直齒輪嚙合傳動加載接觸特性分析*

張紅濤 周長江 孫銀方

(①湖南大學車身先進設計與制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082;②湖南大學機械與運載工程學院，湖南長沙 410082)

齒輪傳動高速、重載、高可靠性方向的發展，對承載能力、運動精度等提出了更高要求。齒輪接觸問題是進行齒輪研究的重要方向，傳統的強度計算方法，在處理齒輪復雜的載荷工況和邊界條件時存在一定局限。隨著計算機技術的發展，以有限元為代表的數值計算方法為齒輪強度計算提供了一種可靠的研究方法。

許多國內外學者對圓柱直齒輪的建模和加載接觸分析做了大量的研究工作。yonEiffH［1］建立了單齒與三齒的二維有限元模型，研究了輪齒形狀對齒輪的齒根應力的影響。Bibel［2］等采用五齒二維有限元模型，分析了輪緣厚度對輪齒彎曲應力的影響。劉明［3］運用切齒嚙合關系和空間嚙合原理，推導出理論齒面方程，從而建立正確的齒輪模型。楊汾愛［4］等基于精確模型對斜齒輪接觸應力進行了靜力學求解。楊生華［5］建立了一對輪齒接觸有限元分析模型，定義了輪齒變形和接觸應力的有限元計算方法。屈文濤［6］利用ANSYS 對雙圓弧齒輪進行了動靜態接觸分析，獲得了接觸應力云圖。孫建國［7］通過齒輪動力接觸有限元分析了輪齒接觸力及嚙入時的沖擊，并指出修形能夠較大減小沖擊。唐進元［8］建立了齒輪傳動嚙合接觸沖擊模型，研究了沖擊速度和沖擊位置對沖擊合力、沖擊時間及沖擊應力的影響。最近，Seok-Chul Hwang［9］等計算了一對齒輪在不同嚙合時刻的接觸應力，并和AGMA 標準作對比，指出AGMA 標準在齒輪設計時比較保守。

上述文獻在接觸分析方面均未探討整個嚙合周期內的接觸應力變化。本文以虛擬制造技術為理論基礎，在計算機建模軟件中通過模擬真實的加工過程創建精度較高的圓柱直齒輪幾何模型［10］。基于精確的幾何模型建立了五齒準靜態加載接觸有限元模型，研究嚙合周期內齒根應力與接觸應力的變化規律。再根據齒輪接觸分析的Hertz 面分布力接觸模型［11］，理論計算了完整嚙合過程的齒面接觸應力。將有限元計算結果與理論計算結果進行對比分析，發現在輪齒嚙入嚙出時刻會產生較大沖擊應力，接觸應力與接觸力具有近似的線性關系。

1 圓柱直齒輪三維幾何模型的建立

1.1 虛擬制造原理

虛擬制造是在計算機內構造虛擬的生產系統模型，進行實際生產過程的模擬。在計算機仿真環境下進行而不消耗物理資源，對真實產品制造的動態進行描述。它的主要功能是產品建模、生成仿真環境。隨著虛擬制造技術在齒輪建模中的廣泛應用，它已成為齒輪建模的一種有效方法。

機床加工齒輪的過程實際就是刀具切削毛坯的過程。進刀過程中刀具將其和毛坯的重疊區域切除，連續多次切削后，便得到齒輪表面，加工出來的齒面是實際上由多個微段曲面構成。用計算機三維建模軟件模擬齒輪的真實加工過程，可得到與實際加工的齒輪對應的三維幾何模型(圖1)。

根據實際機床加工調整參數，在CATIA 軟件中構建刀具和毛坯相對位置關系，利用布爾運算除去齒坯幾何體中與刀具幾何體重疊的區域，得到齒輪毛坯被刀具切割一次的模型。利用軟件中的宏命令二次開發技術可實現自動化連續切削過程，最終得到與實際切割單個齒槽所對應的模型。以切割后的幾何模型為基準進行齒槽曲面的重構，獲得光滑的齒槽曲面，進而可獲得完整的齒輪幾何模型。圖1 為螺旋錐齒輪虛擬制造流程。

1.2 齒輪和刀具的基本參數

本文基于滾齒加工原理和齒輪虛擬制造技術，在CATIA 中模擬滾齒加工圓柱直齒輪的切削過程。滾齒加工相當于齒輪齒條嚙合，齒條為刀具。齒輪由滾刀加工而成，滾刀為無凸臺、壓力角20°的標準滾刀，其法向齒形見圖2，基本參數見表1，所要加工的圓柱直齒輪基本參數見表2。

表1 滾刀基本參數

表2 漸開線直齒輪基本參數

1.3 模擬真實的齒輪加工過程

建立如圖3 所示的齒輪與齒條嚙合坐標系，動坐標系X1O1Y1固定在刀具上，X2O2Y2固定在齒坯上。以齒坯為參考，刀具則按一定規律作平移運動，同時繞齒坯軸轉動。刀具軌跡形成的包絡線中，直線刃切出漸開線，刀刃圓角切出過渡曲線。

