基于MCS方法的高斯仿射利率期限結構模型研究

鮑 杰，葛 靜

(華中科技大學經濟學院，湖北 武漢 430074)

基于MCS方法的高斯仿射利率期限結構模型研究

鮑 杰，葛 靜

(華中科技大學經濟學院，湖北 武漢 430074)

本文在最小卡方估計方法基礎上研究了高斯仿射利率模型的參數識別和估計問題。以標準化高斯模型為起點，從結構化模型和簡約化模型參數的函數關系出發研究高斯仿射模型的可識別性，最小卡方估計量繼承了結構化模型極大似然估計量的所有漸進性質并保證了參數估計量的可靠性。以上交所2006-2013年隱含于國債價格月度數據的零息票收益率為樣本采用最小卡方方法實證研究了高斯仿射期限模型，結論表明高斯仿射模型很好的擬合了觀測的期限結構，并且整體上看簡約型和結構型參數估計量的統計性質的優劣具有一致性。

高斯仿射期限結構；可識別性；極大似然估計量；最小卡方估計量

1 引言

在利率市場化背景下，如何有效的估計和預測無風險利率期限結構成為金融風險管理和衍生品定價的關鍵問題之一。目前已有大量文獻集中于利率期限結構的動態演變研究，發展過程經歷了由一般均衡模型到無套利模型、由單因子利率模型到多因子模型，這一變化的驅動因素是模型能否快速有效地捕捉到市場信息，準確地給出利率的預測值。其中，在無套利框架下，由Vasicek[1]，Duffie和Kan Rui[2]，Dai Qiang和Singleton[3]以及Duffee[4]建立的高斯仿射模型成為研究利率期限結構的基礎。這類模型的優勢在于以完全解析的方式給出了資產和風險的市場價格，同時也以解析的方式給出模型參數對資產價格變化的邊際影響。Duffee[4]，Cochrane和Piazzesi[5]利用該方法測度利率期限結構中的風險溢價，Christensen, Diebold和 Rudebusch[6]給出的無套利動態Nelson和Siegel[7]利率模型是帶約束的高斯仿射模型，他們檢驗了P-測度下模型參數的不同約束條件對利率期限結構預測的影響。

高斯仿射期限結構模型即收益率由Nl個不可觀測的定價因子線性表示，定價因子滿足受約束的VAR,盡管它具有諸多優勢，但是同時這類模型在理論層面和實證層面也存在一定的不足：在理論層面，高斯仿射期限結構模型參數的存在識別性問題。如果模型的同一個輸出值存在多個輸入參數向量，那么這個模型在這點就是不可識別的，在統計上也就無法使用觀測的數據來估計模型的參數，Collin-Dufresne，Goldstein和Jones[8]，A?t-Sahalia和Kimmel[9]證明DaiQiang和Singleton[3]的經典表示是不可識別的；在實證研究層面，由于似然函數的高度非線性和似然曲面的多峰性問題，采用數值方法對高斯模型的參數估計時對初始值有嚴格的要求。Kim[10]指出由于無套利模型待估參數較多以及參數和收益率之間的非線性關系，數值計算需要尋找一個較好的初始值以滿足非線性系統的收斂性。同時，Ang和Piazzesi[11]也指出在使用極大似然法估計多因子模型參數時，高度非線性系統需要一個較好的初始值以滿足系統的收斂性。通常對收斂性問題的處理方法是用數百個初始值進行搜索直到系統穩定，但是Hamilton和Wu[12]證明這種方法并不能保證得到的參數是全局最大值。

