基于動態FM合成手段的算法作曲實現及應用

李云鵬

摘要：FM技術作用于音樂領域，已有近半個世紀的歷史，這是一次傳統藝術與現代科技跨界結合的典范。在這種先進技術的支持下，誕生過許許多多具有傳奇色彩的合成器、經典的音色和代表性的電子音樂作品。時至今日，歷久彌新，我們仍然能從FM8等軟件音源上感受到它所發揮出來的魅力。目前，受限于實時控制手段的便捷性，FM技術更多地應用于編輯音色，以供創作時使用，卻很少用于實時控制音響的變形過程。該文將試圖通過對這種技術的理論闡釋與音響分析，結合Max/MSP算法作曲平臺進行特性模擬、程序構建，找到一條實時控制音響并最終完成創作的實踐之路。

關鍵詞：動態FM合成；作曲；算法作曲；Max/MSP

中圖分類號：J604文獻標識碼：ADOI：10.3969/j.issn1003-7721.2014.03.005

引言

FM合成（FM Synthesis）是無線電調頻技術與聲音合成領域相結合產生的驚人創舉，這種聲音合成技術由美國斯坦福大學的John Chowning在上世紀60年代首創。通過這種技術，可以利用運算器（operators）、載波振蕩器（carrier oscillators）和調制波振蕩器（modulator oscillators），配合一定的算法，獲得聲音。

FM合成技術在電子音樂發展歷程中有著輝煌的歷史。在上世紀七、八十年代，它曾廣泛地用于合成器音色的制作和編輯。這種技術成就了一批著名的電子合成器，如YAMAHA DX1、DX7等。同時，人們也已經廣泛運用這些合成器的音色創作出了大量優秀的作品，如著名的New Age作曲家姬神的專輯《雪譜》（1987）中大量用到了YAMAHA DX7中的FM合成音色。然而，從另一個方面來看，FM合成技術在這些作品中常常以“音色結果”的方式而存在，卻很少直接以“音響變形手段”的方式參與電子音樂作品的創作。其主要原因在于：缺乏方便、可靠的實時控制方式對FM合成器的諸參數進行動態調節，從而無法實時控制音響結果發展的邏輯線索。但是，藉由Max/MSP的平臺，卻可以使這一傳統的技術煥發出新的光彩。

在Max/MSPMax/MSP是Cycling′74公司所開發的一種可視化編程語言環境，廣泛應用于算法作曲，交互、裝置藝術等領域。 平臺中，與動態 FM合成相關的構件參數可以根據算法的設計實現動態變化，也就使其產生的音響有了“有控制隨機”的可能性，最終使音樂發展的邏輯可被控制。從具體的實現方法上來看，軟件本身已具有實現FM合成的最基本構件，所需要的只是設計符合音樂發展邏輯的恰當算法，并借助邏輯運算類、條件判斷類構件的配合，最終實現對音響結果的整體控制。

一、FM合成的原理及實現

FM合成技術中的“FM”，是Frequency Modulation（頻率調制）的縮寫，這個名詞恰到好處地描述出FM合成技術的工作原理，即用調制波頻率對載波（即被調制波）頻率加以調制，獲得更復雜聲音的過程。其直觀的流程圖如下：

`圖1簡單FM合成模型

如圖1，ac和am分別代表載波器和調制器的振幅大小。載波器發出頻率為fc的載波，同時，調制器發出頻率為fm的調制波，將其直接與載波頻率相加，產生頻率調制的結果。

最簡單的FM合成器模型只需包含一個載波振蕩器、一個調制振蕩器和一系列運算器組件。FM合成所采用的聲音材料一般為簡單波，如本文實例中所采用的正弦波等等。在Max/MSP平臺中，根據圖1所示結構圖，可構建如下程序：

`圖2簡單FM合成程序

如圖2所示，程序中關鍵的三個參數分別是：載波頻率、頻率比（m：c，）與調制指數。其中，頻率比代表調制波頻率（m）與載波頻率（c）的比值，它實際上是設置調制波頻率（fm）的另一種方式。這樣的設置方式可以使調制波頻率始終與載波頻率保持一定比例，防止因載波頻率變化（或音高變化）而引起的音色頻譜比例的改變。