在CATIA 軟件中，利用幾何體平移與旋轉命令實現上述運動變換，并通過布爾運算和二次開發技術實現連續的切削過程仿真，最終得到與實際切割單個齒槽所對應的齒坯切割模型，如圖4 所示。通過此方法獲得的切割模型，能反映真實的加工過程，并能同時獲得齒輪的齒廓曲面、過渡曲面及齒根曲面，但生成的齒廓曲面由微段直線構成。這些曲率不連續的微段曲面構成的齒面會給后續的有限元分析帶來困難，有必要對齒廓微段曲面進行重新構建。

以切割后的切割跡線為基準，用NURBS 法對齒廓曲面進行重構，獲得光滑的齒廓曲面。擬合齒廓曲面后，進行切除、陣列等操作便可得到完整的齒輪幾何模型，如圖5 所示。

1.4 幾何模型精度的檢驗

為驗證經過虛擬加工創建的圓柱直齒輪幾何模型的正確性，將幾何模型的一些典型參數值與理論計算參數值進行對比，如表3 所示。從表中可以看出，各項典型參數中的最大誤差僅為0.00115 mm。由此可見利用本方法所創建的模型已經達到比較高的精度，此精確的幾何模型為進行齒輪的有限元分析打下了一個良好的基礎。

表3 齒輪模型典型參數對照表

2 齒輪加載接觸有限元求解基本方程

設發生接觸的兩個齒輪為A 和B，加載接觸分析有限元求解的基本方程是有限元求解基本方程加上與接觸條件對應的邊界條件后得到的。設t 時刻兩齒輪的體積為tΩ，位移施加的邊界為tΓD，載荷施加的邊界為tΓF，有限元求解基本方程為:

式中:tεij為t 時刻齒輪A、B 的應變張量;tui為t 時刻齒輪A、B 的位移張量;tσij，i為t 時刻齒輪A、B 的應力張量;為t 時刻齒輪A、B 的體積力張量;cijkl為彈性常數，是四階張量。對于各項同性材料，彈性常數為彈性模量E 和泊松比υ。

此外，齒輪接觸還必須滿足法向接觸條件和切向接觸條件。法向接觸條件主要是滿足無穿透約束，即齒輪A 和齒輪B 的位形VA 和VB 在運動過程中不允許相互貫穿、侵入或覆蓋，可表述為:

式中:tgN表示接觸的兩點間距離;txA、txB分別表示齒輪A 和齒輪B 外表面上任一點在t 時刻的坐標;tnB表示齒輪B 外表面法向方向。

切向接觸條件即摩擦力條件。摩擦模型包括庫侖摩擦模型、界面本構方程與粗糙-潤滑模型，工程應用中廣泛采用庫侖摩擦模型。齒輪切向接觸條件庫侖摩擦模型為:

3 齒輪嚙合準靜態接觸建模與分析

3.1 齒輪嚙合準靜態接觸建模

當齒輪加載過程進行的每一瞬間，系統都接近于平衡狀態，整個過程可以看成是由一系列極接近平衡的狀態所構成，這種過程稱為準靜態嚙合過程。準靜態嚙合過程主要考慮齒輪副加載時的接觸狀態，以及齒面和齒根的應力變化規律，不計齒輪副慣性的影響。

在ABAQUS 中建立五齒三維準靜態分析齒輪模型。采用8 節點六面體單元對模型進行網格劃分，對接觸區域及齒根部位進行細化處理。根據文獻［12］中提出的“有效邊界”法，確定五齒模型邊界，有限元網格模型如圖6 所示。

計算所用齒輪幾何參數見表2，齒輪材料參數見表4。從動輪施加扭矩T=100 N·m，齒輪傳動比i=1，標準安裝，不計軸、軸承及箱體變形。

表4 齒輪材料參數

邊界條件施加中，在齒輪側面、內圈和軸線上的參考點建立運動耦合關系。給主動輪施加0.42rad 位移約束，加載時間1 s;其他方向自由度全約束，即保證主動輪以很小轉速運動。從動輪施加軸線方向固定扭矩，釋放軸線自由度，其他方向自由度全約束，即可實現主動輪緩慢驅動從動輪運動的準靜態過程。

3.2 計算結果與分析

(1)齒面接觸力變化

分析結束后，在ABAQUS 歷史場輸出中提取相鄰三個接觸對的接觸合力，得到嚙合輪齒在一個完整的嚙合周期內的接觸力變化規律，如圖7 所示。

由圖中3 個接觸對上的接觸力可看出，每對齒輪的受載荷歷程基本一致。齒數較多及齒面承載致使重合度增大，單齒嚙合時間較短，其中單嚙區最大接觸力為1182 N。齒輪在嚙入點和嚙出點會產生嚙合沖擊，導致該位置的嚙合力突然增大。

