基于力狀態映射法的航天器非線性鉸鏈參數辨識

吳爽，趙壽根，吳大方，羅敏

(1.北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京100191;2.中國空間技術研究院總體設計部，北京100080)

由于航天器載荷艙內空間的限制，航天器中的某些重要組件在發射前需要折疊放置，因此需要使用可轉動的鉸鏈連接結構來實現折疊組合構件的在軌展開。航天器上的鉸鏈結構形狀復雜，在外界載荷作用下，其內部零件間會產生碰撞及摩擦，使其結構的剛度和阻尼表現出較強的非線性特點，這些非線性動力學特點使得鉸鏈動力學參數的確定及其建模變得復雜且困難。航天器伸展機構的非線性主要來源于鉸鏈結構的非線性剛度和非線性阻尼［1］，因此確定鉸鏈結構的上述非線性動力學參數對建立航天器伸展機構的動力學模型非常重要。

國內外已有許多學者對鉸鏈的動力學特性進行了研究，以確定其動力學參數。Ren等［2］將鉸鏈與鉸鏈組合體的動態特性的區別假設為鉸鏈的影響，從它們結構的頻率響應函數中提取鉸鏈的參數。Wang［3］等根據測量得到的鉸鏈頻響函數估計了所有未測得的頻響函數，并辨識了組合結構中鉸鏈的線性動力學特性。以上文獻僅考慮了鉸鏈的線性特性，忽略了非線性因素對鉸鏈動力學特性的影響，因此依據其方法獲得的鉸鏈模型與實際結構間會有一定的誤差。王巍等［4］將航天器上的間隙鉸鏈簡化為由非線性彈簧組約束的非線性擺，并基于接觸理論建立了此類鉸鏈的分析模型。Boswald等［5］提出了一種應用頻率響應殘差辨識非線性鉸鏈參數的方法。系統辨識是獲得復雜結構動力學參數及模型的重要方法。目前，已有大量的基于時域或頻域的非線性動力學系統辨識方法［6－8］，其中，由Crawley［9－10］提出的力狀態映射法是一種重要的基于時域的非線性系統辨識方法，該方法將結構的非線性回復力表示為位移和速度三維空間上的單值曲面，其形狀反映了結構的各種線性和非線性特性。隨后，Kim等［11］提出了基于頻域的力狀態映射法。Masters等［12］將力狀態映射法應用于多自由度框架結構的參數辨識。Meskell［13］等將力狀態映射法應用于流體彈性系統，辨識了系統的線性和非線性剛度和阻尼參數。Namdeo等［14］應用再生核粒子法和克里金法對力狀態映射圖進行擬合，此方法適用于多自由度非光滑非線性系統。迄今為止，雖然已有學者對非線性鉸鏈結構的動力學參數進行了辨識［5，15－16］，但僅研究并獲得了鉸鏈結構的部分非線性參數，對實際的航天器非線性鉸鏈結構進行較為全面的動力學參數辨識和建模的研究還未見報道。

本文應用力狀態映射法對實際航天器太陽翼根部鉸鏈和板間鉸鏈結構進行了非線性動力學參數辨識。針對根部鉸鏈和板間鉸鏈結構的受力特點設計試驗測試方案，同時建立航天器復雜非線性鉸鏈結構的振動響應試驗測試系統，以獲得鉸鏈結構在不同頻率及激振力下的力與振動響應之間的關系。采用力狀態映射法對試驗中的2種鉸鏈結構分別進行非線性動力學參數辨識，并根據辨識結果建立描述鉸鏈結構非線性特性的動力學模型。

1 力狀態映射法

對于某個非線性彈簧質量阻尼系統，系統的狀態可以完全由其位移x和速度描述，系統的動力學模型可以表示為二階非線性微分方程:

式中:廣義阻尼C和廣義剛度K是系統狀態的函數。變換方程(1)中的各項可得

方程左側的FT代表系統整體傳遞的力，它是系統瞬時狀態的函數，稱為傳遞力。

由方程(2)可做出描述系統傳遞力FT和對應狀態(x)的三維曲面圖，稱為力狀態圖，它反映了系統的傳遞力FT、位移x和速度的關系，從圖中可以提取系統的動力學參數。為了得到系統的力狀態圖，需要系統每一時間段的位移、速度、加速度和外力的值。圖1為某一線性彈簧質量阻尼系統的力狀態圖，如圖所示為一個傾斜的平面，其中傳遞力對位移的斜率即為系統的線性剛度k，對速度的斜率即為系統的線性阻尼c。