二、動態FM合成的實現

所謂“動態”，是指在發聲過程中，聲音的各要素隨著時間的推移而產生變化的現象。相對于“靜態”聲音，這更是聲音在自然界存在的普遍現象。如風聲、水流聲、各種動物的叫聲等，無不在發聲過程中充滿了各種變化。動態FM合成，正是要通過相應算法，配合相應的控制手段，有邏輯地實時控制音響各要素的動態變化。

（一）EG與LFO

在電子音樂中，音響各要素的動態變化來自于對各種控制器參數的動態調控，而這種調控離不開EG、LFO等信號發生器的支持。我們若能在Max/MSP中完成這些信號發生器的程序實現和動態控制，便能對各種控制器的參數進行動態調控。

1.EG和LFO的原理及功能

EG（Envelope Generator）即包絡發生器，是一種控制信號發生器，可在一定的時間范圍以內以“包絡線”的形式發出控制信號。

LFO（Low Frequency Oscillator）即低頻振蕩器，是一種特殊的周期性波形信號發生器，它可發出相對低頻率的波形控制信號。

二者同屬信號發生器，其相同點在于，它們發出的信號可以控制其它具體的控制器，如音量、聲像、振蕩器各參數等。兩者的不同點在于EG產生的是非周期性控制信號，而LFO產生的是周期性控制信號。

2.EG和LFO在Max/MSP中的實現

（1）EG的實現

典型的EG產生的包絡線如圖3所示。這也是應用最廣泛的包絡線模型，它可以直觀地體現出參數值大小與時域之間的關系。其作用過程共經歷起音（Attack）、 衰減（Decay）、持續（Sustain）及釋放（Release）四個階段。更高級的EG除了能產生更多的階段節點之外，還能夠產生曲線等更豐富的包絡線型。（見圖3）

在Max/MSP中，我們可以使用如圖4所示的function構件來模擬EG的功能。這個構件本是一個平面函數編輯構件，我們可以將其橫縱軸功能對應EG的橫縱軸定義，所以完全可以一一對應地模擬包絡線型。不僅如此，由于在構件中點的數量可以是無限的，理論上便可生成任意包絡線型。（見圖4）

`圖3包絡線發生器示意

`圖4包絡線發生器程序模擬

（2）LFO的實現

LFO本身就是一個振蕩器，所以最直接的方法是使用MSP中的振蕩器構件去構成。振蕩器的輸出需要設置頻率、波形兩個參數。鑒于LFO的特殊性，頻率值一般要設置在20Hz以下。波形則有多種類型（如方波、鋸齒波、隨機波等）可選。下圖定義的是在10Hz頻率下工作的正弦波LFO。

`圖510Hz正弦波LFO構件

此外，鑒于LFO信號的“控制”本質，我們也可以使用Max中的metro和counter構件，通過不同速度、不同規則下生成的數據流，來模擬信號運行的軌跡。與振蕩器本身的實現方式不同，這種模擬方式的好處在于其生成的“模擬振幅值”可以被精確地控制。例如，下圖所示的例子可實現鋸齒波的軌跡模擬，其“模擬周期”為600ms，即頻率約為1.67Hz，振幅值則為5（相對單位）。

`圖6鋸齒波軌跡模擬構件

綜上所述，實現各種形態的EG和LFO，其本質目的就是應用產生各種用于控制聲音具體參數的數據流，它們在算法作曲階段中的控制行為基本可以做到“無所不能”。無論是頻率、振幅，還是聲像，哪里需要數據流，哪里就可以使用EG和LFO。

（二）動態的頻率比

頻率比的動態變化，直接關系到調制波的頻率變化。在設定了一定調制指數的情況下，單獨改變頻率比時，可以明顯地聽到載波基頻兩側的邊頻邊頻指的是用調制過程中，在載波頻率兩邊產生的頻率，它們通常有多個，而形成一系列“頻率帶”。 頻率點發生變化。

在動態化的實現過程中，我們可以將EG或LFO模塊連接至圖1-2所示程序中的“頻率比”接口，如圖7所示。

`圖7FM合成程序（LFO控制動態循環頻率比）

圖中將一個LFO模塊（框選位置）連接在頻率比輸入接口上，并設置LFO頻率為2.4Hz，這樣使得頻率比的改變接受LFO振幅的控制，具有每0.417s完成一次循環的周期特性。由于LFO模塊的振幅值域為[-1，1]的浮點數，頻率比最終的值域也就相應為[-3，3]的浮點數。另外，由于存在負數調制頻率值，同時完成周期化改變的還有相位參數。如果無需相位改變，只需在乘法構件下添加“絕對值”構件（abs），將負數調制頻率值全部轉為其相反數即可。

