巖體強度空間變異性與邊坡可靠性研究

任富強 常 遠 常來山 陳東偉

(1. 中國礦業大學（北京）力學與建筑工程學院，北京100083;2. 深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室，北京100083;3. 遼寧科技大學礦業工程學院，遼寧 鞍山114051)

以往對邊坡的可靠性分析中，巖體一般是作為均質的隨機介質考慮，認為不同點間的巖體強度參數是一致的，這顯然是不符合實際的，實際的巖土介質不同點間、整體和局部的強度參數都有一定的差異性，這就需要考慮巖體的空間變異性，其中Vanmarcke［1-2］在該理論方面進行了開創性研究，隨后Chowdhurry［3］利用隨機場理論描述了巖體性質的空間變異性。地質統計學理論被廣泛應用于巖體空間變異性的評估，其中王家臣等［4-7］用地質統計學理論中的變差函數經過推導得出巖體性質參數的相關距離和相關函數，說明了巖體性質的空間變異性，并進行了考慮巖體空間變異性的邊坡可靠性分析，但只考慮了1 種理論變差函數模型。

本研究結合野外實測點荷載數據擬合出了理論變差函數的球狀模型、高斯模型和指數模型的相應曲線，并利用蒙特卡洛抽樣方法結合理論變差函數模型對單一巖性的邊坡巖體進行了可靠性分析。

1 巖體強度的空間變異性

1.1 現場點荷載測試

為了得到巖體強度的空間分布特征，在某露天鐵礦的某一勘探剖面上垂直巖層走向方向以間距1 m等間距布置46 個測點。在每個測點上利用SD －1型數碼點荷載儀對選取的若干混合巖巖塊進行了點荷載實驗，將實測結果按ISRM 法并經過尺寸修正計算得到標準點荷載強度指數Is(50)，其垂直于巖層走向分布情況如圖1 所示。由圖1 可知，在空間位置上，標準點荷載強度指數Is(50)有較大的差異，但其整體較為穩定，未曾發生漂移。對實測的數據進行統計分析后得出其平均值為11.60 MPa，標準差為6.79 MPa，變異系數為0.585。

圖1 混合巖Is(50)垂直巖層走向分布情況Fig.1 The vertical strata distribution of migmatite Is(50)

1.2 實驗變差函數與理論變差函數

混合巖Is(50)為區域化的變量且滿足二階平穩假設，故可按地質統計學中的實驗變差函數［8-10］來計算Is(50)的實驗變差函數值r(h)，即

式中，h 為取樣點的間隔距離，取1 m;N(h)為被h 相隔的數據對的數目;Z(xi)和Z(xi+h)在此為Is(50)的不同取值。

為了預估區域化的變量Is(50)的未知值，需要根據實驗變差函數值擬合成相應的理論變差函數模型，其中球狀模型、高斯模型和指數模型的理論公式分列如下。

(1)球狀模型:

式中，C0為塊金常數;C0+ C 為基臺值;C 為拱高;a為變程(即隨機場中的相關距離D)。

(2)高斯模型:

(3)指數模型:

式中，a 不是變程，變程為3a，即h =3a 時，r(h)≈C0+C。

采用上述理論變差函數模型中的球狀模型、高斯模型和指數模型，根據實驗變差函數曲線利用Visual Basic 進行最小二乘擬合，擬合后3 個理論變差函數模型的參數見表1。由表1 可知指數模型相關距離最大，高斯模型的最小，由相關距離的物理含義可知同等長度內指數模型的數據點的相關性最大，高斯模型最小;此外指數模型與高斯模型的基臺值相同，略大于球狀模型的基臺值，可近似認為3 種模型描述的Is(50)在垂直于巖層走向方向上變化幅度大小相同。實驗變差函數曲線與理論變差函數曲線如圖2 所示，由圖2 可知3 種模型的擬合曲線的趨勢一致，且對應的擬合值基本相同。

表1 混合巖Is(50)計算結果Table 1 The calculation result of migmatite Is(50)