上述高斯仿射模型存在的參數可識別性和實證研究參數的估計問題，可以從結構化模型和簡約化模型參數的函數關系出發同時得到解決。在模型參數的可識別性方面，可以直接從結構型參數和簡約型參數的函數關系得到，結構型衍生出的簡約化模型參數估計量是一個可以識別的OLS估計量，如果兩者參數個數相等，則結構化模型恰好可識別；如果結構化模型參數少于簡約化模型，它則過度識別。在參數估計的實證層面，最小化卡方估計方法(Minimum-Chi-Square，MCS)實現簡約化參數和結構化參數之間的轉換。Rothenberg[13]將MCS方法應用于參數統計推斷，證明當簡約型估計量是無約束的MLE以及權重矩陣是信息矩陣時，最小卡方估計量(Minimum-Chi-SquareEstimation，MCSE)與完全信息MLE是漸進等價的。在仿射期限結構模型中，Hamilton和Wu[12]證明MCSE能夠抓住MLE估計量的所有漸進優勢并且它們的漸進協方差相等，同時避免了與MLE相關的大量數值問題。雖然簡約型和結構型參數的轉換常常也包含數值計算，但是包含的數值成分遠遠少于MLE估計結構化模型的數值成分。在結構化模型恰好可識別的情況下，MCS方法比MLE方法有更大的優勢，理論上可以確定得到的參數估計量是最大似然估計量，而在過度識別的情況下，MCS方法仍然有效，此時參數是無約束簡約型參數估計量的函數。

最近的利率期限結構文獻包括Christensen，Diebold和Rudebusch[6]給出了無套利動態Nelson-Siegel利率模型，理論上將DNS模型的無套利化，并給出了水平因子，斜率因子和曲率因子的簡潔表示，與以前的利率期限結構模型相比，它顯著地提升了實證的可操作性和預測效果。Joslin，Singleton和ZhuHaoxiang[14]給出了一個仿射期限結構模型的經典表示，理論上極大的提高了似然函數的收斂性。Collin-Dufresne，Goldstein和Jones[8]給出了基于零息票利率衍生產品的期限結構表示，指出了使用可觀測變量而不是不可觀測的潛在變量表示利率期限結構的優點。吳恒煜等[17]應用兩因子Vasicek模型在狀態空間框架下結合卡爾曼濾波方法研究了上海證券交易所國債利率期限結構，研究表明GumbelCopula和混合Copula能較好的刻畫1年期和20年期利率觀測誤差的相依性，并且GumbelCopula能夠更有效地捕捉到國債投資組合的風險。周榮喜和王曉光[18]構建了三因子CIR過程,采用卡爾曼濾波估計方法并利用蒙特卡羅模擬對我國國債進行定價預測，結論表明多因子模型要優于單因子模型，雙因子模型要略優于三因子模型，為國債的合理定價提供了技術支持。文興易和黎實[19]提出了基于局部線性逼近DNS模型，結果表明該模型的無論是樣本內的擬合效果還是樣本外的預測效果均優于原模型。

2 高斯仿射期限結構模型及實證方法

首先建立離散情形下的高斯仿射期限結構模型，給出Q-測度和P-測度下的期限結構的表示；然后從Dai和Singleton[3]的標準化表示出發，從結構化模型和簡約化模型的關系角度研究結構化模型參數的可識別性；最后給出結構化模型的MCS估計方法。

2.1 高斯仿射模型

考慮一個(M×1)的向量Ft，它的動態性由一個高斯自回歸過程表示：

Ft+1=c+ρFt+∑ut+1

(1)

其中，ut+1～i.i.d.N(0,IM)。由這個表示可以得到Ft+1的條件分布：

Ft+1|Ft,Ft-1…F1～N(μt,∑∑′)

μt=c+ρFt

(2)

令rt表示單期的無風險利率，假定Ft包含了價格變化的所有因素，則時刻t貼現資產的價格是Pt(Ft)。在風險中性條件下，貼現資產的價格滿足：

Pt(Ft)=exp(-rt)Et[Pt+1(Ft+1)]=exp(-rt)∫Pt+1(Ft+1)φ(Ft+1;μt,∑∑′)dFt+1

(3)

其中，φ(y;μ,Ω)是M維的正態密度函數，具體可以表示為：

(4)

對于風險規避投資者而言，貼現資產價格更為一般的情形是(3)式可以表示為：

Pt(Ft)=Et[Pt+1(Ft+1)Mt,t+1]=∫Pt+1(Ft+1)[Mt,t+1φ(Ft+1;μt,∑∑′)]dFt+1

(5)