以上完成的是固定周期的動態化頻率比改變，聽到的效果類似于“閃爍”的音流，富有“科幻”色彩。為了實現更自由的動態變化，我們還可以在LFO模塊上添加相應值域的隨機數生成器，使最終的頻率比變化軌跡不在一定的規律下進行，從而得到更豐富的聲音效果。比如，我們可以增加一個如下圖所示的數值改變模塊，連接在LFO模塊的末端。這樣，每次得到的頻率比數值又會在減去[-0.9，1.0]區間內的某個值，得到的頻率比數值也就不會完全按照LFO模塊的規律特性來運行，如圖8所示。

（三）動態調制指數

調制指數的變化，給人最明顯的感受是音響

`圖8實現動態非循環數值的關鍵程序

“亮度”的不斷改變。其原因在于，調制指數主要影響邊頻的聲能量。調制指數越大，高次頻率的振幅也就越大。我們同樣能將調制指數的變化用EG或LFO去控制，讓它們在相應頻率比的配合之下，動態地控制分音振幅值，以達到音響“腔式變化”的結果。

`圖9隨時間變化的各種調制指數運行軌跡

上圖所示的四種包絡線型，是在function構件中模擬EG的行為所完成的，可以連接至圖2所示程序中的“調制指數”接口。在生成這些包絡線型的過程中，避免了人工操作，轉而使用數組工具來生成。使用幾組隨機數發生器，可以無限生成各種包絡線型。如果需要限制變化范圍，則需要對隨機數發生器的值域加以限定。

比如，我們要將調制指數的變化以“逐步增大后小幅度減小”的方式開始。便可以將函數圖像中的第一節點固定在一個較低值上，并使用如下的程序規則來設定其后兩個節點的范圍，如下圖所示：

`圖10實現動態調制指數的程序

本程序所對應的相關參數動態值域如表1（預設橫軸最大值為100，縱軸最大值為1）：

表1相關參數動態值域

位置第二節點第三節點

時值區間及數據類型[35，49]，整數[55，74]，整數

振幅區間及數據類型[0.5，1.0），浮點數[0.2，0.5），浮點數

最終，動態生成的包絡線形便可以在有控制的隨機模式下生成，以下三幅圖形是在該程序運行時隨機截取的幾組包絡線形。（見圖11）

`圖11程序運行時隨機截取的包絡線型

此外，LFO與EG兩種動態手段可以復合使用。EG也可以用來控制LFO的振幅，隨機的EG運行狀態也可控制生成隨機的LFO振幅值。同樣，不具備周期性的EG信號也可通過LFO信號的控制而實現某種“周期化”特性。

經過頻率比和調制指數的動態化處理，我們便可全面實現頻譜的動態化處理，進而結合創作構思，完成音樂作品。

三、動態FM合成手段在算法作曲中的應用

利用計算機進行算法作曲，有多種實現方式。從起點上來看，既可以從聲音或音符的產生開始，又可以從現有音響材料的觸發開始。各種起點的選擇主要取決于平臺的類型、音響的特性等因素。在實現的途徑方面，使用動態FM合成手段，可以直接生成與改變聲音，而“動態”的實現過程，則又是由相應的算法來構建的。所以，二者作用的共同結果是“控制聲音的產生與變化的過程，直接產生音響結果”劉健：《計算機算法作曲原理與技術》，未出版。 。它們相輔相成，共同參與整個作曲過程。結合前文的創作手段實現過程，作品的構思可以依照頻譜變形、織體構成等線索來進行。

（一） 以頻譜變形為線索

音色合成的原始材料和音響結果都是基于頻譜的，所以我們應當理所當然地將頻譜的變化作為最重要的一條線索去引導創作。基于頻譜的創作理念早已有之，頻譜學派就是應用的典型代表。在這種方式下，聲音的頻譜特性將作為聲音材料發展的依據，通過算法的支撐完成變化的全過程，具體可經由縱、橫兩個階段來完成。

