一類余弦函數(shù)的倍周期分支問題

王軍平

摘 要：倍周期分支過程是一條通向混沌的典型道路，即可以認(rèn)為是從周期窗口中進(jìn)入混沌的一種方式。在倍周期分支到達(dá)混沌現(xiàn)象的過程中，會依次經(jīng)過周期1，周期2，周期4，……，混沌單吸引子和混沌雙吸引子。該文根據(jù)倍周期分支判別法論證了一類余弦函數(shù)迭代映射后發(fā)生倍周期分支的充分條件，并對分支走向混沌的過程進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵字：余弦函數(shù) 倍周期分支 混沌

中圖分類號：O174 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）11（c）-0188-01

從任何初始值出發(fā)迭代時(shí)，一般有個暫態(tài)過程，但當(dāng)?shù)螖?shù)很大，即當(dāng)n→∞時(shí)，演化會導(dǎo)致一個確定的終態(tài)。終態(tài)可取無窮多種值，對初值極為敏感，成為不可預(yù)測，開始出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。在此前終態(tài)都是周期的、可預(yù)測的，并與初值無關(guān)。

混沌（Chaos）是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動。一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性、不可重復(fù)、不可預(yù)測，這就是混沌現(xiàn)象。混沌是非線性系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。混沌運(yùn)動的動力學(xué)特性已經(jīng)被證明在描述和量化大量的復(fù)雜現(xiàn)象中非常有用，但是，由于混沌系統(tǒng)所固有的系統(tǒng)輸出對狀態(tài)初值的敏感性以及混沌系統(tǒng)和混沌現(xiàn)象的復(fù)雜性和奇異性，使得混沌控制理論的研究更具有挑戰(zhàn)性。

這里我們主要考慮一類關(guān)于余弦函數(shù)迭代映射的模型

（1）

的倍周期分支問題，其中，均為參數(shù)。首先作變換，則可有：。（2）

1 倍周期分支

倍周期分支是指在某個特定的參數(shù)值的一側(cè)有穩(wěn)定的不動點(diǎn)，但當(dāng)參數(shù)經(jīng)過這個特定的參數(shù)值變化到另一側(cè)時(shí)，穩(wěn)定的不動點(diǎn)變成不穩(wěn)定的，并同時(shí)產(chǎn)生了周期2軌道。在給出我們的倍周期分支結(jié)果之前，我們先給出關(guān)于倍周期分支存在的判別法：

引理：[1]設(shè)是充分光滑的函數(shù)，記，如果下列條件成立：（1）；（2）；

（3）；

（4）；那么在處發(fā)生倍周期分支。更為詳細(xì)的是，在附近存在一個不動的曲線，在一邊是穩(wěn)定的不動點(diǎn)，而過了以后成為不穩(wěn)定的不動點(diǎn)；并且存在一條光滑的曲線在點(diǎn)與直線相切，而是關(guān)于的函數(shù)的圖像。當(dāng)時(shí)，新生成的周期2軌道是穩(wěn)定的，反之則是不穩(wěn)定的。

引理給出了函數(shù)關(guān)于參數(shù)在特定參數(shù)值處發(fā)生倍周期分支的充分條件。下面討論模型（1）也就是模型（2）關(guān)于參數(shù)發(fā)生倍周期分支的條件。

定理1：若模型（2）的固定參數(shù)滿足，參數(shù)是變化的，則在區(qū)間上，一定存在參數(shù)，模型的不動點(diǎn)在處存在倍周期分支，而且產(chǎn)生的周期2軌道是穩(wěn)定的。

證明：定義函數(shù)，則有

.當(dāng)時(shí)，由于，從而，所以在區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)。又對任意的，都有

所以存在唯一的，滿足。于是對于每一個，都有唯一一個零點(diǎn)與之對應(yīng)，且關(guān)于是連續(xù)的。這是因?yàn)閷τ谌魏危欢ㄓ小Ｈ绻蝗唬瑒t存在，也就有

。

于是我們根據(jù)倍周期分支引理，我們可以知道模型（2）在參數(shù)經(jīng)過時(shí)發(fā)生了倍周期分支，而且由可知所產(chǎn)生的周期2軌道是穩(wěn)定的。

若固定參數(shù)，，，不變，模型（2）對參數(shù)也會發(fā)生倍周期分支。

定理2：若模型（2）的固定參數(shù)滿足，參數(shù)是變化的，則在區(qū)間上，一定存在參數(shù)，模型的不動點(diǎn)在處存在倍周期分支，而且產(chǎn)生的周期2軌道是穩(wěn)定的。

證明：定義函數(shù).

因?yàn)?/p>

所以存在，滿足。定義一個關(guān)于k的函數(shù).由于從而有，所以至少存在一個，使得，得出于是我們根據(jù)鞍-結(jié)點(diǎn)分支引理，我們可以知道模型在參數(shù)經(jīng)過時(shí)發(fā)生了倍周期分支，而且由可知所產(chǎn)生的周期2軌道是穩(wěn)定的。

2 結(jié)論

根據(jù)倍周期分支的判別法，該文分別給出了一類余弦函數(shù)迭代映射后關(guān)于參數(shù)和關(guān)于參數(shù)發(fā)生倍周期分支的充分條件，深刻討論了一類簡單的余弦函數(shù)發(fā)生倍周期分支的這種復(fù)雜動力學(xué)行為。而倍周期分支是典型的一條通過混沌道路的途徑。這說明這類余弦函數(shù)經(jīng)過迭代也必然會發(fā)生復(fù)雜的混沌動力學(xué)行為。混沌是非線性科學(xué)中十分活躍、應(yīng)用前景極為廣闊的領(lǐng)域。混沌是比有序（此處指經(jīng)典意義下的有序━━對稱、周期性）更為普遍的現(xiàn)象。它向我們揭示出一個形態(tài)和結(jié)構(gòu)的嶄新世界。這個看似簡單但又充滿神秘，激勵人們不斷地去探究。

參考文獻(xiàn)

[1] Clark Robinson， Dynamical Systems： Stability， Symbolic Dynamics， and Chaos， CRC Press， Boca Raton， London New York， Washington， D.C.， 1998.

[2] 阮炯，黃振勛，蔡志杰.應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2000：1-60.endprint