其中，Mt,t+1表示定價核。在仿射利率期限結構中，給出了一個特殊的定價核：

Mt,t+1=exp[-rt-(1/2)λt′λt-λt′ut+1]

(6)

其中λt是(M×1)維向量表示投資者對風險的態度，λt=0是風險中性的情形。由(4)和(6)可以得到：

(7)

(8)

仿射期限結構模型進一步假定風險因子的市場價格是因子的仿射函數：

λt=λ+ΛFt

(9)

cQ=c-∑λ

(10)

ρQ=ρ-∑Λ

(11)

(12)

假定單期無風險利率同樣是風險因子的仿射函數：rt=δ0+δ1′Ft

(13)

在上述假定下，Ang和Piazzesi[11]證明n-期無風險零息票債券的收益率可以表示為：

(14)

(15)

(16)

如果知道Ft的值以及cQ,ρQ,∑,δ0和δ1的值，就可以預測任意期限n的收益率。

在以上的分析中，仿射期限結構模型存在三套參數：(1)P-測度下的參數c、ρ和∑；(2)風險價格的參數λ和Λ；(3)Q-測度下的參數cQ,ρQ和∑。如果知道了這三套參數中的任意兩套則可以利用(10)和(11)得出第三套參數。

(17)

2.2 高斯仿射模型的識別

在高斯仿射期限結構模型中，不存在觀測誤差的Nl個收益率滿足一個施加約束條件的VAR。從結構化模型到簡約型的VAR模型，根據兩模型參數的映射關系可以判斷出結構型參數是否可識別。在一個映射關系中，如果有兩個不同的結構型參數值對應于同一個簡約型參數值，那么結構化模型的參數就是不可識別的。

在高斯仿射過程的經典表示中，DaiQiang和Singleton[3]對P-測度下因子過程施加的標準化條件為：Σ=INl，δ1≥0，c=0以及ρ為下三角矩陣；Le，DaiQiang和Singleton[16]對Q-測度下因子過程施加的標準化條件為：Σ=INl，δ1≥0，cQ=0以及ρQ為下三角矩陣。本文結合這兩種標準化條件，給出高斯仿射模型的因子過程標準化條件：Σ=INl，δ1≥0，c=0以及ρQ為下三角矩陣。將該條件代入(1)然后方程兩邊同時左乘以B1得到如下簡約型VAR方程：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

注：每一行中的“√”表示結構化模型參數到簡約化模型參數映射的元素。

(26)

(27)

2.3 高斯仿射模型的估計

由于仿射期限結構的簡約型參數可以通過OLS方法獲得，因此一個更為可行的方法是用簡約模型參數的最大似然性代替結構模型直接對參數估計的最大似然性，然后將參數估計量在兩者之間進行轉換。

2.3.1 最小卡方估計方法

令π表示簡約模型的參數向量(VAR的OLS系數)，(π;Y)表示全樣本的對數似然函數，=argmax(π;Y)表示完全信息似然函數估計量，是信息矩陣的一致估計量：

可以通過計算通常的Wald統計量檢驗已知參數向量的函數π=g(θ)：

(28)

對于恰好可識別的情形，(28)式的值恰好為零，不失一般性的最小化如下表達式：

(29)

2.3.2 高斯仿射模型的參數估計

對于Ne=1的情形即模型恰好可識別，給出結構化模型的參數估計值。簡約化模型的參數向量可表示為：

在Nl=3和Ne=1的情況下，根據表1中兩類模型之間的映射關系，最小化(29)使得結構型參數通過簡約型參數轉換得到，具體步驟如下：

(2)ρQ和δ1的值可以用數值方法解(24)和(26)得到：

(3)ρ的值可以對(21)用解析的方法得到：

(4)通過數值求解(20)和(23)式可以得到δ0和cQ的值：

3 高斯仿射期限結構的實證研究

與理論部分保持一致，結合簡約模型和結構化模型參數的函數關系，高斯仿射期限結構模型MCS方法的實證研究主要包含兩個部分：其一，簡約模型的參數估計。簡約模型實質上是一個VAR模型，直接采用OLS方法估計；其二，結構化模型的參數估計。利用2.3.2部分簡約模型和結構模型參數的函數關系，采用MCS方法實現簡約型參數向結構型參數的轉換。

