中空環形行波超聲波電機定子振動解析模型

蔣春容 陸旦宏 金 龍

(1.南京工程學院電力工程學院 南京 211167 2.東南大學電氣工程學院 南京 210096)

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中空環形行波超聲波電機定子振動解析模型

蔣春容1陸旦宏1金 龍2

(1.南京工程學院電力工程學院 南京 211167 2.東南大學電氣工程學院 南京 210096)

為分析定轉子間的接觸對定子振動的影響，建立中空環形行波超聲波電機定子振動解析模型。根據電機的結構特點，將定子等效為等厚度的圓環形梁，等效過程中，忽略定子齒的剛度，但將定子齒的質量等效到定子梁中，采用解析法建立等效定子梁的自由振動模型和受迫振動模型，得到定子不同振動模態對應的自由振動頻率以及定子在外加激勵電壓和定轉子間法向接觸壓力作用下的受迫振動響應。結果表明，定子等效處理的方法是合理的，電壓激勵和法向接觸壓力激勵所產生的定子振幅分別與電壓幅值和預壓力大小呈正比關系，定轉子間所施加的預壓力較小，因此接觸壓力對定子振動的影響較小。將理論分析結果與實驗測試結果進行比較，二者基本吻合，驗證了所提出的解析模型的正確性。

超聲波電機 定子振動 解析模型 接觸壓力

0 引言

超聲波電機是利用逆壓電效應將彈性材料的微觀變形通過共振轉換為動子宏觀運動的新型電機，在照相機、航空航天及醫療儀器等領域具有廣闊的應用前景[1]。環形行波超聲波電機是目前應用最廣泛的超聲波電機，其能量轉換有兩個過程，第一個過程是通過逆壓電效應將高頻交流電轉換為定子的高頻振動，第二個過程是通過摩擦將定子振動轉換為轉子的旋轉運動。超聲波電機定子振動模型的研究，對電機的設計、優化及控制具有重要作用[2-4]。

目前，國內外許多學者對超聲波電機定子的振動特性進行了分析。P.Hagedorn等[5，6]考慮定子徑向厚度的變化提出了超聲波電機定子的自由振動模型以及在外加電壓作用下的受迫振動響應。Y.Kagawa等[7]用有限元法分析了超聲波電機定子振動的動態響應，揭示了定子從壓電陶瓷通電到定子穩態振動建立的過程。J.R.Friend等[8]用解析法建立了定子的振動模型，模型中忽略定子齒的影響，分析了超聲波電機定子的自由振動和給壓電陶瓷通電后的受迫振動響應。夏長亮等[9]用有限元法分析了定子模態和受迫振動響應，研究了定子直徑和齒高對定子振動的影響。莫岳平等[10，11]分析了超聲波電機定子的振動，提出定子最優振動模態的選擇原則。D.Sun等[12]將定子環等效為Euler-Bernoulli梁，考慮兩端簡支邊界條件，求解定子振動方程，研究電機在不同參數下的性能特性。J.L.Pons等[13]提出了環形超聲波電機定子振動模型，模型考慮了定子齒的剛度，采用里茲法求解定子振動方程。Yao Z.Y.等[14]基于基爾霍夫薄板理論建立了行波超聲波電機定子振動模型，模型忽略定子齒的影響，將定子看成等厚度的圓環形薄板，分析了定子的自由振動和受迫振動響應。王光慶等[15]將壓電復合定子簡化成等直梁，考慮兩端簡支條件，得到定子振動的穩態解，然后將接觸面的摩擦損耗和轉子的輸出功率視為等效阻尼損失，得到電機的輸出特性和效率。以上研究或采用有限元法，或采用解析法分析了行波超聲波電機的定子振動模型，但均未考慮定轉子間的接觸對定子振動的影響。張煒等[16]采用有限元計算軟件分析了預應力對超聲波電機定子振動固有頻率和振幅的影響，但其理論分析結果缺乏實驗驗證。

目前對超聲波電機定子振動模型的研究中，還缺乏定轉子間的接觸壓力對定子振動影響的深入分析。本文采用解析法建立中空環形行波超聲波電機的定子振動模型，將定子等效為圓環形的等厚度梁，首先分析其自由振動，得到自由振動模態及對應的頻率，然后分析定子在高頻交流電作用下的受迫振動以及定轉子間的接觸壓力對定子振動的影響，最后用實驗測量結果驗證了理論分析結果。

