基于二叉樹期權模型的企業兼并價格確定的博弈分析

徐 斌，俞 靜，謝貴榮

(1．中央財經大學會計學院，北京 100081；2．河海大學商學院，南京 211100)

基于二叉樹期權模型的企業兼并價格確定的博弈分析

徐 斌1，俞 靜2，謝貴榮1

(1．中央財經大學會計學院，北京 100081；2．河海大學商學院，南京 211100)

雖有研究對兼并標的資產價值服從連續隨機分布情形下交易價格確定問題進行了討論，但對離散隨機分布情形下交易價格確定問題的討論不夠深入，這就不僅僅使得研究與實踐相互脫節，更降低了研究對現實的解釋力。現在對一類標的資產價值服從二叉樹離散分布情形下交易價格問題進行研究，運用實物期權理論和博弈論的研究方法對標的價值評估與交易價格確定分別進行了討論。研究運用中心極限定理分析了標的資產價值呈現二叉樹特征，并且存在無限次上漲與下降狀態情形下實物期權的極限分布。然后在對著名的Rubinstein討價還價定理進行改進的基礎上，給出了離散二叉樹分布情形下的標的資產交易價格確定的解析表達式。最后，通過數值仿真揭示不同參數變化所引起的交易價格變化趨勢，從而進一步說明模型的合理性和對現實的解釋力。

企業兼并；交易價格；二叉樹期權；Rubinstein討價還價定理；數值仿真

1 引言

企業兼并交易價格的確定是企業兼并問題的核心問題，傳統的企業兼并價格確定方法基本上都是基于企業現金流量的，包明華[1]對現金流量的各種變化情形以及相應的度量方法進行了總結。由于兼并標的資產的度量不僅是涉及資產的簡單交易，而且也是兼并雙方基于兼并企業前景的估計，因此基于實物期權的價值度量和基于兼并雙方之間的博弈分析就成為兩個必然的過程[2]。令人遺憾的是，很多研究基本上把價值估計與價格確定混為一談，認為標的企業價值估計就是價格確定，這一現象不僅存在于早期研究中而且也存在于目前很多研究中，不僅出現在國內學者的研究中也存在于國外一些學者的研究中，國內學者例如齊安甜和張維[3]、王義秋和王琳[4]、張軍和陳宏民等[5]、陶雪飛[6]、陳珠明和楊華李[7]等學者的研究，以及國外學者例如Bradley[8]、Eckbo[9]、Inderst[10]、 Krishnan[11]和Officer[12]等人的研究，基本上都認可這一觀念。

其實，無論是理論上的邏輯分析還是兼并交易實際過程上分析，都很容易知道兼并價格的確定理當包括標的資產價值評估和價格確定兩個過程，研究方法應該是基于未來不確定性的期權定價方法和兼并雙方交易價格確定的博弈分析。正如韓立巖和李偉等[13]研究所認為那樣，期權價值度量本質上是一個具備上下界的數值區間，即試圖用一個準確的數值來表示期權價值是難以符合客觀實際的。也如萬迪昉和高慧艷等[14]研究所認為的那樣，兼并分析應該是基于過程的分析，否則很難以獲得符合實際的研究結果。俞靜和徐斌[15-16]依循這一思路對兼并交易價格進行了研究，給出了隨機環境和模糊環境下標的資產價格確定的解析表達式。但是他們在研究中假設標的資產價值服從連續Ito過程，盡管研究結果比較完美但是卻忽視了一個現實環節，即兼并實踐中更多的價值估計是離散型的，這就導致了他們研究成果應用的局限。雖然也有一些學者涉及了離散型標的資產價格確定問題，但是基本上是簡單地生搬硬套既有定理的結論[17]，齊安甜和張維[18]的研究則僅僅給出了兼并雙方博弈得以順利進行的幾個必要條件，實際上是依循Rubinstein定理的研究思路對博弈次數有限的情形進行研究。

