電火花加工放電狀態的自適應濾波

周明，吳建洋，曾祥渭，牛聚粉，田洪森

(北京建筑大學機電與車輛工程學院，北京100044)

電火花加工的原理在于利用浸在工作液中的工具電極與工件之間的脈沖放電，產生電蝕作用來蝕除導電材料［1］。在電火花加工過程中，常以極間放電狀態來量化加工過程狀態，并以此為檢測信號對加工過程進行監測與控制。可以依據放電狀態時間序列，將電火花加工過程劃分成3個階段:初始加工階段、有效加工階段和有害加工階段。有效加工階段屬于弱穩態過程并具有線性特性;而在初始加工階段及有害加工階段，放電狀態的均值和方差變化比較大，屬于非穩態過程。有害加工階段的出現容易造成工件表面損傷、影響加工效率。因此需要建立有效的電火花加工閉環控制系統，實時調整放電參數或伺服運動參數，避免加工進入有害階段，或使加工及時從有害階段回到有效階段。

在有害加工階段，劇烈變化的放電狀態會引起控制變量的震蕩，控制變量的震蕩反過來又加大了穩態拉弧和短路的出現幾率，形成了惡性循環，使控制系統失效。因此需要對放電狀態進行濾波，使放電狀態曲線變得平滑，使放電狀態變化趨于平緩，有利于提高控制系統的穩定性。傳統的數字濾波方法［2－3］，雖然能夠起到平滑放電狀態曲線的積極作用，但同時產生了移相和幅值改變等不良影響。并且傳統濾波器常具有較高階次，會使整個控制系統的階次提高很多，不利于穩定性。因此本文提出了自適應濾波的方法，采用卡爾曼濾波算法［4］，同時結合中間變量的方法，能夠克服傳統線性濾波方法缺點，并解決加工過程誤差及檢測誤差帶來的有偏估計問題［5－9］，使放電狀態真實值得到還原。

1 電火花加工過程放電狀態的濾波

電火花加工過程放電狀態的濾波主要為低頻濾波。圖1所示為一個開環控制的加工過程，由一系列放電狀態的時間序列所表示。隨著加工深度不斷加大，放電狀態從有效加工階段逐漸過渡到有害加工階段，相鄰的2個放電狀態間變化幅度較大。傳統的濾波方法是首先界定濾波范圍，本文根據頻譜分析，確定了濾波范圍(0～0.05 Hz)，依據能量分布特征，該濾波范圍能夠基本保留主要的加工信息。

圖1 由放電狀態時間序列表示的一個加工過程Fig.1 An EDM process represented by a train of gap state identifications

1.1 傳統數字濾波方法

數字濾器，是通過一定的運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或濾除某些頻率成分，從而能夠按預定的要求濾除干擾信號，獲取有效信號，實質上是一個由有限精度算法實現的線性時不變離散系統。從功能來分類，與模擬濾波器一樣，數字濾波器可以分為低通、高通、帶通和帶阻等濾波器。從實現的網絡結構或單位脈沖響應長度來分類，它可以分成無限長單位脈沖響應(IIR)濾波器和有限長單位脈沖響應(FIR)濾波器。

1.1.1 FIR數字濾波器設計

FIR濾波器，即有限長單位脈沖響應濾波器，其輸出取決于過去的輸入，而與過去的輸出無關。FIR濾波器的優點是有線性相位，且能用硬件實現。缺點是設計通常需要較高的階數，且系統函數只能是z－1的多項式。其差分方程具有如下形式:

其單位脈沖響應為

將其進行Z變換，得到系統函數表達式為

基于MATLAB平臺及其漢寧窗函數，用FIR濾波器對電火花加工放電狀態進行濾波。根據上文譜密度分析確定的歸一化截止頻率為0.05 Hz設計低通濾波器，圖2為濾波前后的波形對比圖。由圖可知，濾波后的放電狀態曲線變得更加光滑，幅值變化較小，相位產生了滯后。

圖2 FIR濾波器濾波前后對比Fig.2 A comparison of gap states between original value and the value filtered by an FIR filter

1.1.2 用IIR數字濾波器方法

IIR濾波器，即無限長單位脈沖響應濾波器，它的單位脈沖響應是無限長的。其差分方程為

系統函數為

常見的模擬濾波器類型包括巴特沃茲、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器，基于這些模擬濾波器，MATLAB信號處理工具箱提供了對應的IIR數字濾波器設計函數。本文采用巴特沃茲濾波器函數，圖3所示濾波前后的對比圖。由圖可知，濾波后的放電狀態曲線變得十分光滑，幅值也發生了較大改變。

以上分別用2種傳統濾波器對放電狀態進行濾波，由圖中可看出，濾波后的放電狀態曲線雖然變得平滑，也發生了移相和幅值改變等不良效果，亦即產生了延遲，對實時控制十分不利。并且，濾波器本身是一個高階單元，會造成整個控制系統的階次升高很多，不利于系統穩定。

圖3 IIR濾波器濾波前后對比Fig.3 The comparison of gap states between original value and the value filtered by an IIR filter

1.2 自適應濾波方法

1.2.1 放電狀態估計值的計算

電火花加工過程中伴隨著復雜的物理環境，因此影響放電狀態的因素眾多，其中的確定因素包括電參數:脈寬時間、峰值電流、開路電壓、脈沖間隔等;伺服運動參數:電極抬刀周期、抬刀高度和速度等;其中難以定量的不確定因素加工材料、加工深度和放電點分布等。由于這些因素的影響，電火花加工過程表現出了非穩態和非線性的動態特性［10］。