(2)實際重合度計算

重合度在齒輪傳動的平穩性和承載能力方面起著重要的作用。漸開線圓柱直齒輪的重合度ε 的計算公式為

式中:z1、z2為兩齒輪齒數;αa1、αa2為兩齒輪齒頂圓壓力角;α'為嚙合角。齒輪在實際傳動過程中，載荷的大小對齒面接觸區的形狀和大小有較大的影響，從而影響重合度的大小，而式(6)未考慮齒輪的加工參數和載荷對其的影響。因此，式(6)是對重合度的近似解。

通過齒輪在嚙合的過程中齒面接觸力存在的時間長短，可以計算實際重合度ε'的大小。其公式為

式中:ΔT 為單個輪齒接觸時間;ΔT'為相鄰兩個輪齒在開始接觸的時間之差，如圖7 中所示。

根據有限元計算結果知，ΔT=0.48s，ΔT'=0.25s，由式(7)計算可得ε'=1.92。而根據式(6)計算的重合度ε=1.78。可知，由于齒輪加載過程中載荷等因素的影響，實際重合度稍大于理論重合度。

(3)齒根最大應力

圖8 為齒輪嚙合過程中某位置的應力云圖。當齒輪嚙合到單嚙上界點時，齒根危險截面最大拉應力為38.17 MPa。將仿真計算結果與Charbert［13］、Niemann［14］和Fillize［15］等提出的經驗公式進行比較，見表5 所示。可以看出本文的計算結果比較合理。

表5 齒根最大拉應力對照表

4 基于Hertz 接觸的齒面接觸應力計算

齒輪承載傳動時，隨著嚙合點位置的改變，齒廓接觸點的曲率半徑也跟著改變，并且嚙合區域會產生彈性變形，嚙合線將擴展成為嚙合接觸區。由于齒輪嚙合共軛接觸面的變曲率特點，及有限寬度輪齒兩端的應力集中、輪齒變形較小等，實際嚙合區域在平面內投影后趨近于橢圓面接觸模型，如圖9 所示。

齒輪傳動的嚙合力分解為Hertz 接觸面分布力，齒廓上嚙合點的受力狀況可等效為兩個半徑分別為接觸點曲率半徑ρ1和ρ2的當量圓柱體接觸，具體情況見圖10 所示。

從圖10 中容易得出:

式中:d'1、d'2為小齒輪及大齒輪的節圓半徑;α't為端面嚙合角。

在此采用彈性接觸的Hertz 理論確定嚙合齒面間的接觸區域形狀和大小。由于接觸橢圓狹長的特點，將橢圓面規則化為長度為齒寬b、寬度為Hertz 接觸寬度2a 的矩形。單位齒寬上法向載荷下，根據Hertz 理論，得到受載輪齒半接觸寬度a 和接觸齒對的最大接觸應力σH為

式中:ρ1、ρ2分別為兩齒輪接觸表面在嚙合處的曲率半徑;E1、E2為接觸齒對的彈性模量;μ1、μ2為接觸齒對的泊松比;K 為載荷系數;Fn為齒面法向載荷;b 為齒寬。

齒輪嚙合的過程中，隨著齒輪接觸位置的變化，齒面法向載荷也在變化，將有限元加載接觸分析得到接觸齒對在整個嚙合過程中的實際接觸力(圖6)作為Hertz 接觸應力的計算載荷，根據式(10)可得到一個輪齒完整嚙合過程中的Hertz 接觸應力變化情況。

圖11 是一個輪齒完整嚙合過程中有限元數值解與赫茲接觸的接觸應力變化圖。兩者相比，變化趨勢基本一致。由圖知，有限元解因模擬齒輪運動，輪齒變形對接觸應力的影響，比赫茲接觸要大，應力曲線波動較大。當齒輪進入或退出嚙合時，輪齒存在邊緣接觸，產生嚙入嚙出沖擊。且在嚙入點產生較大沖擊［16］，沖擊應力達400 MPa。輪齒從開始進入嚙合向單嚙區運動過程中，接觸應力逐漸增大，在單嚙區達到最大。單嚙區有限元數值計算接觸應力最大值為545 MPa 左右，比Hertz 解偏大10%，這是由于有限元解求解時存在齒輪變形和動載效應。

5 結語

(1)基于齒輪接觸有限元計算原理，建立了五齒三維準靜態分析有限元模型。基于該模型計算了漸開線直齒輪完整嚙合過程中的接觸力與接觸應力，得到了齒根最大彎曲應力和最大接觸應力。與相關結論對比，驗證了模型的正確性。

(2)根據齒輪接觸分析的Hertz 面分布力接觸模型，理論計算了完整嚙合過程的齒面接觸應力。結果與仿真解比較表明，在輪齒嚙入嚙出時刻會產生較大沖擊應力，接觸應力與接觸力具有近似的線性關系。

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