1.縱向——頻譜材料構成

頻譜材料的構成方式，不僅能夠決定音響材料的物理特性，更能通過其分頻值、經調制后的邊頻值等頻率成分，來暗示發展的可能性。我們可以直接應用前文所述的簡單FM合成模型和各種調制手段來生成初始的音響材料，并通過這個音響材料的頻率特征來發掘更深層次的發展可能性。

2.橫向——頻譜發展線索

在探討發展線索時，我們可以先確立一個發展目標。當然，這里的發展目標并不是作品結束的信號，而是頻譜由一種狀態發展到另一種狀態的一個節點。例如，聲音主題出現之后，在發展過程中，可以通過控制這個聲音的各個分頻音響在不同時刻有序地進入。這里的每個分頻音響即是發展節點，節點與節點作品的起點是初始節點。 之間需要一定的發展線索加以連接，連接的手段則需要相應的算法來構建。

算法的便利性在于，可以規定兩節點之間的發展方式，讓計算機去完成過程，而不需要將過程中的所有“音響快照”全部實現。我們可以通過圖像進行插值法變形的過程去理解這種狀態。下圖是一幅由字母A變形到字母B的動畫例子，在變形軟件中，只設置了兩個字母的圖形為節點，線性插值的淡入淡出為變形線索。全部過程共有20幀，每5幀截取一次瞬時圖形，如圖所示：

`圖12動畫運行截圖

當然，更換算法，并不會影響第1幀和第20幀的結果。無論多么復雜的算法，最終只會影響它們之間的各幀內容。回到頻譜發展線索，就其過程來看，也可分為線性和非線性兩種方式。

（1）線性發展線索

線性發展是一種簡單的發展方式，它能實現節點與節點之間的直接聯系。比如，我們將起始節點設置為不加調制的純音，頻率為440Hz，下一個節點為880Hz，便可采用頻率線性遞增的手段開始發展。比如連續使用加法器構件，以1為步長，經過440步到達節點；或以2為步長，經過220步到達節點等。這種發展線索還可以單獨針對頻率比、頻率指數來設置。但“線性”本身就是一種理想狀態，雖方法易于實現，但過程所體現的效果比較簡陋和單一。

（2）非線性發展線索

“非線性”特征更是事物形成與發展的常態。作為發展線索而言，其規律無法使用簡單的一次函數來描述，但是這種發展線索更能體現算法作曲所追求的“有控制的隨機性”特點。

實現非線性發展線索，可以借助一切復雜函數來實現。比如，可以借鑒“模糊數學”中的“醉步理論”。在模糊概率中，醉步理論來自于對“醉漢回家”過程中步伐點的研究。當醉漢在回家時，他的起止點是已經確定了的，但其所走的路線具有不確定性。他可能搖搖晃晃，前兩步后三步，但最后還是要回家的。所以，醉步理論指的就是這種在可確定范圍之內所表現出的隨機性特征。我們可以將這里的“起點”和“終點”定義為發展節點，中間的過程便由FM合成的諸參數的變化來實現。這樣，每次實現的過程都會略有變化，但不會超出所預期的發展框架。

在第二章所述的“動態調制指數”一節中，便可以利用“醉步”算法來實現調制指數的變化。在圖2-7a中，調制指數初始值為7，下一節點指數為0，圖中所使用的線性發展線索是最為簡單的實現方式，但我們可以用更加復雜且具有部分隨機性的方式去實現更豐富的效果。在Max/MSP中，我們可以使用drunk構件去控制調制指數由7到0之間的發展過程，進而影響到音響頻譜中邊頻的變化規律，最終在非線性發展線索下的完成音響結果。同樣，其它關系到頻譜的參數均可依照這種方式設置發展線索進行。

（二）以織體構成為線索

這里所說的織體特指空間織體。在傳統音樂普遍認知的概念中，空間織體可分為單聲部織體和多聲部織體。以動態FM合成為作曲手段時，織體外部形態的分類雖可借鑒這些理論，但內部的構成方式卻大有所不同。

