探究函數性質的幾個命題

厲曉靈 （福建省霞浦第一中學 355100）

探究函數性質的幾個命題

厲曉靈
（福建省霞浦第一中學 355100）

函數的奇偶性、周期性、對稱性有密切的聯系，可謂知二求一。本文探究了函數性質的幾個命題。

函數 奇偶性 周期性對稱性

函數是高中數學的重點和難點，在高考中每年都占有一席之地，也一直是高中學生認為比較難學的內容。從現行的高中數學教材來看，函數y=f（x）的奇偶性、周期性、對稱性等這一部分內容具有抽象性較強的特點，經常綜合進行考查且容易出現難題。然而教材中涉及不深，僅僅介紹一些概念和簡單的習題。在教學過程中，筆者在對一些函數問題的研究中發現了一些規律，做如下總結。

一、有關函數圖像對稱性判斷的幾個命題

在二次函數的學習中有如下命題。定義在R上的二次函數y=f（x)滿足f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖像必關于直線x=a成軸對稱。

推廣：對于任意函數y=f（x），則有命題1：定義在R上的函數y=f（x）滿足f（x）=f（2a-x），即f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖像必關于直線x=a對稱。

命題2：定義在R上的函數y=f（x）滿足f（x）= -f（2a-x），即f（a+x）=-f（a-x），則y=f（x）的圖像必關于點（a，0）對稱。

命題3：定義在R上的函數y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則y=f（x）的圖像本身是一個軸對稱圖形，關于直線對稱，反之亦然。

命題4：定義在R上的函數y=f（x）滿足f（a+x）= -f（b-x），則y=f（x）的圖像本身是一個中心對稱圖形，對稱中心是反之亦然。

二、有關函數周期性判斷的幾個命題

函數的周期性是函數的一個重要性質，學生在高中三角函數部分的學習中，學習余弦函數和正切函數的圖像和性質時開始接觸，并在有關三角函數習題的解題中大量應用?！?br>