3.1 數據來源及處理

隨著中國資本市場的不斷深化發展和創新，中國國債期限結構也在不斷豐富，而且隨著國債期貨推出時間的臨近，可以預測的是中國國債市場的交易規模和交易頻率將會有顯著的提升，國債市場的市場活力進一步增強，這些因素將會提高國債期限結構的市場化程度。

3.2 簡約化模型的實證研究

圖1 簡約型模型1年期和2年期收益率的預測值和觀測值

φ?11φ?11(，1)φ?11(，2)φ?11(，3)A?1(φ?21)Tφ?11(1，)07381(009434)??03797(03445)-01979(03495)005818(04062)04757(002240)??φ?11(2，)-01654(006788)??13868(02478)??-04261(02514)?06947(02923)??11776(008191)??φ?11(3，)-01888(006548)??05897(02391)?03419(02425)?09668(02819)??-07465(008308)??

注：括號中數值為參數的標準誤，“*”表示參數值在5%水平上顯著，“**”表示在1%水平上顯著。

表3 簡約化模型(19)式參數以及(22)式

注：括號中數值為參數的標準誤，“*”表示參數值在5%水平上顯著，“**”表示在1%水平上顯著。

圖2 簡約型模型5年期和10年期收益率的預測值和觀測值

從表2和表3的估計結果可以看到，簡約模型的16個變量系數的估計值有著良好的統計性質，它們在5%水平上基本顯著。從模型預測的角度看，結構型系統衍生出的簡約型系統可以用于收益率的預測。從圖1和圖2給出的收益率觀測值和預測值可以看到，簡約模型很好的刻畫了這四個期限的收益率。在樣本觀測期限內，收益率預測值在一定的

精度范圍內很好的把握了收益率觀測值的時間序列趨勢。

盡管從結構化模型的角度看，簡約模型的參數估計值僅僅是一個中間變量，它們的統計性質似乎對結構型參數的估計不產生直接影響，但是這兩類模型之間的內在聯系表明，簡約模型參數統計性質的優劣一定程度上也反應了結構化模型設定的合理性。如果簡約型參數有著良好的統計性質，則簡約型系統用于收益率預測具有一定合理性，也就是說對應設定的結構化模型具有相應的理論和實證基礎，也能夠體現出結構型參數的統計信息，應該具有良好的統計性質。因此，從表2和表3的參數統計性質可以間接知道結構化模型的參數也應該具有良好的統計性質。

3.3 基于MCS方法高斯仿射模型實證研究

高斯仿射模型的參數估計是本文的核心問題之一。MCS方法將簡約型參數估計值轉化為結構型參數估計值，其優勢主要在于：其一，部分克服了數值最大化結構化模型似然函數的參數值可能不是全局最大值的問題，而且這種方法包含的數值計算成分很少，在計算上也具備相應的優勢；其二，MCS方法參數估計量的統計性質繼承了極大似然估計量的所有漸進性質，兩種估計量的標準誤在統計上是等價的。結合2.3.2小節， 采用MCS方法估計結構化模型，參數估計的順序依次為∑e，ρQ，δ1，ρ，δ0和cQ，具體估計結果見表4和表5。