本文準備對一類標的資產價值分布服從離散二叉樹的交易價格問題進行研究，研究中假設離散二叉樹資產轉換狀態次數無限，以使得研究成果更加符合實際情況。值得說明的是，標的資產價值應該包括確定性價值和不確定性價值等兩部分，確定性價值部分所對應的交易價格等于價值，不確定性價值所對應的價格確定則是本文研究的核心，兼并價格只需把確定性價值部分的價格加上不確定價值部分所對應的價格就可以了。研究首先對著名的Rubinstein討價還價定理進行改進以適應隨機分布情形下的價格確定，在對資產價值服從存在無限次變化狀態下的離散二叉樹極限分布進行討論的基礎上，給出了交易價格的解析表達式。在上述研究基礎上，運用數值仿真方法對價格進行模擬仿真以揭示其內在的規律，并且結合解析表達式本身的分析以說明模型的合理性和對現實的解釋力。

2 兼并標的資產交易價格的確定

2.1 標的資產離散分布情形下Rubinstein討價還價定理

著名的Rubinstein討價還價定理研究了完全信息環境下無限次博弈均衡價格的確定，這一劃時代定理的提出得到了學術界和實務界的認可，但是其存在的局限性導致這一定理的運用受到了限制，對這一定理的改進從來沒有停止過。徐斌和俞靜[15-16]研究認為該定理實際上隱含著標的價值在區間[0，1]上服從均勻分布的假設，由此他們研究標的價值服從模糊和隨機分布情形定理的改進，并且給出了交易價格的解析表達式。但是，無論標的價值服從隨機或模糊分布，這些假設都和現實情況存在一段距離。由于受限于交易雙方各方面的主客觀條件的限制，兼并雙方更愿意假設標的資產服從離散分布，那么離散分布環境下兼并博弈價格如何確定呢？本文擬從經典的Rubinstein定理入手對此進行展開討論。

定理1[19]：在無限期輪流出價博弈中，唯一的子博弈精練納什均衡結果是：

這里M表示博弈均衡時先動博弈方所占份額，相應的1-M表示后動博弈方所占份額，符號θ1,θ2表示博弈雙方的貼現因子。下同，不再贅述。

首先為了說明上面定理中存在目標標的價值存在隱含[0，1]上均勻分布的假設，為了說明定理1中隱含這一假設，論文結合均勻分布假設對上面定理1重新證明，以說明假設的合理性和重要性。必須指出的是,本文給出的證明是Shaked和Sutton[24]所給出的證明的基礎上進行改進的。

由于假設價值x在區間[0，1]上服從均勻分布，其密度函數可以表示如下：

由于博弈是無限期輪流出價博弈，即可以假設時期T=，博弈沒有最后階段，因此不可以使用數學歸納法來進行證明。根據Shaked和Sutton[20]的觀念，從參與人1出價的任何一個階段開始的子博弈等價于從t=1時開始的整個博弈，于是可以應用有限階段逆向歸納法的邏輯尋找子博弈精練均衡。假定在時期t≥3出價，參與人1能夠出價最大份額為M(對于參與人1的最小份額的證明過程完全一樣，不再贅述。)，其得到的最大支付為P{x≤M}。因為對參與人1來說，t期的P{x≤M}等價于t-1期的θ1P{x≤M}。參與人2知道在t-1期的任何支付x≥θ1P{x≤M}都能夠被參與人1接受，自得1-θ1P{x≤M}。因為對參與人2來說，t-1期的1-θ1P{x≤M}相當于t-2期的θ2(1-θ1P{x≤M})，參與人1知道t-2期的任何支付小于1-θ2(1-θ1P{x≤M})的出價都能夠都能被參與人2接受，于是參與人1出價最大值M所占有的支付P{x≤M}能被接受。因為從t-2期開始的博弈與從t期開始的博弈完全相同，因此參與人在t期支付與在t-2期的支付應該相同，即：

P{x≤M}=1-θ2(1-θ1P{x≤M})

現在我們回到具體的離散分布問題上來，假設參與人1和2具有相同的標的價值分布估計，不妨假設標的價值x服從離散型分布，即：

2.2 基于離散二叉樹期權的標的資產實物期權價值分布

雖然離散分布環境下標的資產價格確定問題不容易解決，但是對于一類概率分布函數無限逼近具有單調函數性質的連續分布函數的情形則可以進行求解。令人欣慰的是，離散二叉樹分布期權模型恰恰具有這一性質，對于二叉樹表示的期權模型來說，循Cox[21]的研究思路，依照資產的狀態分為上升和下降兩個狀態，按照單時段、二時段、三時段以至于無限時段的情況描述資產的運行狀態。由于本文研究的目的在于對實物資產交易價格的確定，因此在此界定目標交易標的資產為實物期權，生存時間區間為[0,T]，細分為n個子區間：0=t0

