SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)解析性能分析

王振凱，黃顯林

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，黑龍江哈爾濱150080)

通常在設(shè)計(jì)SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)，都要對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)的性能進(jìn)行預(yù)估，以期望設(shè)計(jì)出的組合導(dǎo)航系統(tǒng)能夠達(dá)到所要求的精度。一般情況下此過程都是通過Monte-Carlo仿真［1］和方差分析的方法［2］對(duì)誤差模型進(jìn)行分析。Kalman濾波技術(shù)也是分析INS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)性能分析的有效手段，文獻(xiàn)［3］提出自適應(yīng)Kalman濾波算法來分析INS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)，并和傳統(tǒng)的Kalman濾波方法進(jìn)行了比較，徐慧娟等［4］分別采用了EKF和UKF算法處理非線性INS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差方程，得出了UKF更實(shí)用的結(jié)論。由于INS的誤差模型是時(shí)變的并且與載體的動(dòng)態(tài)特性以及軌跡緊密聯(lián)系［6］，絕大部分組合導(dǎo)航系統(tǒng)分析都是基于仿真得出結(jié)論，還沒有相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)組合導(dǎo)航系統(tǒng)從解析角度進(jìn)行分析。

本文從SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的濾波模型出發(fā)，經(jīng)過簡(jiǎn)化得到定常組合導(dǎo)航誤差模型，利用Kalman濾波的穩(wěn)定性，通過代數(shù)Riccati方程的解把組合導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差方差和IMU品質(zhì)、GPS測(cè)量噪聲建立聯(lián)系，得到一個(gè)解析解和一個(gè)半解析解。這樣就把導(dǎo)航誤差與IMU品質(zhì)、GPS品質(zhì)和輔助方式之間建立聯(lián)系。最后通過仿真驗(yàn)證了本文提出的方法的可行性和有效性。

1 SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)濾波模型

根據(jù)文獻(xiàn)［5，7］，SINS誤差方程:

式中:φ為姿態(tài)誤差，δVn為速度誤差，δVE、δVN、δVU為δVn在地理坐標(biāo)系中的分量，δL、δλ、δh分別為緯度誤差、經(jīng)度誤差、高度誤差，VE、VN分別為東向、北向速度分量，為載體角速度在地理坐標(biāo)系中的投影，ωie為地球自轉(zhuǎn)角速度，為地理坐標(biāo)系相對(duì)于地球的旋轉(zhuǎn)角速度在地理坐標(biāo)系中的投影，εn、▽n為陀螺漂移、在加速度計(jì)誤差地理坐標(biāo)系的投影，fn為比力在地理坐標(biāo)系中的投影，L為當(dāng)?shù)鼐暥龋琑M、RN分別為沿當(dāng)?shù)刈游缛Α⒚先Φ那拾霃健?/p>

加速度計(jì)和陀螺誤差模型通常都取一階馬爾科夫過程，都具有如下表達(dá)形式:

式中:i分別代表地理坐標(biāo)系的東(E)、北(N)、天(U)方向，τi為相關(guān)時(shí)間常數(shù)，wi為均值為零的白噪聲。

則SINS的誤差方程可以進(jìn)一步描述為

式中:

f(X，W)分別對(duì)應(yīng)式(1)～(6)的右側(cè)，W為均值為零的白噪聲。

在SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)中，有2組測(cè)量: SINS和GPS接收機(jī)相應(yīng)的位置差，以及SINS和GPS接收機(jī)相應(yīng)的速度差，即量測(cè)方程可以表示為

式中:

VP、VV分別為GPS位置和速度測(cè)量誤差。

綜上，SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的Kalman濾波模型可以表示為

當(dāng)對(duì)式(9)做不同的處理時(shí)，可以使用不同的Kalman濾波算法進(jìn)行處理，本文主要集中于通過簡(jiǎn)化，采用傳統(tǒng)的Kalman濾波得出解析解。

文獻(xiàn)［8］指出，由于GPS/SINS系統(tǒng)Kalman濾波的初始誤差協(xié)方差陣容易滿足正定性條件，而且系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣又是滿秩的，因而系統(tǒng)是完全可控的，并且根據(jù)分段線性定常系統(tǒng)(piecewise constant system，PWCS)可觀測(cè)性分析，組合導(dǎo)航系統(tǒng)可以通過增加機(jī)動(dòng)方式提高可觀測(cè)性，成為完全可觀測(cè)系統(tǒng)［11-12］。因此，可以從組合導(dǎo)航系統(tǒng)Kalman濾波穩(wěn)定出發(fā)，尋求解析表達(dá)形式，由于還沒有一種成熟的方法求取代數(shù)Riccati方程的解析解，尤其是高維情況，因此本文從模型簡(jiǎn)化的方面進(jìn)行研究。