1 中空環形行波超聲波電機的結構

本文以佳能照相機鏡頭調焦使用的中空環形行波超聲波電機為研究對象，其結構如圖1所示[17]。一般的環形行波超聲波電機定子內部有較薄的支撐板以固定定子，且定、轉子的外形均表現為圓板而非空心圓環。與此不同的是，該中空環形電機無內部支撐結構，定、轉子均為空心的圓環，二者通過一個波浪形圓環結構的彈簧緊壓在一起。定子一面粘接壓電陶瓷PZT，另一面開有齒槽。PZT沿厚度方向極化，其極化分區如圖2所示，圖中，Δθ和Δθ1分別表示定子工作模態1/2波長和1/4波長所對應的角度。分別給A區和B區通以相位相差90°的交流電，在定子上激勵出行波運動，從而推動與之接觸的轉子旋轉。電機定子材料采用鋼，轉子材料為硬鋁合金，定子的工作模態為B(m，n)=B(0，7)，其中m代表節圓數，n代表節徑數。

圖1 中空環形超聲波電機結構Fig.1 Structure of the hollow ring type ultrasonic motor

圖2 PZT極化分區圖Fig.2 Polarization pattern of the PZT

2 定子的自由振動

一般的環形行波超聲波電機定子徑向寬度較大，定子振動分析中若忽略徑向的彎曲應力，往往會產生較大誤差。而中空環形超聲波電機定子徑向寬度很小，因此可忽略徑向的彎曲應力，將電機定子等效為圓環形的梁來分析。定子上帶有齒槽，為簡化分析，將有齒槽的梁等效為無齒槽的梁。由于定子工作于B(0，7)模態，定子上共有63個齒，即一個波長內有9個齒，因此在等效過程中，忽略定子齒的剛度，但將定子齒的質量等效到定子梁中，等效的原則是等效前后定子的動能不變[18]，由此可根據定子的密度ρs得到定子梁的等效密度ρseq。等效定子梁如圖3所示。

圖3 等效定子梁Fig.3 Equivalent stator beam

由于定子梁的厚度與電機工作時定子振動波長相比很小，因此分析時可忽略剪切變形和轉動慣量，根據振動理論，可得到定子梁在柱坐標系(r，θ，z)下自由振動的微分方程為[19]

(1)

式中，w(θ，t)為定子梁軸向振動位移；Es為定子的彈性模量；I為定子梁的截面慣性矩；r1為定子梁的平均半徑；A為等效定子梁的截面積。定子自由振動方程的解可采用變量分離法得到

w(θ,t)=Wk(θ)ejωkt

(2)

式中，Wk(θ)為第k階振動模態；ωk為第k階振動模態對應的角頻率。將式(2)代入式(1)可得

(3)

超聲波電機定子梁可看成是簡支梁，因此其振動模態Wk(θ)=(sin(kθ)，cos(kθ))，即同一振動頻率下有兩個正交的模態。將振動模態sin(kθ)或cos(kθ)代入式(3)可得第k階模態的角頻率為

(4)

3 定子的受迫振動

3.1 定子受迫振動的解析解

定子梁在外加軸向作用力下的受迫振動方程可表示為

(5)

式中，c為阻尼系數；f(θ，t)代表外加軸向作用力。受迫振動方程的解可用模態疊加的方法得到

(6)

式中，qk(t)為第k階模態參與因子。超聲波電機定子工作在特定的模態Wn(θ)=(Wns(θ)，Wnc(θ))=(sinnθ，cosnθ)，n=7，因此可將工作模態以外的模態忽略不計，即只考慮k=n的情況，設qn(t)=(qns(t)，qnc(t))，qns(t)和qnc(t)分別是振動模態sinnθ和cosnθ的模態參與因子，則定子的受迫振動響應可簡化為

w(θ,t)=Wn(θ)qn(t)=qns(t)Wns(θ)+qnc(t)Wnc(θ)

(7)

模態參與因子可通過式(8)求得

(8)

其中

(9)

(10)

式中，ζn為定子工作模態振動的阻尼比；ωn為定子工作模態的角頻率。當外加作用力是簡諧激振力時，式(8)等號右側可簡化為

(11)

式中，ω為外加激振力的角頻率；Qn只與變量θ有關。將式(11)代入式(8)求解可得

qn(t)=Λej(ωt-φ)

(12)

其中

(13)

(14)

將定子的工作模態sin(nθ)和cos(nθ)分別代入式(8)并按上述方法求解，可得定子梁在簡諧激振力作用下的模態參與因子qns(t)和qnc(t)，從而求得定子受迫振動的解析解。

