圓錐曲線綜合問題

洪朝暉

圓錐曲線是中學數學知識的一個重要交匯點，它常與函數、方程、導數、不等式、數列、平面向量等內容交叉滲透，知識跨度大，題型新穎別致、解法靈活，思維抽象強，能力要求高，它既是高考的熱點題型，又是頗難解決的重點問題，在高考中占據著舉足輕重的地位.近些年，高考對圓錐曲線的考查總體難度有所降低.

重點難點

重點：熟練掌握求曲線方程的常用方法，會根據曲線方程研究平面曲線的性質，主要涵蓋動點的軌跡問題、定點定值問題、參數取值范圍和最值問題、探究性問題（或存在性問題）以及與向量相關的問題等諸多方面的綜合應用.解答這部分試題，需要較強的代數運算能力和推理論證能力，涉及數形結合、分類討論、函數與方程等諸多思想的應用.

難點：正確選擇轉化技巧，有效地將平面幾何問題轉化為代數問題，用函數和不等式知識解決圓錐曲線綜合問題.需要強調的是，突破計算瓶頸也是求解圓錐曲線綜合問題的難點.

方法突破

1.運用方程的思想方法解決直線與圓錐曲線的位置關系問題

圓錐曲線綜合題大多涉及直線與圓錐曲線的位置關系，一般給出直線和圓錐曲線的方程，涉及直線與圓錐曲線的交點、弦長、中點弦等問題，可轉化為一元二次方程的有關問題求解，利用韋達定理進行整體處理可簡化運算.

2.運用函數的思想解決和圓錐曲線有關的取值范圍、最值問題

對圓錐曲線上一些動點、動直線，在變化過程中會引入一些相互聯系制約的量，從而使一些點的坐標、線的長度、圖形的面積及a，b，c，e，λ等之間構成函數關系，利用函數的思想（求值域、最值等）處理這類問題很有效.特別是解決直線與圓錐曲線中的取值范圍和最值問題，恰當地選擇參數（點的坐標、直線的斜率、離心率、比值λ等）為變量，將所求代數式表示為參數的函數，求取值范圍或最值.

3.運用坐標變換的思想方法解決向量與圓錐曲線的交匯問題

圓錐曲線的基本思想方法是坐標法，根據條件建立坐標系后，點的坐標變化可反映運動的變化規律，而向量也有坐標形式，因此，有些幾何關系就可以用坐標的形式來表示，并通過坐標的運算來求解問題.

4.運用特殊與一般的思想方法解決圓錐曲線中定值、定點問題

在解析幾何中，有些幾何量與參數無關，這就構成了定值問題. 解決這類問題，要善于在動點的“變”中尋求定值的“不變”性，解題思路有兩種：一種思路是進行一般計算推理求出其結果，選定一個適合該題設的參數變量，用題中已知量和參數變量表示題中所涉及的定義、方程、幾何性質，再由韋達定理得出所求定值關系需要的表達式，并將其代入關系式，化簡、整理，可得結果；另一種思路是通過特殊化，考察極端位置，探索“定值”是多少，用特殊法（特殊值、特殊位置、特殊圖形）先確定其定值，從而找到解決問題的突破口，將該問題涉及的幾何形式轉化為代數形式，證明該式是定值.這種處理問題的方法也為一般情形提供了解題思路.

恒過定點在解析幾何中主要以兩種形式呈現：點斜式方程和過定點的直線系或曲線系方程，只要將直線或曲線方程求出即可判定.

典例精講

例1 （2014年高考天津卷）設橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，右頂點為A，上頂點為B. 已知AB=F1F2，

（1）求橢圓的離心率；

（2）設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經過點F1，經過原點O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率.

思索 （1）由已知條件AB=F1F2可得關于a，b，c的等式，再根據橢圓中a，b，c的關系，聯立消去b即可得離心率e. （2）先根據（1）設出橢圓的方程和點P的坐標，利用P在橢圓上及PB為直徑這兩個條件聯立方程組，將點P的坐標用c來表示，即可求得圓的直徑PB=2r；再根據題意設出直線l的方程：y=kx；最后根據圓心到直線的距離d=r就可求得直線l的斜率k.

破解 （1）設橢圓的右焦點F2的坐標為（c，0）. 由AB=F1F2，可得a2+b2=3c2，又b2=a2-c2，則=.所以，橢圓的離心率e=.

（2）由（1）知a2=2c2，b2=c2. 故橢圓的方程為+=1. 設P（x0，y0）. 由F1（-c，0），B（0，c），有=（x0+c，y0），=（c，c）. 由已知，有·=0，即（x0+c）c+y0c=0. 又c≠0，故有x0+y0+c=0 ①. 又因為點P在橢圓上，所以+=1 ②.