2 簡(jiǎn)化Kalman濾波模型及解析解

2.1 加速度計(jì)誤差模型

SINS誤差模型(1)～(5)當(dāng)僅考慮位置誤差、速度誤差，并且不考慮陀螺誤差以及三通道之間的耦合時(shí)，誤差模型可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

當(dāng)只考慮其中一個(gè)通道時(shí)，各個(gè)通道的誤差模型可以統(tǒng)一表示為

式中:wan∈N(0，Qa)。

式(12)所示誤差模型寫成狀態(tài)空間方程的形式為

其中

當(dāng)僅考慮相應(yīng)通道GPS位置輔助時(shí)，測(cè)量方程為

其中:HP=100 [ ]，wGPS∈N(0，RGPS)。

則Kalman濾波模型為

由于該模型完全可觀測(cè)和完全可控，可知濾波穩(wěn)態(tài)值P存在。結(jié)合文獻(xiàn)［9］，本文給出了由式(13)、(14)所描述SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)Kalman濾波代數(shù)Riccati方程解析解PSA:

從PSA可以看出，單通道僅含加速度計(jì)的誤差模型的穩(wěn)態(tài)誤差僅僅由IMU參數(shù)Qa、GPS測(cè)量誤差方差RGPS決定，這也在一定程度上揭示了SINS/ GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)采用位置反饋時(shí)的誤差本質(zhì)。

當(dāng)考慮GPS位置和速度同時(shí)輔助時(shí)，Kalman濾波方程為

其中

且wp∈N(0，RP)，wV∈N(0，RV)不相關(guān)。

由于式(17)所描述Kalman濾波模型完全可控和完全可觀測(cè)，Kalman濾波穩(wěn)態(tài)值P存在，根據(jù)文獻(xiàn)［10］中的解法，給出SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)Kalman濾波代數(shù)Riccati方程解析解P:

其中

從P可以看出，單通道僅含加速度計(jì)的誤差模型的穩(wěn)態(tài)誤差僅僅由IMU參數(shù)Qa、GPS參數(shù)RP和RV共同決定，這也在一定程度上揭示了SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)采用位置、速度反饋時(shí)的誤差本質(zhì)。

由上述分析可以得到，同一個(gè)誤差模型，當(dāng)采用不同的輔助方式時(shí)，SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差僅取決于IMU與GPS參數(shù)，盡管采用誤差模型的精確度不高，但也一定程度上揭示出這個(gè)本質(zhì)。

2.2 單通道陀螺誤差模型

SINS誤差模型(1)～(5)不考慮加速度計(jì)誤差及三通道之間的耦合并且假定φU=0、fU=g(h)，誤差模型可以簡(jiǎn)化為

進(jìn)一步，考慮將單通道陀螺誤差模型寫成狀態(tài)空間模型的形式:

此處φ為姿態(tài)誤差，δbg為陀螺漂移，為一階馬爾科夫過程，滿足下式:

式中:τg為陀螺相關(guān)時(shí)間常數(shù)，wgn為高斯白噪聲。

2.3 單通道誤差模型

把單通道陀螺誤差模型式(20)擴(kuò)充到單通道加表模型式(12)中，可獲得簡(jiǎn)單的單通道INS模型:

此時(shí)，無論是采取位置輔助還是位置、速度同時(shí)輔助的組合方式，單通道模型都是不完全可觀測(cè)的，Kalman濾波非漸進(jìn)穩(wěn)定，又由于單通道誤差模型的為五維，代數(shù)Riccati方程的解析解無法得到。然而根據(jù)PWCS可觀測(cè)性定理，SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)在增加機(jī)動(dòng)方式的條件下為完全可觀測(cè)系統(tǒng)。因此，可以采取半解析的方法來預(yù)測(cè)單通道全狀態(tài)誤差方差:把單通道加速度計(jì)模型的解作為基礎(chǔ)解PSA，通過一個(gè)系數(shù)矩陣［κ］來修正PSA，得到單通道INS模型的誤差方差陣PSC如下