3.2 外加電壓作用下的受迫振動

設PZT沿z軸正向極化，并忽略極化分區間的間隙，由圖2可知，PZT上施加的電壓可表示為

(15)

式中，Vm為所加電壓的幅值；H(θ)為單位階躍函數。由于PZT厚度hp很小，在外加電壓作用下，PZT內的電場分布可認為是均勻電場。在電場作用下，PZT產生伸縮運動，其橫向應力大小為

(16)

式中，Ep為PZT在周向方向的彈性模量；d31為壓電應變常數。該應力在定子中性層上產生的彎矩為

Mθθ=σbhphc

(17)

式中，b為PZT的徑向寬度；hc為定子中性層到PZT形心的距離。該彎矩作用在定子上產生的外加作用力為[8]

(18)

將f1(θ，t)代入式(8)代替f(θ，t)，并取Wn(θ)為sin(nθ)，化簡后可得在外加電壓作用下qns(t)的方程

(19)

求解方程(19)可得

qns(t)=ΛVsin(ωt-φV)

(20)

同理可得qnc(t)為

qnc(t)=ΛVcos(ωt-φV)

(21)

wV(θ,t)=ΛVcos(ωt-nθ-φV)

(22)

通過改變激勵電壓的初始相位，可實現φV=0，因此式(22)又可簡化為

wV(θ,t)=ΛVcos(ωt-nθ)

(23)

3.3 法向接觸壓力作用下的受迫振動

當電機定子激勵出行波運動后，轉子與定子在行波波峰處接觸。施加在轉子上的法向預壓力是靜止不動的，但由于定子的行波運動，定轉子間的法向接觸壓力隨行波的行進而行進，從而使接觸壓力成為作用在定子上的簡諧激振力。由于電機工作時所加預壓力很小，實驗測量結果表明定轉子間的接觸未造成定子自由振動模態和頻率的明顯變化，因此可忽略定轉子間的接觸對定子自由振動模態和頻率的影響。

由外加電壓激勵出的定子行波運動為式(23)時，定轉子間法向接觸壓力移動的角頻率為

ωp=ω/n

(24)

設法向預壓力為F，將定轉子間的法向接觸壓力集中作用在定子行波的波峰處，其在定子上產生的外加作用力可表示為

(25)

式中，δ(θ)是狄拉克δ函數。將f2(θ，t)代入式(8)代替f(θ，t)，并取Wn(θ)為sin(nθ)，化簡后可得在法向接觸壓力作用下qns(t)的方程

(26)

求解方程可得

qns(t)=ΛNsin(ωt-φN)

(27)

同理可得

qnc(t)=ΛNcos(ωt-φN)

(28)

式中ΛN和φN可根據式(13)和式(14)計算得到，此時Qn=-F/(ρseqAN)。將式(27)和式(28)代入式(7)可得定子在法向接觸壓力作用下的受迫振動響應為

wN(θ,t)=ΛNcos(ωt-nθ-φN)

(29)

定子總的受迫振動響應為

wΣ(θ,t)=wV(θ,t)+wN(θ,t)

(30)

4 結果與分析

中空環形行波超聲波電機參數如表1所示。

表1 中空超聲波電機的參數Tab.1 The parameters of the hollow ultrasonic motor

4.1 自由振動分析結果

用所提出的模型對超聲波電機定子的自由振動進行計算，并應用德國Polytec公司的激光測振儀(PSV-400-M2)對定子進行掃頻測試，得到定子的自由振動模態和對應的頻率，計算值和測量值如表2所示，理論分析結果與實驗測試結果接近，說明定子等效處理的方法是合理的。

表2 定子自由振動分析結果Tab.2 Free vibration analysis results of the stator

4.2 受迫振動分析結果

首先分析定子在外加電壓激勵下的受迫振動。保持外加電壓幅值Vm為35 V不變，激勵頻率f在定子工作頻率點30 kHz附近變化時，外加電壓激勵所產生的定子振幅ΛV如圖4所示。測試時單獨取出定子，即定子僅有外加電壓作為激振源，測試頻率范圍為29～31 kHz，在靠近工作頻率點的29.5～30.5 kHz范圍內，測量步長取0.25 kHz，其余步長取0.5 kHz。由圖4可知，計算值與測量值基本吻合。在共振頻率點附近，ΛV最大，偏離共振頻率點時，ΛV迅速減小。當保持外加電壓頻率f為30 kHz不變，電壓幅值Vm變化時，定子振幅ΛV的計算值和測量值如圖5所示，測量電壓幅值的范圍為20～40 V，步長為5 V。由圖5可知，計算值與測量值相吻合，且電壓激勵所產生的定子振幅ΛV與所施加的電壓幅值Vm呈正比。計算結果也表明，由法向接觸壓力激勵產生的振幅ΛN與預壓力F呈正比。