文獻［11］已證明，電火花加工過程放電狀態的時間序列具有二維特征，因此可以用時變的二階Auto Regressive(AR)模型來描述放電狀態變化過程:

式中:s(k)表示放電狀態在k時刻理論值;q(k)= [a1a2]Τ;w(k)是均值為0，方差為 σ的白噪聲;a1、a2為時變參數。

放電狀態的檢測值隨采樣周期的改變而改變，因此，可以將放電狀態的檢測值 y( k)與理論值s(k)間的關系表示為

其中

其中

1.2.2 過程參數估計

將式(9)代入式(8)，得到:

其中

可以認為在2個放電狀態采樣點之間，參數保持不變，因此可以得到

用另一個卡爾曼濾波器來估計過程參數a1、a2的值，將時變參數以狀態空間的形式表達為

這樣就可以得到關于時變參數的卡爾曼濾波算法:

Kq(k)是卡爾曼增益:

式中:Pq(k)是后驗參數誤差的協方差矩陣:

通過上述計算能夠對過程參數進行估計，并且通過使2個卡爾曼濾波器交互運行，完成了對放電狀態的自適應濾波。

2 校驗放電狀態自適應濾波算法

驗證算法的具體標準如下［12］:放電狀態的理論估計值與放電狀態的檢測值，其差值的均值R必須在理論誤差范圍內。以此標準進行計算如下:

用上述標準來校驗放電狀態自適應濾波算法，運行結果如圖4、5。圖4為濾波前后的放電狀態曲線，圖5為a處的放大圖。由圖4可以看出，經濾波后的放電狀態，即理論放電狀態的估計值，與檢測到的放電狀態值相比，時間方面基本保持同步，幅值方面變化趨勢更平緩，符合我們的期望。圖6為理論放電狀態估計值偏差的界限與檢測到放電狀態偏差的分布，由圖中可看出，差值均在理論偏差極限范圍之內，說明該方法在理論上與實際中均具有可行性。

圖4 理論放電狀態估計值與檢測到的放電狀態值對比圖Fig.4 The comparison between theoretical value and detection value of gap states

圖5 圖4中a處放大圖Fig.5 A larger view of part a in figure 4

圖6 理論放電狀態估計值偏差的界限與檢測到放電狀態偏差的分布Fig.6 Error bounds of theoretical gap state estimates and error distribution of gap state identifications

3 結論

本文提出了卡爾曼濾波方法對電火花加工過程放電狀態進行自適應濾波。通過與傳統濾波方法進行比較，得出以下結論:

1)經自適應濾波以后的放電狀態，是理論放電狀態的估計值，其優點在于能對加工過程誤差與檢測誤差進行補償，能對放電狀態檢測值進一步修正，能夠更為正確的反映放電狀態。

2)傳統低頻濾波方法雖然能夠平滑放電狀態曲線，但產生相移和延遲，對時實控制不力。而本文提出的自適應濾波方法不會引起相移或延遲，利于實時控制。

3)傳統低頻濾波函數的階次較高，使得系統階次大幅提高。相比之下，自適應濾波函數的階次小很多，對系統的穩定性影響不大。

［1］霍孟友，張建華，艾興.電火花放電加工間隙狀態檢測方法綜述［J］.電加工與模具，2003(3):17－20.

HUO Mengyou，ZHANG Jianhua，AI Xing.Summarization of gap states monitoring methods in EDM［J］.Electromachining＆Mould，2003(3):17－20.

［2］郝逸軒.數字濾波器的優化設計研究［D］.長沙:長沙理工大學，2012:13－14.

HAO Yixuan.Study of digital filters optimal design［D］.Changsha:Changsha University of Science and Technology，2012:13－14.

［3］趙海濱.MATLAB應用大全［M］.北京:清華大學出版社，2012:604－605.

ZHAO Haibin.MATLAB applications［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2012:604－605.

［4］KALMAN R E.A new approach to linear filtering and prediction problems［J］.Journal of Basic Engineering，1960，82(1):35－45.

［5］WONG K，POLAK E.Identification of linear discrete time systems using the instrumental variable method［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1967，12(6):707－718.

［6］FRIEDLANDER B.Instrumental variable methods for ARMA spectral estimation［J］.IEEE Transactions on Acoustics Speech and Signal Processing，1983，31(2):404－415.

［7］YOUNG P C.An instrumental variable method for real－time identification of a noisy process［J］.Automatica，1970，6 (2):271－287.

［8］NELSON L W，STEAR E.The simultaneous on－line estimation of parameters and states in linear systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1976，21(2):94－98.

［9］FRIEDLANDER B，STOICA P，SODERSTR?M T.Instrumental variable methods for ARMA parameter estimation［C］//Proceedings of IFAC Identification and System Parameter Estimation.New York，1985:29－36.

［10］ZHOU Ming，HAN Fuzhu，WANG Yongxain，et al.Assessment of the dynamical properties in EDM process－Detecting deterministic nonlinearity of EDM process［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2009，44(1/2):91－99.

［11］ZHOU Ming，HAN Fuzhu，TANG Boyan.The methodology of detecting dynamical properties of electrical discharge machining(EDM)process towards building a timely varied linear predictive model［C］//16th International Symposium on Electromachining(ISEM XVI).Shanghai，2010:73－78.

［12］LENNART L.System identification－theory for the user［M］.2nd ed.Sweden:Prentice Hall PTR，1999:224－226.