僅有兩個非平凡正規子群的可解群

曹建基,高建玲

(1.山西大同大學數學與計算機科學學院,山西大同037009;2.山西大同大學教育科學研究所,山西大同037009)

僅有兩個非平凡正規子群的可解群

曹建基1,2,高建玲1

(1.山西大同大學數學與計算機科學學院,山西大同037009;2.山西大同大學教育科學研究所,山西大同037009)

研究了僅有兩個非平凡正規子群的有限可解群.給出了這類群的一些性質.

正規子群;可解群;冪零群

本文討論的群均為有限群。

利用正規子群刻畫有限群的結構是有限群論中常用的方法。特別地,非平凡正規子群的個數對有限群有很大的影響。如果有限群G沒有非平凡正規子群,則G為單群,文獻[1]給出了有限單群分類定理,它是數百位數學家數十年努力完成的。作為該問題的另一個極端情形,文獻[2]給出了De?dekind群的分類。

本文對僅有兩個非平凡正規子群的有限可解群做了研究,得到了一些結論。

1 預備知識

引理1[2]設G為有限可解群,如果群G存在唯一的非平凡正規子群K,則:

(1)G冪零當且僅當G為p2階循環群;

(2)G可解但非冪零當且僅當G=P?Q,其中P為初等交換p-群,Q為q階循環群且Q在P上作用不可約。

引理2設G為有限可解群。G僅有兩個非平凡正規子群H和K,且H?K=1當且僅當G?Cp×Cq,其中p,q為不同素數。

證明充分性顯然。

必要性:因為G僅有兩個非平凡正規子群H和K且H?K=1,所以G=HK即G=H×K,又由G＞H＞1,G＞K＞1為群G的主群列,由G可解得H和K均為初等交換p-群,故G交換,而由G僅有兩個非平凡正規子群得G?Cp×Cq其中p,q為不同素數。

引理3設G為有限群,且有唯一的極小正規子群N,則G=N M,其中M＜·G,

MG=1當且僅當N交換且N≤Φ(G)。

引理4[3]設G為有限非交換p-群,則G非平凡特征子群唯一當且僅當G為方次數為p2的齊次循環p-群。

引理5[3]設G為非交換p-群,且G非平凡的特征子群唯一,則G為方次數不超過p2的特殊p-群。

引理6[3]設G為有限超特殊p-群(p＞2),則G非平凡特征子群唯一當且僅當exp(G)=p。

引理7[4]設π'-群H作用在交換π-群G上,A是H的不變子群,且為G的直積因子,即存在B≤G使G=A×B,則必可找到G的H不變子群K使G=A×K。

引理8[5]設G為有限超特殊p-群,A是群G的非交換的p3階子群,則G=A?CG(A),其中CG(A)為超特殊p-群,除非G=A。

2 主要結果

定理1設G為有限可解群。如果G僅有兩個非平凡正規子群,那么

(1)G冪零當且僅當G為p3階循環群或G=Cp×Cq,其中p,q為不同素數。

(2)G為非冪零可解群,

Φ(G)=1當且僅當G為下面兩種群之一。

(I)G=F(G)?Cq2,其中F(G)為初等交換p-群,且F(G)為G的唯一極小正規子群,Cq2在F(G)上作用不可約。

(II)G=F(G)?(Q?R)其中F(G)為初等交換p-群,且F(G)為G的唯一極小正規子群,Q為初等交換q-群,R為r階循環群。R在Q上作用不可約。p,q,r為素數。

Φ(G)≠ 1,G=F(G)?Cq,其中F(G)為p群,|Φ(G)|=q+1。

(I)F(G)交換當且僅當G=(x1×x2×…×xk)?Cq其中且Cq在F(G)上作用不可約。

(II)F(G)非交換，則F(G)為非平凡特征子群唯一的特殊p-群，且exp(F(G))≤p2。特別地,F(G)為超特殊p-群當且僅當G=(M1?M2)?C2，其中M1?M2為方次數為3的33階非交換群，且M1?M2的任意33階子群均不正規,如果C2=g，則有

為證明定理1，我們分情況討論，先考慮G冪零的情形,得到下面的

命題1設G為有限冪零群，則G僅有兩個非平凡正規子群當且僅當G同構于下列兩個群之一

(1)G為p3階循環群。

(2)G?Cp×Cq，其中p，q為不同素數。

證明充分性顯然。

必要性:由于G冪零且G僅有兩個非平凡正規子群,所以|G|最多有兩個素因子。

(1)如果G為p-群,則由于p-群有任意階的正規子群,所以|G|=p3。G必定循環，否則由于G任何一個極大子群都正規可得矛盾。故G為p3階循環群。

(2)如果|G|有兩個素因子,不妨設為p,q且設P∈Sylowp(G)，Q∈Sylowq(G)，則G=P×Q。由于G僅有兩個非平凡正規子群,故P，Q均為素數階循環群，即G?Cp×Cq。