由以上原理可得應用力狀態映射法辨識系統動力學參數的一般步驟為:1)選擇一定的動態力施加于被辨識系統，同時測量被辨識系統在該力作用下的位移和速度等狀態參量;2)對被辨識系統的動力學試驗數據進行處理，并生成力狀態圖;3)從力狀態圖中提取被辨識系統的剛度和阻尼等動力學參數。

圖1 線性彈簧質量阻尼系統的力狀態圖Fig.1 Force-state map of a linear spring mass damper system

2 鉸鏈振動試驗

2.1 試驗對象的動力學特性分析

根部鉸鏈和板間鉸鏈是航天器上2種常用的連接結構，它們在航天器主體與太陽能帆板及板間起著重要的連接作用。航天器發射時，通過鉸鏈連接的太陽能帆板折疊在運載工具內，入軌后展開成工作狀態，根部鉸鏈和板間鉸鏈鎖定。此時，由于太陽能帆板結構尺寸大、剛度低、柔性高，當受到外擾作用時便會產生強烈的振動，而鉸鏈結構的非線性特點使其振動表現出較強的非線性特性。因此，分析此時鉸鏈的動力學特性，確定其動力學參數是對系統實施振動控制的前提。本文主要研究處于鎖定狀態下的根部鉸鏈和板間鉸鏈的動力學特性。由于大多數太陽能帆板為矩形結構，其橫向彎曲剛度較小，當受到外擾作用時，在一定條件下將表現為以橫向一階彎曲為主的彎曲振動，根部鉸鏈和板間鉸鏈主要承受彎矩，由此可將它們近似為單自由度的非線性結構。

2.2 根部鉸鏈振動試驗

由力狀態映射法的原理可知，在辨識系統的動力學參數前，首先應得到系統在外力作用下的響應。本節針對根部鉸鏈和板間鉸鏈的結構及在系統中的受力特點，分別設計并實施了振動試驗，以獲得系統辨識所需的試驗數據。

試驗對象采用真實的某型號航天器太陽翼根部鉸鏈，如圖2所示。振動試驗采用單頻激勵法。由于應用此鉸鏈的太陽翼結構固有頻率在3～6 Hz較為密集，因此分別采用3、4、5、6 Hz的單頻信號作為激勵信號對根部鉸鏈實施振動試驗。

試驗中需要得到的物理量有根部鉸鏈端部所受的動態力矩和其整體結構的動態彎曲角。為了便于試驗中力的施加和狀態參數的測量，在鉸鏈的一端連接了一個附加梁，并將其另一端固定于試驗臺上，其整體系統的示意圖和實物圖如圖3所示。試驗采用電磁激振系統對鉸鏈施加不同頻率的激振力，它由功率放大器和激振器組成。激振器底端固定，通過一根直桿將其產生的激振力施加于附加梁端部的激振點。采用應變片和動態應變儀測量附加梁與鉸鏈連接處的動態應變。采用激光非接觸振動測試系統測量鉸鏈端部的動態位移。圖4顯示了根部鉸鏈應變和位移測點的布置情況。

圖2 根部鉸鏈結構圖Fig.2 Structure diagram of the joint at the root of solar arrays

圖3 根部鉸鏈試驗系統Fig.3 The experimental system of the joint at the root of solar arrays

試驗實施時，在一定的控制信號下，激振器產生相應頻率的激振力，附加梁在激振力的作用下運動，并對下端連接的鉸鏈施加以動態力矩。在一定的采樣時間和采樣頻率下，通過應變片和動態應變儀可測量得到附加梁下端應變測點處的動態應變值，由此動態應變可計算出此處附加梁截面的動態彎矩，而此動態彎矩近似等于鉸鏈上端部所受的動態力矩。通過激光非接觸振動測試系統可測量得到鉸鏈上、下端位移測點處的位移值，進而可計算出鉸鏈在上述動態力矩作用下產生動態變形對應的動態彎曲角。通過數據采集與處理系統采集和記錄以上動態應變和位移的時間歷程曲線。

圖4 根部鉸鏈應變和位移測點布置圖Fig.4 Strain and displacement measuring point arrangement of the joint at the root of solar arrays