圖1 資產S0兩狀態變化示意圖

……

假如實物期權的執行價格為K，其實也就是實物資產的交易價格，于是根據圖1可以得到相應的期權價值取值空間Vn和概率空間Ωn：

由于E(ζk)=qulnu+qdlnd,D(ζk)=E(lnξk-E(lnξk))2= (qu(lnu)2+qd(lnd)2)-(qulnu+qdlnd)2

容易知道D(ζk)<。

于是,隨機變量ζ符合引理2條件，于是可以得到以下定理2：

根據上面的討論容易知道，離散期權隨機變量可表示為ψ=S0η-K，于是該隨機變量對應的分布函數記為H(z)：

H(z)=P{ψ≤z}=P{S0η-K≤z}=P{η≤(z+K)/S0}

于是，隨機變量ψ=S0η-K的概率密度函數為：

h(z)=dH(z)/dz=(d((z+K)/S0)/dz)f(ln((z+K)/S0))/ ((z+K)/S0)=f(ln((z+K)/S0))/(z+K)。

由于S0>0，y>0，于是有(z+K)/S0>0，z>-K，可以得到如下給出隨機變量ψ=S0η-K概率密度函數的推論3：

2.3 離散環境下標的資產交易價格的公式表示

現在以上研究基礎上討論基于二叉樹實物期權價值所對應的標的資產交易價格問題，圖1顯示標的資產期權價值取值空間Vn和概率空間Ωn如下：

(1)

(2)

令：w=(z+K)/S0，于是有：z=S0w-K，dz=S0dw，于是(2)可以轉換如下：

進一步可以轉換如下式(3)：

(3)

令：lnw=v，于是有：w=exp(v)，dw=exp(v)dv，于是(3)式可以轉換如下：

進一步可以轉換如下式(4)：

(4)

由于(4)式左邊被積函數為標準正態分布函數，于是有：

經過簡單變化，有：

(5)

當然，由于價格M是實物期權存續期間tn=T時的價格，經過折現后可以得到在t0=0時的價格，由此可以得到基于離散二叉樹期權模型的博弈交易均衡價格的定理3：

定理3：如果標的資產價值S是按照離散二叉樹形隨機變化的，其初始資產價格為S0，資產價格上升與下降的變化幅度值分別用符號u和d表示，對于任何0≤α≤n都有S0un-αdα-K≥0，那么交易價格M可以按照如下公式進行求解：

(6)

這里M表示博弈均衡時先動博弈方所占份額，相應的1-M表示后動博弈方所占份額，符號θ1,θ2表示博弈雙方的貼現因子，符號Φ與Φ-1分別表示標準正態分布函數與其相應的逆函數。

(7)

值得交代的是，不等式S0un-αdα-K≥0表示在t=α(0≤α≤n)資產價格不小于資產執行價格K，不等式S0un-αdα-K≤0則表示資產價格不大于資產執行價格K。經過類似的演算，可以得到交易價格的清晰解析表達式，現在用如下推理4進行完整的敘述：

(8)

2.4 數值仿真

為了說明本文所構建的基于離散二叉樹期權的博弈均衡價格模型的合理性以及現實解釋力，試圖通過對1個單位資產的實物期權均衡交易價格的模擬，即假設S0=1，且r=0.0035，ud=1，θ1=0.95，θ2=0.9，n=500，通過對均衡價格的模擬來說明資產變化速度以及執行價格K的大小對最終交易價格M的影響，如下圖2-圖4所示：