下面討論G為非冪零可解群的情況得到

命題2設G為非冪零可解群。且設Φ(G)=1。G僅有兩個非平凡正規子群當且僅當G為下面兩種群之一

(1)G=F(G)?Cq2，其中F(G)為初等交換p-群,且F(G)為G的唯一極小正規子群，Cq2在F(G)上作用不可約。

(2)G=F(G)?(Q?R)其中F(G)為初等交換p-群，且F(G)為G的唯一極小正規子群,Q為初等交換q-群，R為r階循環群。R在Q上作用不可約。p，q，r為素數。

證明必要性:由引理2及群G僅有兩個非平凡正規子群得G的極小正規子群唯一,又由于Φ(G)=1所以F(G)為群G唯一的極小正規子群。由引理3得G=F(G)?M,其中M＜·G,且MG=1所以由引理1得G同構于(1),(2)兩種群。

充分性:經驗證可得F(G)?Cq為包含F(G)的唯一的正規子群,結論得證。

對于(2)類似于(1),經驗證得F(G)?Q為含F(G)的唯一的正規子群,結論得證。

命題3設G為非冪零可解群,且設Φ(G)非平凡。G僅有兩個非平凡正規子群,則G=F(G)?Cq,其中F(G)為p-群,p,q為素數,且|Φ(G)|=q+1。

(1)F(G)交換當且僅當G=(x1×x2×···×其中且Cq在F(G)上作用不可約。

(2)F(G)非交換,則F(G)為非平凡特征子群唯一的特殊p-群,exp(F(G))≤p2。

特別地,F(G)為超特殊p-群當且僅當G=(M1?M2)?C2,其中M1?M2為方次數為3的33階非交換群,且M1?M2的任意33階子群均不正規,如果C2=g,則有M1g=M2。

證明由G可解得F(G)非平凡且Φ(G)＜F(G),F(G)定為p-群。否則,由于F(G)冪零得F(G)的任意Sylow子群均為G的非平凡正規子群,與僅有兩個非平凡正規子群矛盾。由于可解群必定存在一個極大正規子群，所以F(G)＜·G，故G=F(G)?Cq。

下面討論F(G)的非平凡特征子群，如果F(G)為特征單群，即F(G)=Cp×Cp×···×Cp=Φ(G)×A，由引理7得A?_G，矛盾。所以由G的非平凡正規子群僅有兩個得F(G)非平凡特征子群唯一。

(1)若F(G)交換，由引理4得F(G)=x1×x2×···×xk其中由G僅有兩個非平凡正規子群得Cq在F(G)上作用不可約。反之，由于Cq在F(G)上作用不可約得Φ(G)為唯一的真包含于F(G)的G的正規子群。

(2)若F(G)非交換，由引理5得F(G)為方次數≤p2的特殊p-群，Φ(G)=F(G)=Z(F(G))=Φ(F(G))為初等交換p-群，考慮Cq在{Φ(G)1}上的共軛作用。由Φ(G)為極小正規子群，及Φ(G)=Z(F(G))得Cq在{Φ(G)1}上作用傳遞，所以|Φ(G)|=q+1。

特別地，如果F(G)為超特殊p-群，由于|Φ(G)|=q+1，所以p=q+1，得p=3，q=2，由引理6得F(G)為方次數為3的超特殊3-群。 即G=(M1?M2? ··· ?Mk)?C2，其中Mi? Mj為方次數為3的33階非交換群。令Mi=xi,yj，由于G僅有兩個非平凡正規子群，所以Mi?G，令C2=g ，由Mi?G，得至少有一個不屬于Mi，如果則由可交換得xi，yj可交換，矛盾。所以均不包含在Mi中，令可得所以，由引理8得F(G)的任意33階子群均不正規，且

反之，如果G存在除Φ(G)和F(G)外的非平凡正規子群K，則K?Cp×Cp=a×b如果K≤M1，則a，b至少有一個不在Z(F(G))，不妨設為b，由M如果a∈M1，b∈M2，且a，b都不包含于Z(F(G))，則

綜上所述，命題1，命題2,命題3完成定理1的證明。

[1]DANIEL Gorenstein,RICHARD Lyons,RONALD Solomon.The classification of the simple groups[J].American Mathematical Soci?ety,Mathematical Surveys and Monographs,2000,40(1)：55-56.

[2]ZHANG Qinhai,CAO Jianji.FINITE groups whose nontrival normal subgroups have the same order[J].Mathematical Reaserch Ex?position,2008,28(4):807-812.

[3]ZHANG Qinhai,CAO Jianji,XU Mingyao.A note on finite superspecial p-groups[J].Advances in Mathematics,2008,37(4):494-498.

[4]徐明曜.有限群導引(下冊)[M].北京:科學出版社,1999:6-7.

[5]DANIEL Gorenstein.Finite Groups[M].New York:Chelesa Publishiing Company,1980:203-204.

Finite Solvable Groups with Two Nontrivial Normal Subgroups

CAO Jian-ji1,2,GAO Jian-ling1
(1.School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)(2.Institute of Educational Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

In this paper,we studied finite solvable groups which only have two nontrivial normal subgroups.Some properties are given.

normal subgroups;solvable groups;nilpotent groups

O 152

A

1674-0874(2015)05-0007-02

2014-07-13

山西大同大學校級青年基金[2009Q14]

曹建基(1979-),男,山西介休人,博士,講師,研究方向:群論。

〔責任編輯 高海〕