表4 高斯仿射模型(12)式參數ρQ和cQ以及(13)式δ1的估計值

注：表4給出的是Q-測度下因子過程的參數估計值，括號中數值為參數的漸進標準誤，它是用Chen和Scott[15]的極大似然方法得到。

表5 高斯仿射模型(18)式參數ρ和(13)式δ0以及(17)式Σe的估計值

注：表5給出的是P-測度下因子過程的參數估計值，括號中數值為參數的漸進標準誤，它是用Chen和Scott[15]的極大似然方法得到。

表4和表5給出了結構型參數估計值和標準誤，參數估計值是用MCS方法按照2.3.2小節的步驟得到，標準誤估計則是利用MLE和MCS估計量漸進標準誤的等價性，結合Chen和Scott[15]結構化模型的似然函數和已知的參數估計值得到。從表4和表5可以看到，結構型參數具有很好的統計性質，這與簡約型參數保持了一致，因此，可以看到這兩類模型參數估計量的統計性質的優劣具有一致性。由于采用OLS方法得到簡約模型參數的統計信息簡單，一定程度上有助于結構化模型的合理設定。另外，需要正確的看待標準誤估計可能存在的異常情況。由于似然函數對參數的高度非線性，在參數估計值處進行數值微分可能發生突變，從而導致參數統計性質不理想，這時對待異常的漸進標準誤需要謹慎。

4 結語

在利率市場化背景下，研究利率期限結構的動態過程是研究資產及衍生品定價、金融風險管理和資產組合配置等工作的基礎。在利率期限理論文獻中，仿射利率期限結構模型為研究利率形成機制的可操作性提供了便利，給出了利率的解析解或者是半解析解。但是，這類模型在理論和實證兩個方面存在一定的不足：在理論層面，高斯仿射期限結構模型參數的存在識別性問題，Collin-Dufresne，Goldstein和Jones[8]，A?t -Sahalia和Kimmel[9]證明Dai Qiang和Singleton[3]的經典表示是不可識別的；在實證層面，用數值方法估計模型參數時似然函數優化高度依賴初始值，通常用多個初始值搜索直到函數收斂得到的估計值并非是似然函數的全局最大值。針對上述高斯仿射期限結構的兩點不足，本文采用MCS方法加以修正，其結論如下：

(1)關于高斯仿射模型的參數識別。從高斯仿射模型的結構化模型和簡約模型參數的關系出發，簡約型參數是結構型參數的函數。如果結構型參數的個數多于簡約型則高斯模型不可識別，兩者參數個數相等則是恰好可識別，而結構型參數少于簡約型則是過度識別的。在三因子標準化期限結構表示框架下，本文指出在存在觀測誤差收益率的個數為1的情形下高斯模型恰好可識別，而觀測誤差期限的個數多于1的情形下模型是過度識別的。

(2)采用MCS方法得到參數的統計性質。采用MCS方法將簡約型參數轉換為結構型，該估計量繼承了結構化模型極大似然估計量的所有漸進性質，理論上這兩種方法得到的估計量在統計上無差異的。MCS方法相對于極大似然方法的優勢在于參數估計過程數值計算的簡潔性和估計結果的可靠性，MCSE是結構化模型似然函數的全局最大值點。

(3)本文國債利率期限結構的實證研究結論。實證研究結果表明采用MCS方法的高斯仿射模型很好的擬合了觀測的期限結構，并且整體上看簡約型和結構型的參數估計量統計性質的優劣具有一致性。通常情況下，簡約型參數的估計量具有良好的統計性質則意味著結構型參數也應該具有良好的性質，這是由兩類模型的內在一致性所決定的，實證結果也證實了這一點。

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Gaussian Affine Term Structure Model of Interest Rate Based on MCS Approach

BAO Jie, GE Jing

(School of Economics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

The paper is first to study the identification and estimation of Gaussian affine term structure of interest rate based on Minimum-Chi-Square method. As beginning with the normalized Gaussian model, the identification is from the functional relations of parameters between the structure model and reduced-form model, Minimum-Chi-Square estimation has inherited all the asymptotical properties of MLE in structure model and maintains the reliability of estimator. And then, With the term structure of yields implying in monthly bonds price from 2006 to 2013 in Shanghai Stock Exchange (SSE)， Gaussian affine term structure model is empirically applied using the MCS method and the results indicate that the Gaussian affine model gives good fitting of term structure and the merits of the statistical properties of estimators are consistent with structure and reduced-form model.

Gaussian affine term structure；identification；MLE；minimum-Chi-Square estimator

2013-09-05；

2014-03-25

鮑杰(1981-)，男(漢族)，山西臨汾人，華中科技大學經濟學院博士生，研究方向：計量經濟學、土地金融.

1003-207(2015)07-0010-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.07.002

F830.91

A