2.3 板間鉸鏈振動試驗

試驗對象采用真實的某型號航天器太陽翼板間鉸鏈，如圖5所示。振動試驗同樣采用單頻激勵法。需要得到的物理量有板間鉸鏈端部所受的動態力矩和其整體結構的動態彎曲角。測試系統同樣采用鉸鏈與附加梁的連接形式，其整體系統的示意圖和實物圖如圖6所示。試驗設備和試驗過程與根部鉸鏈振動試驗的相同。圖7顯示了板間鉸鏈應變和位移測點的布置情況。

圖5 板間鉸鏈結構圖Fig.5 Structure diagram of the joint between solar arrays

2.4 試驗結果

由以上根部鉸鏈和板間鉸鏈的振動試驗測得的數據可分別計算出它們在一定的激振力作用下的動態力矩和動態彎曲角。試驗中，動態應變儀測量應變數據時采用全橋連接方式，因此，附加梁下端部的應變為

式中:ε1(t)、ε2(t)、ε3(t)、ε4(t)分別代表同一時刻測得的應變測點1、2、3、4處的應變值。

鉸鏈上端部所受力矩近似等于附加梁下端部截面的彎矩，其計算公式為

式中:EIz為附加梁的彎曲剛度，h為附加梁的截面高度，β為應變片的位置修正系數。

鉸鏈的彎曲角可由下式計算:

式中:d1(t)、d2(t)和d3(t)分別為同一時刻測得的位移測點1、2和3處的位移值，L為鉸鏈的長度。

圖6 板間鉸鏈試驗系統Fig.6 The experimental system of the joint between solar arrays

圖7 板間鉸鏈應變和位移測點布置圖Fig.7 Strain and displacement measuring point arrangement of the joint between solar arrays

由于根部鉸鏈和板間鉸鏈的試驗裝置和測點布置相似，因此上述計算公式適用于2種鉸鏈物理量的計算。圖8為激振頻率為3 Hz時，根部鉸鏈和板間鉸鏈的力矩－彎曲角的曲線。圖8所示的力矩－彎曲角的遲滯回線充分體現了2種鉸鏈結構中剛度和阻尼的復雜非線性特點。

圖8 激振頻率為3 Hz時根部鉸鏈和板間鉸鏈力矩－彎曲角曲線Fig.8 Moment vs.bending angle of the joint at the root of solar arrays and the joint between solar arrays driven at 3 Hz

3 鉸鏈動力學參數辨識

3.1 基于力狀態映射法的參數辨識

鉸鏈的振動試驗分別得到了2種鉸鏈在4種激振頻率下的力矩和對應的彎曲角，對彎曲角進行數值微分即可得到相應的角速度和角加速度值，從而得到傳遞力矩MT和對應的狀態 θ，θ·( )。

圖9 激振頻率為3 Hz時根部鉸鏈和板間鉸鏈的力狀態圖Fig.9 Force-state map of the joint at the root of solar arrays and the joint between solar arrays driven at 3 Hz

由于由試驗數據得到的傳遞力矩在狀態空間中成螺旋狀旋轉，無法直接做出傳遞力矩MT與對應的彎曲角θ，角速度θ·的三維曲面圖，因此，可將彎曲角和角速度值的區間分別分成n個子區間，對其進行排列組合得到n×n個子區域，然后對每個區域對應的所有傳遞力矩取平均值M'T(i)，其中i=1，2，…，n，即可做出傳遞力矩M'T(i)與對應狀態區域的三維力狀態曲面圖。圖9顯示激振頻率為3 Hz時根部鉸鏈和板間鉸鏈的力狀態圖。

由圖9可以看出，2種鉸鏈的力狀態圖形狀相近，并且都表現了高度的非線性特點。2種鉸鏈的傳遞力矩在角速度為零時發生階躍，此現象表明它們的結構中存在著庫倫摩擦力矩。對于同一角速度，它們的傳遞力矩隨彎曲角呈非線性變化，這表明它們的結構中存在著非線性彈性力，可用線性彈簧、二次和三次非線性彈簧共同描述。此外，圖9還顯示了它們的傳遞力矩與角速度呈線性關系，這表明2種鉸鏈結構中還存在著線性粘性阻尼。基于以上分析可得2種鉸鏈的傳遞力矩表達式:

其中，方程左側為傳遞力矩;右側第1項為線性阻尼力矩，c1為線性阻尼系數;第2、3和4項為非線性彈性力矩，k1為線性彈簧剛度系數，k2和k3為非線性彈簧剛度系數;第5項為庫倫摩擦力矩，MF為庫倫摩擦因數。對式(6)進行變換可得到2種鉸鏈的動力學方程:

為了確定2種鉸鏈的各動力學參數值，應用最小二乘法分別對圖9所示的根部鉸鏈和板間鉸鏈的力狀態圖進行曲面擬合。擬合時以彎曲角和角速度為自變量，采用二元三次多項式作為擬合函數，擬合后的均方根誤差分別為0.787 N·m和0.494 N·m，所得多項式的各項系數即分別為2種鉸鏈的動力學參數。基于以上步驟，分別對2種鉸鏈在激振頻率為4、5、6 Hz時的試驗數據進行參數辨識，表1和表2列出了2種鉸鏈的參數辨識結果。

表1 根部鉸鏈的參數辨識結果Table 1 Identified parameters of the joint at the root of solar arrays

表2 板間鉸鏈的參數辨識結果Table 2 Identified parameters of the joint between solar arrays

3.2 結果與分析

通過對2種鉸鏈力狀態圖的分析得到根部鉸鏈和板間鉸鏈結構中的線性和非線性動力學特性主要有線性彈簧剛度、線性粘性阻尼、庫倫摩擦、二次和三次彈簧剛度。這些動力學特性體現了2種鉸鏈結構所具有的復雜動力學特點。其中，庫倫摩擦是鉸鏈的非線性阻尼，是由鉸鏈結構中零件間的接觸和碰撞產生的。二次和三次彈簧剛度是鉸鏈的非線性剛度，是由鉸鏈中的彈簧結構產生的。這些非線性結構特點是造成鉸鏈非線性行為的主要原因。

由表1和表2中2種鉸鏈的參數辨識結果可以看出，在所選頻率范圍內，各參數的標準差均較小，且各參數值隨頻率變化無明顯的規律，這表明辨識參數基本不受頻率變化的影響。因此，可取其平均值代入式(7)，即可獲得2種鉸鏈的動力學方程。

另外，2種鉸鏈的參數辨識結果還顯示了根部鉸鏈的各參數值都遠大于板間鉸鏈的各參數值。例如，板間鉸鏈的二次彈簧剛度系數的平均值為－1.927×105(N·m)/rad2，根部鉸鏈的相應參數值為 －6.273×105(N·m)/rad2，是板間鉸鏈的326%;板間鉸鏈的三次彈簧剛度系數的平均值為－2.684×109(N·m)/rad3，根部鉸鏈的相應參數值為 －7.425×109(N·m)/rad3，是板間鉸鏈的277%。這表明，在航天器系統設計時需要特別重視根部鉸鏈對整體系統動力學特性的影響。

通過振動響應試驗，采用力狀態映射法辨識了2種鉸鏈結構中的多種線性及非線性動力學參數，并初步建立了它們的動力學模型。同以往文獻中對鉸鏈的研究相比，本文采用了真實的具有復雜非線性動力學特點的航天器鉸鏈結構，分析并辨識了其結構中的多種線性和非線性動力學特性，并基于此建立了描述其結構非線性特點的動力學方程，為建立精確的航天器系統模型及進一步實施主動控制提供了重要的理論參考。本文基于根部鉸鏈和板間鉸鏈結構在航天器系統中的受力特點，將它們近似為單自由度的非線性結構，而對于航天器的其他連接結構，可根據其受力特點，將其模型推廣至多自由度，應用基于多自由度的力狀態映射法對其進行參數辨識。

4 結束語

本文針對航天器伸展機構中鉸鏈的非線性動力學特點，利用由試驗獲得的真實鉸鏈的動力學試驗數據，采用力狀態映射法辨識了太陽翼根部鉸鏈和板間鉸鏈結構中的多種線性及非線性動力學參數，并在此基礎上建立了鉸鏈的非線性動力學模型。由于動力學試驗采用了真實的航天器復雜非線性鉸鏈結構，且運用了非線性系統辨識方法對試驗數據進行多種動力學參數的辨識，因此所建模型能夠反映真實鉸鏈的非線性剛度、摩擦及阻尼特性。本文應用力狀態映射法辨識非線性鉸鏈動力學參數的方法適用于航天器中其他連接結構的參數辨識，其辨識結果也為進一步分析航天器伸展機構的動力學特性提供了理論參考。

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