1.單聲部織體的構建

單聲部是織體存在的特殊形態，也是構成多聲部織體的基礎。以動態FM合成手段為基礎進行創作，首要解決的就是單聲部構成的相關問題。

（1）聲部各要素的形成

在傳統音樂理論中，一個完整聲部無外乎由音高、時值與節奏、音色三大要素的形成和變化構成，各要素的形成和變化主要是靠“觸發”手段。以一個弦樂聲部為例：觸發弦的不同位置會產生音高要素的變化；觸發的持續和間隔時間會形成時值與節奏的變化；以不同的方式進行觸發會構成音色要素的變化。

在以“合成”為核心的創作中，這三要素的外延更廣。“音高”可以推廣到任意頻率，“時值與節奏”可以推廣到絕對時間，“音色”則可推廣到頻譜特性。此時，三要素的形成和變化也應當依靠“調制”手段：一個由振蕩器產生的無限延伸的“長音”作為調制的先決條件和原始素材，所有的要素均在其上使用不同的參數和數值來形成和變化。

“音高”方面，可以通過載波器的頻率設置來生成，改變頻率值我們就能聽到類似“音高變化”的效果。

“時值與節奏”方面，可以通過載波器的頻率值在零與非零值之間交替而產生。具體說來，為零值代表不合成狀態，即“休止”狀態；非零值代表合成狀態，即“發音”狀態。兩種狀態在絕對時域里穿插，會實現類似“不同時值音符、休止符交替”的效果。

“音色”方面，則可通過頻率比與調制指數的改變，實現音響頻譜特性的改變，體現“不同的音色特征”。

（2）聲部形態的構成

在聲部各要素得以實現的基礎之上，我們可以構成各種不同形態的單聲部。

①線狀形態

線狀形態可由音頻信號的持續所構成。從持續的方式來看，它又可細分為單一線形和“腔式”線形兩大類。

a.單一線形

單一線形，即發聲過程開始后，各參數均保持靜態狀態，音響也持續保持某種形態直到發音結束。在構成時，只需將FM合成的各參數設置為定值即可。但如果這種聲音持續時間過長，便會讓人覺得機械和呆板。

b.“腔式”線形

“腔式”概念是從沈恰先生的《音腔論》中借用而來，它代表發聲過程的動態特征。這種發聲狀態更為常見一些。比如，起音時可略有“漸強”效果，就是振幅的“腔式”特點。除此之外，可具備“腔式”特點的參數，還有頻率、聲像等很多種。這些“腔式”特點的構成可以借助第二章所涉及到的EG、LFO等工具，結合“動態頻率比”、“動態調制指數”以及“動態后期修飾”等手段來進行。

②點狀形態

點狀形態與線狀形態的差異僅在于發聲狀態所占用的相對時間不同。線狀形態里的“單一”和“腔式”發音狀態在點狀形態上也有體現。只是其中“腔式”效果的實現周期較短。

另外，由于振蕩器所產生的信號是持續狀態的，要構成點與點持續運行的聲部形態，還需要一定的控制手段，比如可以使用如圖6所示LFO模擬程序。將模擬LFO的最大“振幅”值和最小“振幅”值作為條件，分別對應為零值的載波頻率值與非零值的載波頻率值，讓載波在“振蕩與不振蕩”的兩種狀態之間作周期性切換，就能形成“均勻”的點狀律動形態。如果再用一個EG控制LFO的頻率變化軌跡，就實現了動態化的LFO頻率周期。隨著LFO周期的不斷改變，“振蕩—不振蕩”的周期化交替狀態也被打破，即實現了由疏密相間的“點”構成的聲部形態，如圖13所示。

2.聲部分割的依據

聲部分割的依據，即區分不同類型聲部差異的依據。有差異的各個聲部才能互相結合形成多聲部。在以“合成”為技術基礎的算法作曲中，聲部分割的依據與傳統音樂中音高、節奏和音色的三要素分割依據并不同。

（1）頻率成分

頻率成分是分割聲部最直觀、有效的依據。在簡單FM合成模型中，頻率成分主要由載波頻率、調制波頻率和調制指數三者決定。不同的數值組合使得基頻和各分音的振幅比例及絕對頻率位置不同，創作時便可通過這些參數生成不同頻率成分的音響，為多聲部織體的構建作準備。此外，在“后期修飾”步驟中，還可以加入不同的濾波器，來輔助構成不同頻率成分的音響。

