逆向工程中曲面重構技術的介紹

霍慶立，謝勁松，李根，馮亮

（長春理工大學 機電工程學院，吉林 長春 130022）

逆向工程中曲面重構技術的介紹

霍慶立，謝勁松，李根，馮亮

（長春理工大學 機電工程學院，吉林 長春 130022）

摘 要：首先簡單的講解了逆向工程的概念，在此基礎上介紹了逆向工程曲面重構技術中的基本知識點和曲面重構技術的以三角Bezier曲面為基礎的曲面構造技術的基本知識以及B-Spline(B樣條)或NURBS(非均勻有理B樣條)曲面為基礎的曲面構造基本知識。

關鍵詞：逆向工程；曲面重構技術；Bezier曲面；B-Spline曲面；NURBS曲面

0　引言

逆向工程(Reverse Engineering, RE)也稱反求工程，源于商業及軍事領域中的硬件分析，是以設計方法學為指導，以現代設計理論、方法、技術為基礎，運用各類專業人員工程設計的經驗、知識和創新思維，對已有新產品進行解剖、深化和再創造，是已有設計的設計，是應用于產品開發和仿真制造的一種并行設計開發系統[1]。逆向工程在對縮短產品開發周期非常顯著，主要表現對形狀復雜的產品或外形以自由曲面為主要構成物體。逆向工程可以概括為三個階段過程：數據獲取技術、數據處理技術、曲面重構技術。曲面重構技術是逆向工程中最后階段對整個產品的質量有著至關重要的作用，所以曲面重構技術是逆向工程研究的的主要領域，也是當今的熱門方向。

1　曲面重構基本知識

目前在逆向工程中的曲面重構技術的研究中主要有兩類方法的研究，一類稱作快速曲面重構技術對處理后的點云數據直接三角Bezier曲面，再以三角Bezier曲面的數學性質對點云數據進行處理。第二類是傳統曲面重構技術中對前期處理的點云數據進行B-Spline(B樣條)或NURBS(有理非均勻有理B樣條)的曲線的擬合，然后再進行曲面的擬合處理。

在逆向工程的曲面重構技術中都會面對這樣的問題，重構后的曲面模型都會存在曲面光順性和擬合精度的矛盾[2]。如果盲目的追求曲面的光順，就會使曲面通過點云的數量降低，就意味著曲面的擬合精度低。反之過高保證曲面的擬合精度，隨之帶來的就是曲面的尖點現象(光順性低)。所以選擇合適的擬合參數對曲面模型的建立尤為重要，也就是對曲面模型的中的階數、控制點、節點矢量、權因子等一些模型參數的選取。首先對曲面重構中用到的數學模型的性質特點的了解是我們有點云建立曲面的必要工作；這對后續曲面建立效率及質量的保證。我們將結合曲面重構技術對重構中常用到的曲線/曲面的數學模型進行了解它們的優缺點。

對于曲面重構中常提到的光順性、曲率梳、參數連續性及階數連續性來簡單介紹一下。

光順性是指對重構后的不規則的曲線外形進行修整已得到更光滑形狀的過程。曲率梳是指曲線各點處曲率的矢量表示，通過曲率梳的圖示可以直觀的表達曲線光順程度，也用于檢測曲線光順修改的手段。

圖1　曲率梳Fig.1 Curvature Comb

參數連續性和幾何連續性是曲線在光順性方面兩種對曲面可微性的不同的表述，n階參數連續性表述的是組合參數曲線的連接處具有直到n階的連續導矢的性質，簡稱為Cn；幾何連續是組合參數曲線的曲線連接處不同于參數連續的另一類滿足n階的連續導矢的約束條件，簡寫為Gn[6]。

在大部分涉及逆向工程曲面光順性的軟件中，為保證重構的曲面滿足實際要求以幾何連續為主，因為幾何連續表達簡單效率理想，能滿足大部分重構后曲面的要求。

零階幾何連續：指兩曲線具有公共的連接點或是兩曲面具有公共的連接線[5]。它們只是曲線端點或曲面連接線重合，而在連接處切線方向和曲率大小均不相同，簡記為：G0連續。

一階幾何連續，指兩曲線在連接點處重合，還在連接點處具有一致的切矢方向只是連接點處的曲率大小不同，而對于兩個相連接的曲面，則為兩曲面在公共連接線處處具有公共的曲面法線或公共的切平面而法曲率不同[8]，記為：G1連續。

