勾股定理證明的“再生”

張景中

一根磁鐵棒截為兩段，在截斷的地方會產生兩個新的磁極，變成兩根磁鐵棒；一條蚯蚓截為兩段，在截斷的地方會長成兩個肛門，變成兩條蚯蚓，有人把這些現象叫做“再生”. 一個幾何定理的證明，把圖形剪掉一半，從剩下的半個圖形中還能找出這個定理的證明嗎？如果可以，我們不妨稱它為“再生的證明”.

勾股定理是幾何學的一塊重要基石，它的證明方法多達300余種. 最古老的證法（如圖1）巧妙地利用了一大一小兩個正方形的面積之差. 這種證法，變種極多，影響甚廣而且眾所周知，這里便不再贅言. 而在這眾多證法中，居然有一個出自美國總統——加菲爾德之手. 具體證法如下：

上述證明雖然再生了，但并不理想. 這個證明沒有總統的證法簡潔，而總統的證法沒有古老證法明快，再生之后，質量退化了！退化的原因大概是“近親”繁殖，缺乏新鮮血液吧！兩次再生過程，都不過是面積折半，如法炮制，沒有新的思想注入.

能不能使再生的證明質量超過上一代呢？再生，不一定非得把圖形剪掉一半不可. 壁虎尾巴脫落后可以再長一條出來，海星的部分肢體可以長成又一個小海星，這些也是再生. 那么，證明中所用的圖形，取其部分以構成新的證明也不妨稱之為“再生的證明”吧！

圖4大家很熟悉，它表明了古希臘數學家畢達哥拉斯的一種證法，也是歐幾里得《幾何原理》中所載的勾股定理的證法. 現行教材中，普遍介紹了這個證法：

這個證明的出發點是在Rt△ABC三邊上各作正方形，證明斜邊上的正方形是兩腰上正方形面積之和. 但在證明過程中，又是把每個正方形各取其半來比較. 既然各取其半可以，各取也可以，各取可以，當然各取n倍也可以！不過，最方便的是取哪一部分呢？

在以AB，BC，AC為邊的正方形上分別附貼△ABC，△CBD和△ACD，這樣便形成了三個彼此相似的三角形. 于是，要證兩個小正方形的面積和等于大正方形的面積，只需證 .

我們干脆把三個正方形剪掉，留下A，B，C，D這四個點構成的圖形，以此為基礎，可再生出一個證法：

如圖5，自△ABC的直角頂點C向斜邊AB作高CD，易證△ABC，△CBD和△ACD相似，根據“相似三角形的面積與對應邊的平方成正比”，設k>0，可得S△BCD=kBC2，S△ACD=kAC2，S△ABC=kAB2. 再由S△BCD+S△ACD=S△ABC得

上述再生的證明已經隱去了它的原形，并且比原證明更簡潔、明快，在許多勾股定理的證明中，它應該說是最簡單的了. 因為圖5的證法要用相似三角形的話需要做較多的準備，而這個證明只用到了全等三角形和三角形內角和公式.

在幾何學習中，一題多證、一例多變是啟迪思維和活躍學習氣氛的有效方法之一. 對幾個重要的定理、例題和習題，從一種解法演化出幾種解法往往比分別孤立地介紹幾種解法更易引起思維共鳴，對同學們的幫助更大，因為它著眼于幾何圖形的聯系和變化，引導同學們從學習走向創造.endprint