大規模電網電磁暫態快速仿真方法

姚蜀軍，韓民曉，汪燕，萬磊

(1．華北電力大學，北京市102206;2．中國電力科學研究院，北京市100192)

0 引言

機電暫態仿真系統是分析電力系統穩定的重要工具。隨著與直流輸電(high voltage direct current，HVDC)、柔性交流輸電(flexible AC transmission systems，FACTS)、大規模新能源發電等相關的電力電子裝置和其他非線性元件廣泛應用于電力系統，這些元件引起的波形畸變及其快速暫態過程對系統機電暫態過程的影響越來越大，機電暫態仿真已不能滿足電力系統的仿真需求。與機電暫態仿真不同，基于詳細建模和小步長的電磁暫態仿真在精確的電路層面上對系統元件進行建模、分析，并計算得到各種暫態響應的時域波形，可以體現系統的電磁暫態行為［1-3］。然而，電磁暫態過程的變化很快，仿真步長一般選取μs級(50～100 μs)。由于所選取的步長小，占據的內存大，計算速度很慢，這使電磁暫態仿真程序的仿真規模受到了限制。為此，人們嘗試多種方法來提高電磁暫態的仿真速度，擴大計算規模，這些方法可以分為以下幾類。

(1)實時仿真。針對應用類型的不同，電磁暫態仿真可分為離線仿真和實時仿真。對于實時仿真，除了軟件技術外，還需要相關硬件裝置的配合。然而，考慮到經濟性和硬件條件的限制，目前實時仿真器不能完全取代離線的仿真工具，并且仿真規模較小。

(2)改進模型。文獻［4-7］基于信號調制理論，提出了動態相量方法。該方法在信號的1個周期內，得到信號的傅立葉系數，并基于不同頻次的傅立葉系數，通過Hilbert變換構建不同頻次的動態相量。此時的方程包含代數和微分2部分，可以體現系統的動態行為。然而，動態相量法需要進行傅立葉分解，使其本質上不能用于瞬時信號，而是對信號的一種動態平均處理。特別是在信號非線性的情況下，無法進行傅立葉分解，其精度難以保證。例如，對于傳統晶閘管型的HVDC，當不考慮換相失敗時，基于動態相量的模型比較準確，而當出現換相失敗時，由于此時閥電流的無規律性，無法進行動態相量的準確建模，因此，其換相失敗時的仿真精度很差。此外，對于基于IGBT的全控器件裝置，由于開關頻率很高，諧波次數也很高，需要同時建立與高次諧波對應的動態相量方程，因而會極大增加求解的方程數，同時由于高次諧波的頻率很高，并不能有效減小仿真步長，因此，也不能有效減少仿真時間。文獻［8-11］提出了一種頻率偏移(shifted frequency analysis，SFA)的思想，通過對電力系統信號的頻率進行偏移處理，將快變化變成慢變化，從而增大仿真步長，但文中并沒有給出算例驗證。

(3)混合仿真。利用電磁暫態和機電暫態的各自特點，文獻［11-17］提出了混合仿真［11-17］。但是，由于電磁暫態仿真采用三相瞬時值的電磁暫態模型，暫態過程中，包含大量諧波成分，而機電暫態仿真采用基波有效值的機電暫態模型，機電暫態部分無法對電磁暫態部分的不同頻率進行響應。為此，基于Prony方法等效和頻率相關網絡等值(frequency dependent network equivalent，FDNE)的電磁 － 機電暫態解耦混合仿真模型被提出。這類方法，通過辨識，得到交流網的頻率響應等值模型，將其接入電磁暫態部分。然而，由于這類方法無法處理非線性元件，且系統規模越大，辨識越困難。

(4)并行與多速率。文獻［18-29］針對電磁暫態的快過程和機電暫態的慢過程，提出多速率的思想，對于需要詳細仿真的采用小步長，對于不需要詳細仿真的采用大步長。這些文獻中對于大步長采取什么方法沒有提及，而不同的大步長方法會極大影響仿真的精度、小步長和大步長間的接口方法和設計。

此外，并行也是一種提高計算速度的思路，目前，基于GPU的并行仿真，是最新的研究趨勢［15-19］。但是，由于GPU只能進行細粒度的簡單計算，特別是不能很好地處理稀疏矩陣或向量的計算，當沒有一個高效的稀疏矩陣求解方法出現之前，還看不到其良好的應用前景。