二階幾何連續 ，如下圖，它是在滿足G1連續的同時，連接點處的曲率大小也相同；記為G2連續；這種連續性的曲面在外表看起來沒有尖銳接縫，也沒有曲率大小的突變，曲面光滑流暢，過渡處光順自然。

圖2　G0連續Fig.2 G0Continuous

圖3　G1連續Fig.3 G1Continuous

圖4　G2連續Fig.4 G2Continuous

2　曲線曲面的數學模型

在逆向工程中合適的曲線曲面數學模型是構建良好產品模型的基礎，也是正向建模的基礎工程；所以了解曲線曲面的基本知識對模型的建立有著巨大好處。這點在逆向工程中更加得到體驗。

2.1Bezier曲線/曲面

Bezier曲線的特點主要對的點逼近為主，通過多邊形的頂點來控制參數曲線的形狀，一條n 次Bezier曲線的可以表示為: Bi,n(u)——稱作Bezier基函數是著名的n次Bernstein多項式，其定義為

Bezier曲線是一種整體曲線，是通過各個頂點連接形成的控制多邊形過渡的一條光滑曲線，它的形狀受控制多邊形的控制，曲線的階次等于控制頂點個數減一(即n個控制點，那么曲線階次為n-1)，所以一個n次Bezier曲線的表達式中有n+1個Bernstein基函數，基函數的個數和控制頂點個數相同且每個基函數與控制頂點一一對應。曲線的階次數和它的光順度成一定的正向關系即曲線的階次數越高，曲線的外形越光滑，與控制多邊形的邊線越遠，越難從多邊形的形狀來預測曲線形狀[1]。Bezier曲線數學表達形式不但簡潔，而且還特性優良: (1)較強的凸包性，由于

圖5　控制多邊形與Bezier曲線Fig.5 Control polygon and Bezier Curve

這說明曲線包含在定義它們的控制點的凸包內；

(2)變差減少性；任意直線和曲線的交點個數不多于它和曲線的控制多邊形的交點個數。這表明Bezier曲線大體沿著它的控制多邊形前進，不會比它的控制多邊形更拐來拐去[5]。

(3)兩端點和控制多變形的首末邊線分別內切。這一性質不僅對曲線之間相連接處的光順度和復合曲線的整體擬合質量都有了保證[10]。

(4)可以從一維曲線擴展成二維Bezier曲面，Bezier曲面的數學表達式為:

因為Bezier曲線曲面方程是一個整體表達式，就是這一整體性使Bezier曲線曲面在區域性控制方面略顯不足，一個頂點的位置變化就會引起控制多邊形的形狀的改變，被控制多邊形控制的曲線的形狀也會隨控制多邊形改變而不同。在面對外形復雜的曲線曲面時為了使重構后的曲線曲面更加逼近，控制點的個數就會增加，Bezier曲線曲面的表達式的階次就會隨控制定點的個數的增加而升高，但是表達式階次越高振蕩現象越嚴重，曲線曲面控制越不易。

2.2B-Spline曲線/曲面

由于Bezier曲線/曲面在區域性控制方面的不足，并且隨著曲線的階數升高控制多邊形對曲線的控制將會慢慢減弱，這就會影響重構曲面質量，為了改善Bezier曲線/曲面的不足戈登(Gordon)和里森費爾德(Riesenefeld)拓展了Bezier曲線/曲面表達式，用B樣條函數代替Benrstein函數，從而改進了Bezier曲線曲面的部分缺點[7]。B-Splnie曲線的方程式表示為:

式中：Pi——控制點； P——階數；

Ni,k(u)——B-Spline基函數；

經過20余年的發展，目前天然氣發電已在我國發電行業占有一席之地，其低污染、高效率、啟停靈活等優勢日益得到業內認同。雖然目前還面臨著氣價波動、運維費用高等問題，但預計在“十三五”及以后一段時期，天然氣發電將迎來新的發展機遇。

B-Spline基函數和Bezier基函數對曲線的影響一樣，都是屬于混合函數一種，同時在B-Spline基函數定義中對節點向量的增加，使得當控制點位置改變時，只會對部分曲線有影響，從而得到了較好的控制能力[6]。