圖4 不同頻率下外加電壓激勵產生的振幅Fig.4 Vibration amplitude excited by the voltage at different frequencies

圖5 不同電壓幅值激勵產生的振幅Fig.5 Vibration amplitude excited by the voltage at different amplitudes

組裝好的電機正常工作時，所施加的電壓幅值為35 V，頻率為30 kHz，定轉子間施加的預壓力為15 N，計算得到的定子在某一固定時刻由外加電壓和法向接觸壓力激勵出的振動如圖6所示，電壓激勵出的振幅為0.95 μm，由法向接觸壓力激勵出的振幅是由電壓激勵出的振幅的7.3%，且相位不同。定子振動響應之和wΣ(θ，t)與僅由電壓激勵產生的振動響應wV(θ，t)差別不大，并未因疊加了wN(θ，t)而產生明顯變化。由此可知，電機正常工作時，由于所施加的預壓力較小，因此接觸壓力對定子振動的影響較小。定子振動響應之和的振幅仍為0.95 μm，根據T.Maeno等[17]對該電機正常工作時定子振動的實驗測量結果，正常工作時定子振幅約為1 μm。本文理論分析結果與文獻[17]的實驗結果較接近，證明了所提出模型的正確性。

圖6 定子的受迫振動響應Fig.6 Forced responses of the stator

5 結論

采用解析法對中空環形行波超聲波電機定子的振動進行了分析，結果表明：

1)計算得到的定子自由振動頻率與實驗測量結果相吻合，說明定子等效處理的方法是合理的。

2)電壓幅值不變而頻率在定子共振頻率點附近變化以及電壓頻率不變而幅值變化時，計算得到的電壓激勵產生的定子振幅與測量值基本吻合。

3)電壓激勵所產生的定子振幅與電壓幅值呈正比關系，法向接觸壓力激勵產生的定子振幅與預壓力呈正比關系。

4)由于電機正常工作時所施加的預壓力較小，因此接觸壓力對定子振動的影響較小，正常工作時接觸壓力激勵出的振幅為電壓激勵出的振幅的7.3%。

5)最后將理論分析得到的定子振幅與文獻[17]的實驗測試結果進行了比較，二者基本吻合，說明所提出模型的正確性。

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An Analytical Model of the Stator Vibration in the Hollow Ring Type Traveling Wave Ultrasonic Motor

JiangChunrong1LuDanhong1JinLong2

(1.School of Electric Power Engineering Nanjing Institute of Technology Nanjing 211167 China 2.School of Electrical Engineering Southeast University Nanjing 210096 China)

An analytical model of the stator vibration in the hollow ring type traveling wave ultrasonic motor is proposed in order to investigate the impact of the contact between the stator and the rotor on the stator vibration.The stator is equivalent to a circular ring beam with constant thickness according to the structure of the motor.In the equivalent process，the stiffness of the stator teeth is neglected.But the mass contribution of the teeth is lumped into the mass of the stator beam.The free vibration and the forced vibration of the equivalent stator beam are then analyzed based on the analytical method.Different vibration modes and the corresponding frequencies are determined.The forced responses of the stator excited by the applied harmonic voltage and the normal contact force are obtained.The results indicate that the equivalent process is reasonable.The vibration amplitudes of the stator excited by the applied voltage and the normal contact force are linear to the voltage amplitude and the preload force，respectively.The impact of the contact force on the vibration of the stator is relatively small as the value of the preload force is low.The analytical results are compared with the experimental results and good agreements are observed，which verifies the validity of the proposed model.

Ultrasonic motor，stator vibration，analytical model，contact force

國家自然科學基金(51177014)，江蘇省自然科學基金(BK20140766)，江蘇省高校自然科學研究項目(14KJD470004)和南京工程學院校級科研基金(YKJ201317)資助項目。

2014-12-03 改稿日期2015-01-25

TM35

蔣春容 女，1983年生，博士，講師，研究方向為超聲波電機建模及控制。(通信作者)

陸旦宏 男，1978年生，副教授，研究方向為超聲波電機設計及控制。