數列求和的基本方法

任英敏

（滄州市第二中學）

數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎，在高考中占有重要的地位.數列求和是數列的重要內容，除了等差數列和等比數列有求和公式外，有些求和問題由于形式復雜，使學生感到束手無策，因此數列求和方法值得我們探討，大部分數列的求和都具有一定的規律——求和先看通項.

一、等差等比數列求和——公式法

等差數列求和的公式：

例1.（1）求數列3，6，9，12…的前n項和

（2）求數列1，2，4，8…的前n項和：2n-1

注：①等差數列求和注意三點：首項，公差，項數

②等比數列求和注意三點：首項，公比，項數

③等差等比求和公式中項數易錯

二、數列通項an=等差+等比——分組法求和

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，但這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常數列的和或差，用分組求和.

例2.（1）數列｛an｝的通項公式an=2n+2n-1，求前n項和.

【分析】數列的通項公式為an=2n+2n-1，而數列｛2n｝和｛2n-1｝分別是等比數列、等差數列，用分組結合法：

解：Sn=（21+1）+（22+3）+…+（2n+2n-1）

=（21+22+…+2n）+（1+3+…+2n-1）

=2n+1-2+n2

列項求和的特點是將原數列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了，只剩下有限的幾項.

練習：在數列{an}中，求數列{bn}的前n項的和.

注：裂項后返回去驗證配湊k.

四、an=等差-等比——錯位相減法

求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列的公比q；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉化為同倍數的等比數列求和，這種方法就是錯位相減法，錯位相減是推導等比數列求和的方法。

例4.求Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1（x≠1）

【分析】{（2n-1）xn-1}的通項是等差數列{2n-1}的通項與等比數列{xn-1}的通項之積，用錯位相減法.

解：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1（x≠1）………①

xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-1）xn………（設制錯位）②

①－②得（1-x）Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn-1-（2n-1）xn

∵x≠1

∴（1-x）Sn=

注：①要考慮當公比x為值1 時為特殊情況

②錯位相減時要注意末項

練習：設a≠0 求數列a，2a2，3a3…nan…的前n項和

五、距首末距離相等的兩項和相等——倒序相加

倒序相加是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加.

把①式右邊倒轉過來得：

需要提醒的是，通過此方法可發散出倒序相乘.

數列求和問題雖然很難，但總可以通過找出共同特點和規律或進行恒等變換得到解決的途徑. 以上幾種方法是求數列較適用的方法，是從根本上認識數列求和.類型較全，公式簡單易懂，對學好數列求和有很大的幫助.