B-Spline基函數數學定義為：

綜合起來，B-Spline曲線相比具有如下優點：

(1)曲線階次數低，算法相對穩定。B-Spline曲線的多項式階次數不受控制頂點數目的控制，而決定于k，這是因Ni,k(u)是k-1次多項式，這樣就避免了Bezier曲線受控制頂點的影響產生振蕩現象。

(2)靈活的造型。由于局部控制性好，對于低階次的復雜曲線構造方便，且編輯控制頂點對曲線形狀的改變是局部的[8]。

(3)變差縮減性。

(4)幾何不變性；即曲線的形狀不會隨坐標系的改變而改變。

(5)B-Spline曲線的導數可用其低階的B樣條基函數和頂點矢量的差商序列的線性組合來表示，因此k次B樣條曲線段之間可達到k-1次的連續性[10]。

NURBS—非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Spline)，這種方法的提出是為了找到與描述自由型曲線曲面的B樣條方法相統一的又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數學方法。一條p次NURBS曲線定義為：

式中：Pi——控制點；

——權因子；u——參數值。

圖6　加權值對于曲線的影響Fig.6 The influence of weighted value for curve

由于NURBS曲線與B樣條曲線采用相同的基函數，因此NURBS曲線具有和B樣條曲線相同的性質，除此之外，由與權因子的作用，使NURBS 曲線具有更大的靈活性，且表達能力大大增強，NURBS曲線能統一表達圓錐曲線，B樣條曲線和 Bezier 曲線。

NURBS曲面是有NURBS曲線自一維參數空間(u)擴展至二維空間(u,v)得到的，其數學表達形式為:

引入分段有理基函數

NURBS曲面方程可以改寫為

NURBS方法相比于前兩種方法有更為滿意的優點：

(1)NURBS為解析曲線曲面和自由型曲線曲面的表示提供了一種統一的數學方法[9]。

(2)幾何圖形解析明顯、幾何配套技術的強而有力。

(3)對形狀復雜的曲線曲面可以通過改變控制頂點位置和權因子，表達起來更為方便簡單。

(4)對投影變換和幾何變換具有不變性[7]。

在曲面重構中二次曲線曲面，基本上能夠表達所有類型的曲線曲面，NURBS方法不僅能夠對二次規則曲線曲面精確表示，而且在數學表達式上也具備統一性，而其它非有理方法無法做到這一點；NURBS還能作用于權因子，這能夠對曲線曲面形狀的控制及實現顯得更為簡單。 鑒于NURBS的這些優點，在1991年，國際標準化組織（ISO）頒布的工業產品數據交換的STEP國際標準中，將NURBS方法作為定義工業產品幾何形狀的唯一數學描述方法[4]。

3　總結

通過對前文幾種不同類型的曲線曲面數學模型闡述，得出了各自的優劣方面。在實際曲面重構中，選擇合適曲線曲面的類型不僅對重構后的曲面的質量起決定作用而且在計算速度上也有極大的影響，NURBS雖然是當前曲線曲面的通用類型，但是也不能否認Bezier、B-Spline類型在后續的改善曲面質量方面的作用。

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An Introduction of Surface Reconstruction of Reverse Engineering

HUO Qing-li, XIE Jin-song, LI Gen, FENG Liang
(College of Mechanical and Electrical Engineering, Changchun University of Science and Technology, Jilin Changchun 130022, China)

Citation: HUO Qing-li, XIE Jin-song, LI Gen, et al.An Introduction of Surface Reconstruction of Reverse Engineering [J].The Journal of New Industrialization, 2015, 5(6): 47?52.

Abstract:Firstly, the author introduces the concept of reverse engineering simply.After that, the basic knowledge of surface reconstruction technology and construction technology on the basis of the triangular Bezier surface of surface and B-Spline surface or NURBS surface (Non-Uniform Rational B-Spline) is introduced.

Keywords:reverse engineering; surface reconstruction; Bezier curved surface; B-Spline surface; NURBS surface

作者簡介：霍慶立(1989-)，男，碩士研究生；謝勁松(1969-)，男，副教授，碩士生導師。

本文引用格式：霍慶立，謝勁松，李根,等.逆向工程中曲面重構技術的介紹[J].新型工業化，2015，5(6)：47-52 DOI：10.3969/j.issn.2095-6649.2015.06.08