圖2 u和M變化趨勢圖

圖3 d和M變化趨勢圖

圖4 σ2和M變化趨勢圖

一般來說，隨著標的資產增長幅度u的提高或者下降幅度d的增大，就會出現交易均衡價格M的提高。但是，當這種趨勢不斷繼續時，勢必帶來了風險的提高，由此必然要求更多的風險補償，相應地相應會降低交易價格M。但是，當這種變化趨勢到達了一定數值時，勢必沖破了交易者心理門檻，從而使得風險補償高于一般變化趨勢，這樣就會在趨勢圖中出現“缺口”現象。圖2與圖3分別顯示了資產交易價格M與資產增長幅度u和下降幅度d之間的這種變化趨勢，圖4本身就是在圖2和圖3基礎上描繪的，只是進一步地反映了風險與收益之間的關系，也說明了風險的不斷增加勢必要求提高風險回報，在風險達到一定數值時就會突破風險變化趨勢，使得價格變化趨勢高于原有變化趨勢，圖4中的“缺口”現象正說明了這一點。

其實，上述變化趨勢也可以從公式(6)與公式(8)中得到說明。首先，公式(6)實際上是在S0un-αdα-K≥0(?α，有0≤α≤n)條件下成立，而公式(8)則是在S0un-αdα-K<0(?α，使得0≤α≤n)條件下成立。于是，隨著上漲幅度u或者下降幅度d的變化，勢必會交叉出現公式(6)與公式(8)成立的條件，這樣就使得計算交易價格的公式發生變化，自然就導致圖2和圖3中的“缺口”現象，隨之也帶來了圖4中的“缺口”現象。其次，公式(6)和公式(8)都顯示隨著u的增大，函數Φ(·)值也增大，則在一定數值范圍內會帶來Φ-1(·)增大或者減少，由此會出現M增大或者減少的變化趨勢。由于ud=1，因此d的變化導致M的變化趨勢可以類推而來，不再贅述。

3 結語

本文研究了離散二叉樹分布環境下標的資產價值評估和價格確定問題，首先通過對離散二叉樹實物期權價值分布函數的無限逼近，得出離散二叉樹實物期權價值服從正態分布的結論。其次，在對著名的Rubinstein討價還價定理進行了改進的基礎上，對離散二叉樹情形下的標的資產交易價格的確定進行了討論，并且給出了價格的解析表達式。最后，對給出的價格解析表達式進行了數值仿真，從而對相關參數變化對交易價格的影響進行了分析，這樣無論在理論上還是在實踐中都說明了本研究的解釋力。

但是，本研究存在如下需要進一步加以研究的領域：其一是對實際兼并活動交易價格的實證檢驗需要加強；其二是本文研究假設兼并交易雙方對標的資產的離散分布估計相同的情況，那么對于出現不完全相同時的情況又將如何進行討論將需要進一步研究；其三離散估計的基礎在于兼并協同效應的估計，那么協同效應的估計又取決于哪些因素等等問題，這些問題都是進一步研究的方向。

[1] 包明華.購并經濟學：前沿問題研究[M].北京：中國經濟出版社,2005.

[2] 徐斌.企業并購理論研究的方法論演變綜述[M]//張秋生，崔永梅.并購論壇2007.北京：中國經濟出版社,2007:152-158.

[3] 齊安甜,張維.企業并購拍賣機制設計與競標價格的確定[J].管理工程學報,2003,17(12):27-31.

[4] 王義秋,王琳.企業并購定價的博弈分析[J].東北大學學報(自然科學版),2004,25(6):585-589.

[5] 張軍,陳宏民,黃小瑞.企業兼并與產品定價策略[J].系統工程理論與實踐,2000,20(4):55-62.

[6] 陶雪飛.競爭條件下并購價值的實物期權分析[J].系統工程,2006,24(10):45-49.

[7] 陳珠明,楊華李.基于實物期權的企業兼并行為分析[J].中國管理科學,2009,17(1):29-35.

[8]BradleyM,DesalA,KimEH.Synergisticgainsfromcorporateacquisitionsandtheirdivisionbetweenthestockholdersoftargetandacquiringfirms[J].JournalofFinancialEconomics，1988,21(1):3-40.

[9]EckboBE,GiammarinoBM,HeinkelRL.Asymmetricinformationandthemediumofexchangeintakeover:Theoryandtest[J].ReviewofFinancialStudies,1990,3:651-675.

[10]InderstR,WeyC.Bargaining,mergers,andtechnologychoiceinbilaterallyoligopolisticindustries[J].TheRANDJournalofEconomics,2003, 34(1):1-19.