本文提出一種電磁暫態的快速仿真方法。與SFA構造方法不同，本方法是基于坐標系旋轉變換的思想進行推導的，通過旋轉變換降低信號的頻率，可以根據需要，靈活調節仿真步長，從而加快仿真速度。實際上，基于該方法還可以實現一種多速率的混合方法，對含有電力電子裝置或人為設定的部分采用小步長電磁暫態仿真，對于不需詳細了解的交流網部分采用本文的大步長電磁暫態仿真。小步長和大步長間按一定的原則接口，可以方便地實現并行計算。本文只給出大步長快速仿真的原理及仿真驗證，多速率混合仿真的方法將在后續文章中給出。

1 大步長電磁暫態仿真方法的提出

電力系統時域數字仿真可以看作是對電力系統信號的采樣。根據Shannon采樣定理，采樣頻率應該至少是原始信號頻率的2倍才能保證采樣不丟失原始信號的信息。電磁暫態數字仿真中，根據精度要求，與仿真步長對應的采樣頻率一般為原始信號的10倍［30］。顯然，如果能夠顯著降低原始信號的頻率，那么采樣頻率也會相應減小，從而可以增大對應的仿真步長，加快仿真速度。

式(1)是常用的從αβo靜止坐標系到dqo旋轉坐標系的旋轉變換，α、β、o是由三相信號構造的。其變換結果，使αβ的工頻信號在三相對稱的情況下，變換成dq的直流信號。如果能在dqo旋轉坐標系下對這個直流信號進行數字仿真，顯然可以設定較大的仿真步長。

三相對稱時o軸實際和其他2個軸是解耦的，此時式(1)可以簡化成式(2)，即

由電機學知識可知，三相不對稱時，靜止坐標系下工頻變化的量在發電機中會感應出不同頻率的量，這時旋轉坐標系下信號的頻率反而比靜止坐標系下的工頻大得多，無法實現大步長。

本文借鑒上述思想，通過構造單相信號而不是三相信號的旋轉變換實現信號頻率的降低，并且沒有上述的發電機問題，從而實現大步長的仿真。

1.1 復數信號的旋轉變換

交流電網中，電壓、電流x(t)是以工頻為主導頻率的正弦窄帶信號，即

其相量形式為

如果幅值不滿足準穩態條件，可用式(5)來描述:

式中A(t)表示信號的幅值包絡。

信號的相量形式相應變為

在靜止坐標系下，假設能夠從x(ω，t)構造一個復數信號:

可以通過下面的變換建立Xdq(t)與Zxy(ω，t)間的關系:

將式(8)按實部和虛部展開:

觀察Xdq(t)與Zxy(ω，t)，式(9)實現了與式(2)相同的從靜止坐標系x－y到旋轉坐標系d－q的旋轉變換，也即式(8)中e－jωt是一個旋轉變換。在d－q旋轉坐標系中，xd(t)=A(t)cosθ，xq(t)=A(t)cosθ，不再是直流信號，但是由于A(t)是x(t)的包絡，其頻率較低，可以采用大步長。

當系統的頻率存在波動或偏差時，d－q坐標系的旋轉頻率ωr可以與信號頻率ω不同，設:

對式(8)可做類似的旋轉變換:

按實部和虛部展開:

當ω，ωr相差不大時，Δω是一個比較小的數，xd(ω，ωr，t)，xq(ω，ωr，t)是一個低頻變化的量，式(12)、(13)實現的是快變信號與慢變信號間的旋轉變換，仍然可以采用大步長。

值得注意的是，這里的旋轉變換與式(1)、(2)的不同之處在于其是按單相進行的，因此沒有Park變換中由于三相不對稱負序產生倍頻而影響仿真步長大小的問題。

1.2 復數信號構造

上述的變換實際是這樣一個過程:

因此，關鍵是如何從一個實數信號x(t)構造出一個復數信號Zxy(t)。由于zx(ω，t)=x(t)，實際上就是如何構造出正交的zy(ω，t)。交流電網中，電壓、電流即x(t)一般為正弦量，利用這一特點，可以有下面幾種方法。

