關于“方程和方程的解”的教學探究

北京第十八中學左安門分校 周麗麗

關于“方程和方程的解”的教學探究

北京第十八中學左安門分校 周麗麗

對于方程，學生關注解的過程和結果多于方程概念本身，本文通過一個方程的錯解生成的問題引發學生的廣泛討論，從而對方程和方程的解的概念有了深入認識。

方程 方程的解 概念教學

一、背景介紹

北京教育出版社第13冊第三章第3節“等式與方程”一課的教學目標為：了解方程、方程的解、解方程等概念，檢驗一個數是不是某個一元一次方程的解。方程是在等式的基礎上進行定義的。教材上給出的定義為“含有未知數的等式叫做方程。”筆者把教學重點確定為了解方程、方程的解的意義，檢驗一個數是不是某個一元一次方程的解，對方程的概念一帶而過并沒有過多分析和解釋。

二、討論過程

1.2 x +1=0是方程嗎？學生A在檢驗方程2 x +1=0解時，認為x=-1是方程2 x+1=0的解，其他同學說不對并且有同學馬上給出合理解釋“把x=-1代入方程，左邊1右邊，所以不是方程x=-1的解。”問題本該就此了結，但是A同學竟然提出了一個引發討論的問題“當x=-1時，方程左邊1右邊，所以當x=-1時，2 x +1=0不是等式，不是等式那么就不是方程了，也就是說當x=-1時，2 x +1=0不是方程。”一時間教室安靜下來，但片刻又沸騰起來，大家進入熱烈的討論，有的同學覺得有道理，有的同學覺得不可思議，但是又一時找不到反駁的理由。這個問題太有趣了，從沒有人懷疑2 x +1=0不是方程。

B：“2 x +1=0是方程，因為它滿足方程的概念，既含有未知數又是等式，所以是方程。”A：“當x=-1時，2 x +1=0左右兩邊不相等，不是等式也就不是方程。”C：“Χ不能等于－1，因為它不是方程的解，所以根本不能把x=-1代入方程。”D：“代入會怎么樣呢？”C：“不是方程的解，代入方程后當然不成立了。”A：你的意思是當x=-1時，2 x +1=0不是方程。只有當x=-時，2 x +1=0是方程。C：“對！”A：“我認為2 x +1=0是不是方程，不應該受x的限制。”E：“方程2 x +1=0只有x=-時才是方程，其他情況不是。”此時兩個很明顯的觀點產生了：一種認為若2 x +1=0是方程，那么是普遍意義的方程，并不受方程的解的限制。另一種認為2 x +1=0是方程，但一定是x取x=-時才是方程。很顯然，筆者希望學生接受第一種觀點，但如何有力反駁第二種觀點呢？第一種觀點是一棍子打死嗎？顯然不能。筆者鼓勵學生繼續討論，并把問題確定為2 x +1=0是不是方程與x的取值有關嗎？

2.2 x +1=0是不是方程與x的取值有關嗎？學生中沒有明顯的觀點，筆者開始逐步引導：我們把2 x +1=0中的x稱為什么？學生回答：“未知數。”“什么叫未知數？”“不知道的數。”“在方程2 x +1=0中這個不知道的數是多少呢？”“x=-。”“那么x=-和方程什么關系？”“x=-是方程的解。”

師：對于方程的解來講可以不依賴方程獨立存在嗎？

生：不可以。沒有方程，哪里來的方程的解？

師：所以方程和方程的解什么關系？

生：先有方程然后才有方程的解，方程并不依賴方程的解，但是方程的解依賴方程。

生：哦，明白了，2 x +1=0是方程，它的解是x=-，其他數都不是它的解，所以代入之后等式不成立。今后解方程必須要檢驗。代入方程后等式成立即為解，不成立就不是方程的解。

3.方程一定有解嗎？

學生開始熱烈討論，同學之間互相舉例驗證，教室里一度安靜，筆者始終沒有開口，期待學生的發現。大約五六分鐘過去了，G高興地叫起來：“我發現了，我發現了！x2=-1就沒有解，不可能有解。”“大家認為呢？”“對，不能有這樣的x。”“那么大家認為x2=-1是方程嗎？”G：“從表面上看是，因為既含有未知數，又有等號連接，應該是方程。但是實質上不是，因為方程中的未知數沒有取值，所以不是方程。”筆者說：“G同學解釋得很好，我們目前學到的數確實沒有數滿足x2=-1，為了解決這個問題使方程x2=-1有解，又引入一類數叫虛數，我們在高中會學到。”H：“老師我發現的這個方程肯定沒有解=0。”“這個例子非常好。事實上存在沒有解的方程！方程只需滿足定義即可，是否是方程并不依賴于解的存在。大家嘗試再舉出一些沒有解的方程。”

三、反思與收獲

方程的定義本身是一個邏輯定義，方程并不依賴于方程的解的存在，有些方程是沒有解的，但不能否認它是方程。學生的討論過程即學生認識和接受知識的過程，所謂理越辯越明，在本課中有很好的體現。每一個數學概念的形成歷經了漫長和艱難，概念中體現了數學的思維方式，所以學生在學習和討論概念的過程中也經歷了概念的形成過程，體會數學的思維方式，在討論中自主構建概念。本節課雖然沒有完成事先設計好的例題與練習，但是通過一場熱烈的思辨討論，學生對方程的概念、方程的解與方程的關系有了更加深入的了解。學生提出這個問題有很大的偶然性，若是沒有學生提出，必然也就沒有這一場思辨。這使筆者對概念的教學引起了重視，在平時教學中概念絕不可以一帶而過，數學中的知識都可以回歸到概念上來，在概念中挖掘知識的本質和源頭。我們總是抱怨學生對知識掌握不扎實，運用不靈活，深入思考很可能是對概念的理解不清。也許以討論的方式上概念課也不失為一種很好的教學方式。教學是一個動態的過程，課堂上會產生一些預設之外的生成性問題，生成性問題就像是劃過夜空的流星，眨眼間就會錯過，抓住課堂的生成問題，積極引導學生探究，激發學生思考，激活學生的數學潛能，抓住課堂的生成問題是培養學生學習數學興趣的極好機會。

ISSN2095-6711/Z01-2015-06-0266