（2）聲部形態

不同“聲部形態”的表現更接近于傳統音樂中的不同節奏、時值的音響形態。在這種依據下，我們可以依靠本節第一條“聲部形態的構成”所述各種方法，去生成各種線形、點形聲部。

`圖13實現點狀音響形態的程序

3.多聲部織體的構建

這里的“多聲部織體”概念的外延與傳統音樂中相同名詞的外延有所不同。根據前文所述單聲部織體的特點，并結合音響的合成手段，我們可將其分為同質結合和異質結合兩大類。

（1）同質結合

同質結合方式是指“點點結合”或“線線結合”，這種結合方式并不僅僅意味著是一種“大齊奏”的狀態。它既可以是帶狀旋律式的“同步運行”形態，也可以是發音、釋音過程具有一定時間差的“非同步運行”形態。我們將方式和形態加以排列組合，一共可以得到四種結合結果，并可用傳統作曲范疇內的兩首作品的織體片段加以解釋。（見譜例1、2）

譜例1選自里蓋蒂的鋼琴練習曲第一首Désordre的開始部分。圖示部分的結合結果為“點點結合”，“同步運行”形態。譜例2選自里蓋蒂的合唱作品Nonsense Madrigals中的第三樂章The Alphabet中的開始幾小節。由圖示可以清楚地看到，這種織體結合結果是“線線結合”，“非同步運行”形態。

譜例1里蓋蒂Désordre片段

譜例2里蓋蒂The Alphabet片段

圖13異質結合程序

在使用動態FM合成手段進行創作時，也可以模仿上述兩例的織體構成模式。我們可將聲部的概念轉化為“FM合成模型”的概念，每個“聲部”都對應一個簡單FM合成模型來構成織體。

在構成“點點”和“線線”結合的織體時，可以通過設置觸發時長來實現不同類織體的時值界定。在形態方面，我們利用“動態時值”的途徑，將觸發的時長和周期通過“常數式”設置和“值域式”設置，來實現“同步運行”和“異步運行”的不同形態。

除此之外，我們仍能利用第二章所述的各種動態手段來實現發音過程的“腔式”變化。

（2）異質結合

異質結合的典型形態是“點線結合”。在時值與周期的實現過程中，只需要將多組不同值域范圍的“動態時值”類構件與多組合成器構件相結合即可。

異質結合時，各“聲部”均以動態FM合成手段為基礎構成和發展音響，這就為每“聲部”的變化提供了無限的可能性。第二章所涉及的多種動態處理手段均可用在每個聲部，作曲者設定一定的參數變化邏輯，便可形成“點線跳躍”、“凸凹不平”、“輕重無序”式的混合音響，如圖13、14所示。

圖14動態FM合成作品譜例

結語

音樂以聲音的物理屬性為載體而存在，探索聲音物理層面上的產生及發展的可能性，是很多電子音樂作曲家們孜孜不怠所追求的目標。使用聲音合成技術進行創作，可以從本源上打破音高及律制的桎梏，以人工音高和自由律制作為生“音”之法。

本文從一個簡單FM合成程序的設計開始，將這種音色合成技術與算法作曲理念和平臺相結合，試圖打破FM技術常規的基于MIDI技術的“合成音源”式使用方式，最終實現FM技術直接生成和變形聲音，從而尋求一種新的電子音樂創作途徑。在整個探索過程中，FM合成的參數逐步由一個個獨立的數值，發展為隨時間變化的數據流。靜止的參數變為了動態的參數，也使原本相對靜止的合成音響留下了動態變化的痕跡。最后，針對這一手段的特點以及創作實施的可行性，提出兩條線索，以供創作參考。

FM技術本不是一項全新的技術。但在與Max/MSP平臺的融合的過程中，經過各種變形算法的設計及演繹，由一種音色合成手段逐步轉變為一種創作手段。Max/MSP作為一個優異的新媒體藝術創作平臺，算法作曲只是它強大功能的冰山一角，卻為我們提供了取之不盡的創作方式。作曲理論在與科技相結合后，能夠不斷地升華其表現力，本文的構思正是藉此而立。隨著科學技術的發展，音樂藝術的表現形式會更加多樣化，相信這種融合的趨勢也將一直伴隨著電子音樂的發展。在技術與藝術不斷融合的過程中，必定會給我們帶來一個又一個新的課題和理念。

（責任編輯：張璟）