[11]KrishnanRA,KrishnanH.Effectsofhospitalmergersandacquisitionsonprices[J].JournalofBusinessResearch,2003,56(8):647-656.

[12]OfficerMS,Collarsandrenegotiationinmergersandacquisitions[J].TheJournalofFinance, 2004,59(6):2719-2743.

[13] 韓立巖,李偉,林忠國.不確定環境下的期權價格上下界研究[J]. 中國管理科學，2011,(19)1：1-11.

[14] 萬迪昉,高慧艷,徐茜.應對并購風險的可轉債與階段性支付模型與案例研究[J]. 中國管理科學，2012,20(5)：38-46.

[15] 徐斌,俞靜.基于期權視角的兼并價格確定的博弈分析[J].管理工程學報,2011,25(1):192-196.

[16] 俞靜,徐斌.模糊信息環境下基于期權視角的兼并價格確定的博弈分析[J].系統工程理論與實踐,2010.30(5): 827-834.

[17] 朱憲辰,吳道明.兼并收購的博弈均衡[J].南京理工大學學報,2001,25( 6):653-657.

[18] 齊安甜,張維.基于期間收益的企業并購談判模型[J].管理科學學報,2004,7(1):72-79.

[19]RubinsteinA.Perfectequilibriuminabargainingmodel[J].Econometrica, 1982,50(1):97-109.

[20]ShakedA,SuttonJ.Unvoluntaryunemploymentasaperfectequilibriuminabargainingmodel[J].Econome-trica,1984,52(6):1351-1364.

[21]CoxJC,RossSA,RubinsteinM.Optionpricing:Asimplifiedapproach[J].JournalofFinancialEconomics,1979,7(3):229-263.

[22]DeMoivreA.Thedoctrineofchances,or,amethodofcalculatingtheprobabilitiesofeventsinplay[M]. 3rded.NewYork:Chelsea, 2000.

[23]LaplaceP.Théorieanalytiquesdeprobabilités[M]. 3èmeéd.Paris:Courcier, 1820.

TheGameAnalysesontheM&ATransactionPriceDecisionBasedontheBinomialTreeOptionModel

XU Bin1,YU Jing2, XIE Gui-rong1

(1．School of Accountancy, Central University of Finance and Economics，Beijing 100081，China;2.School of Business,HoHai University, Nanjing 211100，China)

In the process of M&A,the key problem is how to decide the transaction price, which can be divided into two steps including the evaluation of transaction asset and the process of pricing the target asset. The former must be processed to disclose the volume of real option hidden in uncertain attained profit and cost spending, while the latter can be processed based on the game analyses of bilateral transaction sides of M&A.Up to now, the measurement of real options under continuous stochastic surroundings has been studied by many scholars all over the world, whilst the measurement of real options under discrete stochastic surroundings has also been studied by way of using binary tree and trigeminal tree methods on the condition of limited transformation times of target asset.In this paper, the measurement of real options under unlimited times of asset transformation is studied by way of using binary tree method in reference to some existing related studies.Firstly, the distribution of real option of binary tree with unlimited transformation times of asset can be deduced to be normal function by way of applying the central limited theorem.Secondly, the detailed analyses of famous Rubinstein bargaining theorem is conducted to disclose an important fact that the transaction asset is assumed to be distributed as uniform distribution, thus how to price the normal distributed target asset is studied to attain the equilibrium price.Finally, the analytical expression of equilibrium transaction price can be deduced to measure the real option value of target asset which is assumed to be distributed as discrete binary tree, the corresponding numerical simulation is given to illustrate its rationality and the explaining power to reality.In summary, a new idea of price the real option is proposed on the condition that the transformation status of asset is assumed to be binary tree, and then the problem solving approach can be referenced to other similar problems, especially to the discrete distributions including trigeminal tree.

transaction price;M&A;discrete binomial tree option model; Rubinstein bargaining theorem; numerical simulation

2013-08-10；

2015-01-08

國家自然科學基金面上資助項目(71171207)

徐斌(1966—)，男(漢族)，江蘇興化人，中央財經大學會計學院副教授，研究方向：財務決策與實證會計.

1003-207(2015)07-0134-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.07.017

C934;F830.9

A