“二次法”的探索與應用

顧小勇

摘 要：對近年來高考數(shù)學中與“二次問題”相關的試題進行了研究，提出了“二次問題”的破解方法——“二次法”，探索了“二次法”的應用，指出了學生熟練掌握“二次法”對高中數(shù)學教學和高考數(shù)學教學的重要意義。

關鍵詞：二次問題；二次法；應用

縱觀多年高考數(shù)學試卷，發(fā)現(xiàn)高考考查一元二次或二元二次問題（簡稱“二次問題”）的數(shù)學試題較多.近年來考查“二次問題”的高考題有四大特征。

（1）知識面廣：函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何、向量、概率等知識都會涉及二次問題。

（2）形式多樣：不但以一元或二元二次的函數(shù)、方程、不等式等顯性形式出現(xiàn)，而且還有以帶參數(shù)問題等其他隱性形式出現(xiàn)。

（3）題量較多：高考數(shù)學試卷中涉及二次問題的題目可真不少，就以2013年浙江高考數(shù)學理科卷來看，有5道選擇題、2道填空題、4道解答題，共11道，占總題量的50%。

（4）難度較大：少數(shù)試題比較容易，多數(shù)試題難度較大，如，與圓錐曲線有關的試題難度就比較大。

可見，“二次問題”教學的成敗直接影響我們高考數(shù)學教學的成敗。

解決“二次問題”的方法很多，如，配方法、判別式法、韋達定理法、公式法、十字相乘法等等，我們把這些用于解決“二次問題”的一系列方法統(tǒng)稱為“二次法”。不妨，以近年來的高考試題為例說說“二次法”及其應用。

一、配方法

配方法的應用很廣泛，在二次函數(shù)求值域、二次方程求根、二次不等式求解、圓的一般方程化為標準方程、兩點間距離公式倒用等方面有較多的應用。

二、判別式法

關于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)），設判別式

Δ=（b2-4ac），則當Δ>0時原方程有兩不等實根，當Δ=0時原方程有兩相等實根，當Δ<0時原方程無實根。這種利用判別式Δ的符號來判斷方程是否有根的方法叫做判別式法。

二次方程有無實根可以用判別式法來判斷，函數(shù)的值域、二次函數(shù)的零點、二次函數(shù)的圖象與x軸的交點、含二次問題的最值和取值范圍、與二次問題有關的參數(shù)取值范圍等問題都可以使用判別式法解決，甚至還可以證明不等式。

例2.（2013年廣東高考文科卷）設函數(shù)f（x）=x3-kx2+x（k∈R）.

（1）當k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當k<0時，求函數(shù)f（x）在[k，-k]上的最小值m和最大值M.

分析：三次問題基本要利用導數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為二次問題解決，而二次問題又有一系列的方法解決，在解題過程中根據(jù)情況選擇適當?shù)摹岸畏ā苯鉀Q。

下面解題過程從略。

點評：解決三次函數(shù)的單調(diào)性和最值問題都需要用導數(shù)解決，而三次問題求導后就是二次問題。判斷單調(diào)性需要解決對應區(qū)間導數(shù)的符號，含參數(shù)的二次函數(shù)需要確定參數(shù)的討論標準，這些問題用判別式法容易解決。

三、韋達定理法

它可以用于求一元二次方程求根、恒等式證明、求二次問題有關參數(shù)范圍，還可以用于求曲線被直線所截的弦長等。

例3.（2013年高考大綱文科卷）已知拋物線C∶y2=8x與點

分析：因為拋物線方程是二次方程，所以解決拋物線與直線的交點問題時，可以將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，用代入法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并使用韋達定理和設而不求的方法解決。

解析：設AB：y=k（x-2），代入y2=8x得：k2x2-（4k2+8）x+4k2=0，

即（x1+2）（x2+2）+（y1-2）（y2-2）=0.

∴x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2-2（y1+y2）+4=0.①

∵y1=k（x1-2）y2=k（x2-2）∴y1+y2=k（x1+x2-4），②

y1·y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]③

由（*）及①②③得k=2.故選D.

點評：二次曲線交點弦問題基本上都可以使用直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，并使用韋達定理法解決。

設直線方程是y=kx+m，二次曲線方程為f（x，y）=0，他們交點為A（x1，y1），B（x2，y2）

這兩個公式分別叫做一元二次函數(shù)圖象的對稱軸公式和頂點坐標公式。

我們把這種用求根公式、對稱軸公式和頂點坐標公式解決二次問題的方法，叫做二次公式法。

二次公式法可以用于求二次函數(shù)圖象的對稱軸方程、求二次函數(shù)的最值、求二次方程的根、討論二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及解決帶參數(shù)的二次問題。

五、十字相乘法

如果二次三項式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數(shù)），若存在四個實數(shù)a1，c1，a2，c2滿足a1a2=a，c1c2=c并且a1c1+a2c2=b，那么二次三項式：ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）.這里要確定四個常數(shù)a1，c1，a2，c2，一般借助畫十字交叉線（如圖）的辦法來確定.我們把這種方法稱為十字相乘法。

十字相乘法是分解二次三項式的方法，因此可用于求一元二次方程的根、解一元二次不等式以及確定三次函數(shù)導數(shù)值的符號等問題。

例6.（2012浙江高考理科卷）設公比為q（q>0）的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則q=______。

分析：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，使用基本量法解決。

解析：∵S2=3a2+2S4=3a4+2？圯a1+a1q=3a1q+2a1+a1q+a1+a1q2+a1q3+2，

點評：解題過程中解決二次方程根的問題時，利用十字相乘法可以快捷求根。

例7.（2012遼寧高考理科卷）已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a25=a10，2（an+an+2）=5an+1，則數(shù)列{an}的通項公式an=_________。

點評：用基本量法將等差等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為一元二次求根問題，此類方程求根時用十字相乘法解決速度快、正確率高。

六、平方法

高中數(shù)學中有一些數(shù)學符號和公式用平方根或絕對值來表示，如，兩點間距離公式、點到直線的距離公式、向量和復數(shù)的模，此類問題通常用平方法轉(zhuǎn)化解決。

平方法的用途廣泛，如，絕對值方程或不等式求解，二次根式方程或不等式的求解，以及向量和復數(shù)的模問題，某些函數(shù)的值域，解決三角問題，圓錐曲線標準方程的推導等應用平方法完成。

故選B.

點評：向量的絕對值符號用平方法去掉，將問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積。

“二次問題”是高中數(shù)學中常見的數(shù)學問題，也是高考數(shù)學中較難較復雜的數(shù)學問題之一，解決它不是一件不容易的事情，如果我們在教學中使學生不斷積累解決二次問題的方法——二次法，讓學生熟練掌握“二次法”，并重視“二次法”在解題中的應用，那么，學生們在高考中解決“二次問題”就不在話下。

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編輯 鄭 淼