由①和②可得3x+4cx0=0. 而點P不是橢圓的頂點，故x0=-，代入①得y0=，即點P的坐標為-，.設圓的圓心為T（x1，y1），則x1==

-c，y1==c，進而圓的半徑r==c.

設直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為y=kx. 由l與圓相切，可得=r，即=，整理得k2-8k+1=0，解得k=4±.

所以，直線l的斜率為4+或4-.

例2 （2014年高考江西卷）如圖1，已知雙曲線C：-y2=1（a>0）的右焦點F，點A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA（O為坐標原點）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過C上一點P（x0，y0）（y0≠0）的直線l：-y0y=1與直線AF相交于點M，與直線x=相交于點N. 證明：當點P在C上移動時，恒為定值，并求此定值.

思索 （1）設出點F（c，0），寫出雙曲線的漸進線方程，根據條件用直線方程解得點A，B的坐標后，再由AB⊥OB解得a. （2）先由直線AF的方程及直線l的方程解得其交點M的坐標，同樣聯立直線x=及直線l解得B的坐標，再計算是一個與x0，y0無關的定值.

破解 （1）設F（c，0），因為b=1，所以c=. 直線OB的方程為y= -x，直線BF的方程為y=（x-c），解得B，-. 又直線OA的方程為y=x，則Ac，. 所以kAB=. 又因為AB⊥OB，所以-=-1，解得a2=3. 故雙曲線C的方程為-y2=1.endprint

（2）由（1）知a=，則直線l的方程為-y0y=1（y0≠0），即y=. 因為直線AF的方程為x=2，所以直線l與AF的交點M2，，直線l與直線x=的交點為N，. 則=. 因為P（x0，y0）是C上一點，所以-y20=1. 將其代入上式得===，故所求定值=.

例3 （2014年高考山東卷）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有FA=FD. 當點A的橫坐標為3時，△ADF為正三角形.

（1）求C的方程；

（2）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E，

（i）證明：直線AE過定點，并求出定點坐標；

（ii）△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

思索 （1）根據已知條件和拋物線的定義，易求拋物線的標準方程. （2）對于第（i）小問，因A點位置的改變，引起直線l的變化，導致公共點E的變化，故可將直線AE的方程表示為點A坐標的點斜式方程，再判定直線恒過定點. 對于第（ii）小問，設出B點坐標，運用點到直線距離的公式，求出B點到直線AE的距離，進而將△ABE的面積表示為B點坐標的函數關系，最終轉化為求函數的最值.

破解 （1）由題意知F，0，設D（t，0）（t>0），則FD的中點為，0. 因為FA=FD，由拋物線的定義知3+=t-，解得t=3+p或t=-3（舍）. 由=3，解得p=2. 所以拋物線C的方程為y2=4x.

（2）（i）由（1）知F（1，0），設A（x0，y0）（x0y0≠0），D（xD，0）（xD>0）. 因為FA=FD，則xD-1=x0+1，由xD>0，得xD=x0+2，故D（x0+2，0）. 故直線AB的斜率kAB=-. 因為直線l1和直線AB平行，設直線l1的方程為y=-x+b，代入拋物線的方程得y2+y-=0. 由題意，Δ=+=0，得b=-. 設E（xE，yE），則yE=-，xE=. 當y≠4時，kAE==-=，可得直線AE的方程為y-y0=（x-x0），由y=4x0，整理可得y=（x-1），直線AE恒過F（1，0）. 當y=4時，直線AE的方程為x=1，過F（1，0）. 所以直線AE過定點F（1，0）.

（ii）由（i）知，直線AE過焦點F（1，0），所以AE=AF+FE=（x0+1）++1=x0++2. 設直線AE的方程為x=my+1，因為點A（x0，y0）在直線AE上，故m=. 設B（x1，y1），直線AB的方程為y-y0=-（x-x0），由于y0≠0，可得x=-y+2+x0，代入拋物線方程得y2+y-8-4x0=0. 所以y0+y1=-，可求得y1=-y0-，x1=+x0+4. 所以點B到直線AE的距離為：

d===4+，則△ABE的面積S=×4+x0++2≥16. 當且僅當=x0，即x0=1時等號成立. 所以△ABE的面積的最小值為16.

變式練習

1. （2013年江西高考）過點（，0）引直線l與曲線y=相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于（ ）

A. B. -

C. ± D. -

2. 已知拋物線y2=4x，過焦點F的弦與拋物線交于A，B兩點，過A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則AC+BD的最小值為________.

3. （2014年高考安徽卷） 設F1，F2分別是橢圓E：x2+=1（0

4. 已知雙曲線-=1（a>0，b>0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p>0）的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點，若已知雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p等于（ ）

A. 1B. C. 2D. 3

5. 設橢圓+=1（a>b>0）的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設A，B分別為橢圓的左、右頂點， 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點. 若·+·=8，求k的值.

參考答案

1. B 2. 2 3. x2+=1

4. C

5. （1）+=1.

（2）k=±.