(1)積分變換。由于微分變換會對高次諧波放大。根據電力系統信號的特點，也可以采用積分變換來構造，即zy=ω∫zxdt。當含有諧波時，設

則:

從式(15)中可看出，諧波次數在分母上，因此，高次諧波的存在不會影響zx(ω，t)與zy(ω，t)的正交性，且諧波次數對數值影響不大。正常情況下，交流網中的諧波比例很小，系統的主導頻率仍然是基波。因此，經過基波變換后zy與zx是近似正交的。

(2)Hilbert變換。在動態相量中用Hilbert變換來構造zy(ω，t)。其特點是能在各頻次下保證實現zy與zx正交。但是由于Hilber變換是一個與原始信號的卷積，其計算量很大，影響了仿真速度。本文采用方法(1)來構造單相的復數信號。

2 大步長下基本元件的電磁暫態等值模型

可以用式(16)得到原信號x(t):

則電壓和電流的實際信號u(t)、i(t)可用d－q下的復數信號還原。為了簡潔，不再給出頻率參數項，即:電磁暫態仿真中電力元件一般采用Dommel等值模型，下面推導d-q坐標系下各元件的Dommel等值模型。

2.1 電阻模型

可見，在d-q坐標系下，電阻的形式與靜止坐標系下一致。

2.2 電感模型

設RL=2L/h，ZL=RL+jωrL，YL=1/RL+jωrL ，Z*L=RL－ jωrL則式(31)可記為

即

寫成Dommel的等值形式:

其中，iL．dq．his(t)=YLudq(t－ h)+表示歷史電流。

需要注意的是，以上變量都為復數。

2.3 電容模型

與電感類似:

寫成Dommel的等值形式:

其他設備如發電機、變壓器、傳輸線、電動機等因為篇幅所限這里不一一推導。

3 電磁暫態仿真步長的選取

上面元件的公式中，由于出現了旋轉頻率ωr，隨著ωr的取值不同，可以實現仿真步長的自適應調整。當需要詳細仿真時，取ωr=0，即不旋轉，仿真可以取小步長，當不需要詳細仿真時，取ωr為主導頻率50 Hz，變換到旋轉坐標系下，可以取大步長。此外，ωr如果取次同步振蕩的頻率，還可以用來進行次同步振蕩的仿真分析。一般，對于含有電力電子器件的FACTS、HVDC等裝置時，由于其開關頻率高，仿真可以取小步長，而對于常規的交流電網部分，其主導頻率為工頻，可以將旋轉頻率設為工頻，通過旋轉變換后，仿真可以取大步長。

實際上，以此為基礎可以設計一種多速率的混合仿真方案。該方案中應該充分考慮如下幾個因素:(1)如何方便地實現不同速率仿真的接口;(2)該接口是否易于實現不同速率仿真的并行計算;(3)采用何種高效的電網劃分和并行計算方法。限于篇幅，這些研究將在后續文章中給出。

4 算例

這里給出IEEE14的仿真算例，以驗證本文提出的大步長快速仿真的有效性，如圖1所示。為了簡化程序，其中發電機目前用等值電壓源代替，線路用π型集中等值模型。

圖1 IEEE 14節點系統圖Fig.1 IEEE 14 node system

圖2 是支路1－5首端電流的仿真結果。其中EMTDC表示的是采用PSCAD/EMTDC軟件的仿真結果。小步長、大步長是本文程序采用不同仿真步長的結果。EMTDC的仿真步長為100 μs，小步長為100 μs，大步長為5 ms。圖2(a)表示的是瞬時值，圖2(b)是為了比較精度，對圖2(a)的局部放大。從仿真結果可以看出，本文的仿真步長可以靈活設置，精度與PSCAD/EMTDC的精度近似一致。

5 結語

本文基于坐標系旋轉變換的思想，提出了一種大步長的快速電磁暫態仿真方法。仿真算例表明本方法具有可行性。由于目前的工作尚處于初始階段，發電機、傳輸線等模型的完善還需進一步開展。此外，基于該方法還可以實現一種多速率的混合方法，對含有電力電子裝置或人為設定的部分采用小步長電磁暫態仿真，對于不需詳細了解的交流網部分采用本文的大步長電磁暫態仿真。小步長和大步長間按一定的原則接口，可以方便地實現并行計算。這些工作留待后面繼續深入研究。

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