R，Rc為空泡半徑，R為航行體半徑。浸入深度h'和浸入角α分別表示為

其余參數為Cz=1/2Cx，Cx=Cx0(1+σ)，其中σ表示空化數。R1=Rn/R，其中Rn為空化器半徑?？张莅霃绞湛s率為

1.2 系統模型變換

分析系統模型可知，動力學方程(2)只與w，q有關，運動學方程包含3個狀態變量z、θ和w，所以可將原系統(1)、(2)寫成2個子系統級聯的形式。為此，取η= [ z θ]T，ζ=[w q]T。令A2=，模型中其他矩陣定義如下:

超空泡航行體在運動過程中，不可避免會受到洋流擾動、系統內部噪聲等的影響?？紤]噪聲干擾時，式(1)、(2)有如下形式:

式中:Bω=I2為噪聲驅動矩陣，ω∈R2×1是噪聲向量且滿足ω(t)∈L2(0，∞)。

由于本文的設計目標之一是航行體能夠跟蹤給定深度指令，為此將式(3)、(4)的鎮定模型轉化成跟蹤模型。設zd、wd、θd、qd分別為給定的航行體深度指令、縱向速度指令、航行體俯仰角指令和俯仰角速度指令。令誤差向量ηe=η－ηd，ζe=ζ－ζd，其中ηd= [zdθd]T、ζd= [wdqd]T，代入式(3) (4)中替換η和ζ，得到

為了得到形如系統(3)(4)的backstepping跟蹤模型，式(5)中右側同時加減K1ηe有:

其中，

為新的狀態變量。由此，新的跟蹤模型應該是關于狀態變量向量ηe和αe的方程，為了得到關于αe的狀態方程，將式(8)對時間求導得)，將式(6)～(8)代入式(5)，整理得

其中，

再考察輸出向量，取C=[1 0]，y=w為唯一輸出，則有y=Cζ=C(ζe+ζd)，將式(8)代入得

綜上，得到了僅關于狀態變量向量ηe和αe的跟蹤模型如下:

式中:M=A1－K1是Hurwitz的，N=K1+A2。

1.3 滑行力非線性特性分析

如文獻［5-8］所述，滑行力是縱向速度w的函數，二者的關系如圖1所示。

圖1 滑行力與縱向速度的關系Fig.1 Relationship between vertical speed and planing force

由圖1和絕對穩定性定義可知，滑行力的非線性特性整體處于扇形區域(Km是標量，表示曲線上的點與原點之間連線最大斜率)內，即有φT(φ－Kmw)=φT(φ－Kmy)≤0，將式(11)代入該式可得

為滿足下面定理的證明，將式(13)寫成LMI的形式，即

2 控制器設計

由于系統中存在非線性滑行力，不能直接采用線性系統理論進行控制器設計。設計控制器時，可令u=B－1(ρ+N αe+Dφ+r)，得=r+Bωω。由此，非線性系統(12)轉換為線性積分器反步的形式［10］，只需設計r使αe漸近穩定則有ηe漸近穩定。但是缺點在于，上述控制器引入了非線性滑行力φ，該力的模型具有很大的不確定性，并且通常情況下難以準確觀測，這必然導致控制器的控制品質受到影響，嚴重時甚至導致控制發散。因此，設計狀態反饋控制律如下:

本文的目標是設計狀態反饋控制器(15)使得閉環系統(12)是內部穩定的，并且在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ。為此定義受控輸出o和目標函數Joω分別為

式中:C1=C2=D1=D2=I2。對于給定的標量γ＞0，把從噪聲ω到受控輸出o的傳遞函數Toω的H∞范數約束記做‖Toω‖ ＜γ，因為H∞范數在時域內等價于誘導2范數，所以采用如下表示方法:

定義 考慮如下系統:

式中:x∈Rn為狀態向量，A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rn×m為系統常數矩陣，φ(y)∈Rm×1是非線性函數，并且滿足

如果系統(18)對于所有滿足式(19)的非線性特性φj(·)，j=1，2，…，m，原點都是全局一致漸近穩定的，則稱系統(18)是絕對穩定的。其中，yj是向量y的第j個分量。

下面，將應用Lyapunov理論進行控制器設計。定義備選Lyapunov函數為

其中，對稱矩陣P＞0，Q＞0。對式(20)沿著系統(12)的軌跡求導，并將式(15)代入得

式中:φ11=MTP+PM，φ12=P－BTQ，φ22= (N－B K3)TQ+Q(N－B K3)，φ23=QD。

由式(17)有

由式(21)可得

由此，若Ξ＜0，那么有Joω＜0，即在零初始條件下，閉環系統具有給定的H∞擾動抑制水平γ。根據S－過程［11］，式(22)＜0成立當且僅當存在對稱矩陣P＞0、Q＞0，任意合適維數的矩陣K2、K3和標量ε≥0，使得