圖2 混合巖3 種模型實驗與理論變差函數曲線Fig.2 Curves of three kinds of model experiment and theoretic variation function for migmatite

1.3 巖體強度局部分析

由理論變差函數，可以求出巖體強度的相關函數。根據巖體強度，相關函數的定義為

式中，R(h)為強度相關函數;r(h)為理論變差函數;Var(Z(x))為Is(50)的方差，混合巖的方差為46.043。

根據式(5)可以得到混合巖3 種模型對應的R(h)，而在邊坡可靠性計算中一般要將巖體分條再將每一分條作為均質體處理，在每一分條上巖體強度要局部平均化，在二階平穩假設的前提下局部平均化后的期望與整體的期望相同，但方差要發生變化。根據局部平均域大小、強度的空間相關距離、相關函數等不同，其方差衰減的程度不同，一般用式(6)表示巖體強度局部平均化后的方差，式中ZT(x)表示平均域長度為T 的巖體強度函數，G(T)為方差衰減函數，可由式(7)計算。故可以得到混合巖3 種模型對應的方差衰減函數以及方差函數。

2 邊坡可靠性分析

為方便對比分析，探討不同的變差函數模型對邊坡可靠性的影響規律，構造了圖3 所示的均質混合巖的簡單邊坡模型，邊坡高度為400 m，邊坡角為45°。

圖3 混合巖簡單邊坡模型Fig.3 The simple slope model of migmatite

應用Monte－Calo 隨機抽樣技術［11-12］，通過Visual Basic 編程得到巖體強度參數的隨機分布特征，模型的計算參數如表2 所示。極限平衡計算選用畢肖普(BISHOP)法，用單純形變法［13］進行優化計算，確定了危險滑弧及安全系數，危險滑弧如圖3 曲線所示，混合巖邊坡的安全系數F 為1.835。

表2 巖體強度參數隨機分布表Table 2 The random distribution of rock strength parameters

根據不同的分條寬度將球狀模型、高斯模型、指數模型的可靠性指標［14］的部分計算結果列于表3 所示。

表3 混合巖邊坡Monte-Calo 法部分計算結果Table 3 Parts of calculation result by Monte-Calo method for migmatite slope

由表3 比較混合巖球狀模型、高斯模型、指數模型的邊坡可靠性指標計算結果。若以球狀模型為基準，高斯模型的絕對差值為0.003 ～0.312，平均為0.053，相對差值為0.515% ～17.154%，平均為3.383%;指數模型的絕對差值為0.046 ～2.568，平均為1.141，相對差值為11.348% ～83.229%，平均為59.941%;指數模型相差的較多，可靠性計算結果偏高，而高斯模型與球狀模型的可靠性計算結果較為接近。將3 種模型的可靠指標隨分條寬度變化的關系曲線繪制如圖4 所示。

圖4 3 種模型可靠性指標對比Fig.4 The reliability index contrast of three kinds of model

由圖4 可知，在分條寬度T =0 即不考慮巖體強度空間變異性時與T 趨于0 時有一個落差，并且差值的大小與塊金常數C0有關。不考慮巖體強度的空間變異性時邊坡的可靠指標最小，隨分條寬度的增加可靠指標整體呈增大的趨勢，其中球狀模型與球狀模型趨勢基本一致都低于指數模型的增長趨勢。當分條寬度大于相關距離時3 種模型的可靠指標均有下降的趨勢直到達到一定的分條寬度時又逐漸隨分條寬度的增大而上升。

3 結 論

(1)高斯模型的相關距離最小，指數模型的最大，3 種模型描述的巖體強度沿垂直于巖層走向方向的變化幅度基本接近。

(2)當考慮巖體強度空間變異性時計算邊坡的可靠指標增加，破壞概率降低。主要是由于強度參數方差衰減所致，而且在分條寬度達到相關距離前隨分條寬度的增加而增大，分條寬度達到相關距離之后的可靠指標先減小后增大。

(3)球狀模型與高斯模型的可靠指標隨分條寬度的變化基本一致，整體值都低于指數模型的可靠指標，增加的趨勢也較指數模型平緩。

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