3 仿真與分析

為對(duì)上述得到2種Kalman濾波模型解析方法進(jìn)行驗(yàn)證，采用數(shù)值仿真的辦法，仿真飛行方案如表1，飛行軌跡如圖1所示。

表1 飛行方案Table 1 Scheme of the flight

圖1 仿真軌跡Fig.1 Trajectory of simulation

仿真條件設(shè)為:初始位置誤差分別為0.3″，0.3″，12 m;初始速度誤差為0.1 m/s，初始姿態(tài)誤差分別為1°，1°，1°。陀螺一階馬爾科夫相關(guān)時(shí)間常數(shù)為1 800 s，常值偏差為0.1(°)/h，隨機(jī)漂移為0.1(°)/h，加速度計(jì)一階馬爾科夫相關(guān)時(shí)間為1 200 s，常值偏差為1 mg，隨機(jī)誤差為500 μg。GPS更新速度為0.1 s，位置測(cè)量誤差為12 m，速度測(cè)量誤差為0.1 m/s。

圖2～5為不同輔助方式下解析解和數(shù)值解的仿真曲線。通過圖4、5可以看出，當(dāng)采用位置和速度組合時(shí)，解析方法獲得的位置誤差的解析解能很好的匹配數(shù)值結(jié)果，同時(shí)，高度方向的速度信息比其他兩個(gè)方向的結(jié)果匹配的好，這可以由高度通道與其他兩個(gè)通道基本沒有耦合或者耦合較小來解釋。

圖2、3為位置組合的解析解與數(shù)值解。從中可以看出，位置仍能很好的匹配，但是由解析解獲得的速度誤差都不能很好的匹配，這是因?yàn)楫?dāng)減少速度觀測(cè)信息時(shí)，雖然解析方法仍然是完全可觀測(cè)的，但是缺少速度觀測(cè)量，致使可觀測(cè)度不高。

對(duì)于單通道模型誤差，可以通過式(23)以及采用位置速度組合時(shí)的解析解來獲得。圖6、7分別給出了不同測(cè)量噪聲時(shí)的校正因子曲線。

圖2 位置輔助時(shí)的位置誤差Fig.2 Position error with position aided

圖3 位置輔助時(shí)速度誤差Fig.3 Velocity error with position aided

圖4 位置速度輔助時(shí)位置誤差Fig.4 Position error with position and velocity aided

圖5 位置速度輔助時(shí)速度誤差Fig.5 Velocity error with position and velocity aided

圖6 kp、kv隨位置誤差變化曲線Fig.6 Curve of kpand kvchanging with position error

圖7 kp、kv隨速度誤差變化曲線Fig.7 Curve of kpand kvchanging with velocity error

通過圖6可以看出，當(dāng)加表和陀螺選定后，在速度測(cè)量誤差給定的條件下，隨著位置測(cè)量誤差的增大，位置誤差校正因子也在變大，而對(duì)速度誤差的影響較小，圖7則說明位置誤差一定的條件下，隨著速度誤差的增大，kp逐漸減小到一定水平后將不再減小，而速度誤差將保持在一定水平，這也揭示出速度和位置之間的線性關(guān)系，增加速度測(cè)量可以改變系統(tǒng)的可觀測(cè)程度，提高INS/GPS測(cè)量精度，也從側(cè)面揭示出速度測(cè)量對(duì)于組合導(dǎo)航系統(tǒng)的重要性。

4 結(jié)束語

由于SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)誤差對(duì)IMU品質(zhì)、GPS測(cè)量誤差以及軌跡的依賴性，無法獲得誤差方程的解析解，往往都是經(jīng)過數(shù)值仿真運(yùn)算來獲得組合導(dǎo)航系統(tǒng)的精度信息，本文從Kalman濾波穩(wěn)定性的角度出發(fā)，提出了一種簡(jiǎn)單的預(yù)測(cè)SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)誤差精度的解析方法，得到了兩個(gè)解析表達(dá)式和一個(gè)半解析表達(dá)式，把組合導(dǎo)航的精度歸結(jié)到IMU品質(zhì)、GPS測(cè)量誤差以及組合方式(位置、位置和速度)上來，大大減少了計(jì)算量，最后經(jīng)過仿真驗(yàn)證了該解析方法的可行性，為導(dǎo)航工作者進(jìn)一步設(shè)計(jì)SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)提供了新的途徑。

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