成立。其中，Ξ和Γ分別定義于式(22)和式(14)中。

根據Schur補［12］，式(23)等價于:

式中:X11=MTP+PM，X12=P－BTQ，X13=－εCTKm，X14=D1，X22=(N－B K3)TQ+ Q(N－B K3)，X33=－2εI，X23=QD+ε CTKm，X24Q B=ω+CT2D2。

觀察矩陣Π，若Π ＜0存在可行解，則對應的有χ＜0，χ=[Xij]，i，j=1，2，3存在可行解，觀察分別定義于式(21)和式(14)中的矩陣Θ和Τ的形式，則可得Θ+εΤ=χ＜0存在可行解，因而保證了ω=0時標稱系統的絕對穩定性。

由于Π中存在決策變量的非線性項，無法直接用LMI工具箱進行求解，所以對矩陣Π做合同變換，分別左乘 diag{P－1，Q－1，ε－1，I，I，I}和右乘diag{P－1，Q－1，ε－1，I，I，I} 。令L1=P－1，L2= Q－1，L3=P－1KT2，L4=Q－1，τ=ε－1有

式中:Y11=L1MT+M L1，Y12=L2－L3BT，Y13=－L1CTKm，Y14=L1D1，Y22=L2NT－L4BT+ NL2－B L4，Y23=τD+L2CTKm，Y24=Bω+

至此，得到了H∞絕對穩定控制器約束條件。即對于給定的標量γ＞0，若存在對稱矩陣L1＞0和L2＞0，矩陣L3、L4和標量τ＞0，使得式(25)成立，則閉環系統(14)在控制器K1及u=B－1ρ－K2ηe－K3αe下可以實現絕對穩定，且在零初始條件下，具有H∞性能指標γ。其中，K1是使M為Hurwitz矩陣的任意矩陣

3 仿真分析

采用前文設計的控制器進行仿真分析。選擇與文獻［2］相同的參數值，取V=75m/s，Rn=0.0191 m，R =0.0508 m，Cx0=0.82，n=0.5，σ=0.03，L=1.8 m，g=9.81 m/s2，m=2。為了使M=A1－K1為Hurwitz的，可以利用極點配置方法，取M的極點為[－6+2.7713i －6－2.7713i]，對應的反饋矩陣為。計算得到LMI的一個可行解為令為考慮噪聲干擾時，取噪聲干擾ω= [ω1ω2]T，其中，ω1=ω2=5sin(2πt)。另外，空化器和尾舵的飽和值分別設為20°和50°，仿真步長設為0.5 ms，經過2 s后，仿真結果如圖2和圖3所示。如圖2所示，標稱系統的4個狀態在1 s左右能夠準確跟蹤給定的階躍指令，受干擾系統的狀態的穩態誤差在可接受的范圍內。在仿真開始時，標稱系統與受干擾系統的尾舵偏轉角均出現飽和，其幅值受到限制。空化器偏轉角最大值為15°，未飽和。

圖3給出了正弦指令跟蹤響應曲線，從圖中可以看出，標稱系統與受干擾系統的狀態響應曲線幾乎重合，均能準確跟蹤給定指令。同樣，尾舵偏轉角在仿真開始也出現飽和。與圖2區別在于，由于圖3的跟蹤指令為正弦深度指令，和階躍指令相比，正弦指令雖然在仿真初始時的縱向深度指令

仿真過程中初始狀態設為z0=θ0=w0=q0=0，分別跟蹤階躍深度指令和正弦曲線深度指令，其中階躍指令為zd=1，θd=wd=qd=0，正弦曲線深度指，但是由于其俯仰角指令，即，最終導致控制輸出幅值變大，所以圖3中標稱系統和受干擾系統的空化器偏轉角在仿真初始均出現飽和。另外，在仿真過程中，空化器和尾舵偏轉角均在允許范圍內變化。

圖2 零初始狀態階躍響應曲線Fig.2 z-step input tracking responses under zero initial states

圖3 零初始狀態正弦響應曲線Fig.3 z-sine reference signal input tracking responses under zero initial states

4 結束語

針對超空泡航行體在航行過程中受到的強烈非線性滑行力和噪聲干擾問題設計了魯棒H∞絕對穩定控制器。仿真中，系統狀態能夠跟蹤給定指令，且誤差較小，表明了所設計的控制器的有效性。由于文章只考慮了噪聲干擾的影響，因此進一步考慮不確定性對超空泡航行體的影響并設計相應的控制器等問題都有待于研究。

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