人的高度，就是數學教學的高度

江蘇啟東市中小學教師研修中心（226200） 蔡宏圣（特級教師）

一、學科教學的終極使命

近年，北京師范大學有關人員做了一個專題研究：以聯合國系統專門人才為對象，收集了1742份招聘說明書，并對國際公務員進行了深入訪談，提煉了國際組織人才需要具備的十大基本素養。研究結果表明，“崇尚專業”是聯合國秉持的重要原則，除此以外，國際組織人才還需要：

民族文化身份認同：即愛自己的祖國，愛國才更為自信和積極；

尊重多元文化的價值觀：尊重不同的文化，自覺審視自身的偏見；

語言溝通能力：起碼掌握兩種聯合國官方語言，并能清晰簡練和準確可信地溝通、演講、協商。

團隊合作能力：能與各種身份的人合作，能靈活地轉換合作中的角色；

學習意愿和持續學習的能力：能根據任務需要及時分享知識、更新知識；

……

進一步思考，我們的教學活動中是否有和上述基本素養一一對應的專一課程？國際組織人才需要具有認真負責、積極抗壓的個性，那我們是否應該設計一個課程直接來培養學生這樣的個性？事實上，與上述基本素養相對應的專一課程是不存在的，顯然，學科教學的最終使命不在于學科本身，而在于通過學科學習的獨特價值、獨到路徑去培養人。這也正是北京十一學校李希貴先生所說的：“我們學校的教師不是教學科的，而是教學生的。”“不是教學科的”，不是對學科的漠視，更不是對學科的否定，而是在把握學科本質基礎上對學科的超越，站在人的高度上去育人！

二、數學學習的終極價值

一個普通人，通過義務教育起碼要學九年數學，但步入社會卻又很少用數學，于是，很多人問：為什么人人都要學數學？數學學習的終極價值何在？

為此，日本數學教育家米山國藏在《數學的精神思想和方法》中指出，學生走出校門后很快就忘掉學校里所學的數學知識，“然而不管他們從事什么工作，唯有深深地銘記在頭腦中的數學的精神、數學的思想、研究的方法和著眼點等這些都隨時隨地發生作用，使人受益終身。”美國數學家M·克萊因在他的名著《西方文化中的數學》中指出：“數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發、促進、鼓舞并驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，也正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活；試圖回答人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻和最完美的內涵。”很顯然，我們需要在知識技能的學習過程中引導學生積淀數學的精神，唯有數學的精神才能融入一個人的血液、個性、舉止投足間，成為其一生都能帶在身邊的財富。

更為具體地說，在小學數學教學活動中，宜結合相關知識的學習與相關技能的訓練，利用數學的內在魅力幫助學生擁有下面這些素養。

理性的態度。“一張白紙不停地對折會有多高”，這樣的活動不在于計算出最終結果，而在于形成這樣的態度：遇到問題，不要憑空猜測，也不要迷信權威，自己動手嘗試做做，收集數據，用理性的方式作出回答。學習數學，就是要學會如何獨立地，運用邏輯性的思維解決問題。

思考的方法。數學是思維的體操。學習數學，就是學習如何思考——如何把事物分成幾類，如何比較不同事物間的異同，如何有條理地進行推理，如何在大量例子的基礎上提煉出規律來，如何在已有知識的基礎上提出新的猜測，如何對猜測進行驗證，等等。

開放的心態。無論是多么聰慧的人，終究有思維的盲區。所以，數學學習首要的是獨立思考，然后是自信大方、簡明扼要地表達，以及從容淡定、有根有據地爭辯。不要顧忌對和錯，任何想法都值得驕傲和分享；也不要堅持己見，誰更有道理就接受誰的想法，而且一個人有一個想法，通過交流，就能對知識就有更多的感悟，在這樣的學習過程中，學生不但能得到提高，還會養成坦誠開放的心態和交流辯論的技巧。

反思的習慣。古人說“千金難買回頭看”，華羅庚也說：“做了好題不回顧反思，就像入了寶山，卻空手而歸。”真正的智慧都不是別人告訴你的，而是自己醒悟的。所以，探索了知識、解答了某題，對于個人來說不僅獲得了知識，更大的價值在于作為第三者對自己剛才所思所為的回顧總結，想想是什么保證了解答的正確，是什么導致了探索的曲折。這些才是人生的一筆財富。

堅韌的品質。學習沒有坦途。課堂里學習的任何一個數學結論，都是幾十年乃至幾百幾千年人類思維的結晶。要在教學中捕捉契機，讓學生體會，在學習中遇到困難的時候，只有堅持下去才能獲得成功。不以個人的聰慧論英雄，而以能不能堅持論成敗。

三、數學育人的終極入口

理論上，一切教學都具有教育性，但如果不是恰當的方式，即便教師有良好的教育愿景，也可能事與愿違。因此，學科教學的育人功能，一方面要深究整個課程體系中每個學科不可替代的獨到育人價值，另一方面也要尋找最能體現學科特點的、貼切的學科路徑。

例如一年級上冊的“認數1～5”，教科書把人類建立數的概念的近萬年歷史濃縮為四個環節（如圖），首先把相關的實物畫上一個圈（即看做一個集合），這意味著我們只聚焦于它在量方面的屬性，它等價于1粒算珠，算珠比起“一個小朋友拉手風琴”來說抽象多了，但卻是實實在在看得見的；再以此為橋梁，進一步抽象為符號“1”；正因為“1”是抽象來的，所以它具有廣泛的代表性，“1還能表示什么？”的追問，就是讓學生體會此意義。即便是認識數“1”——不能再簡單的數學知識，也必須經歷上述四個階段，更何況其他數學知識呢？所以，抽象性是數學的根本屬性，要學習數學，必須經歷思考，沒有思考就沒有數學。

可能有人說，著名的數學大師陳省身先生不是說“數學好玩”嗎？抽象的東西，怎么會“好玩”？

說起“好玩”，大家都會想到游戲。大多數成人都有過游戲的經歷和體會。一個好玩的游戲，首先是容易入手，不復雜，能很快地玩起來；其次是有點小難度，隨著技巧的逐漸熟練，不斷有新的進階等著去挑戰，讓人廢寢忘食。在數學里也有游戲，比如七巧板、華容道、九連環等。七巧板，在國際上被稱為“唐圖”。拿破侖在滑鐵盧兵敗之后的流放歲月里常玩七巧板，為什么他沒有感到厭倦？因為，七巧板能拼成的圖案成千上萬！中國科學院院士張景中教授著的《好玩的數學》科普叢書，其中就有吳鶴齡先生《七巧板、九連環和華容道——中國古典智力游戲三絕》一書，剖析了三個經典游戲背后的數學道理。原來，玩智力游戲的本質是在玩數學！

數學知識源于人類的生產勞動實踐，但數學科學卻源于古希臘人的理性思辨。在人類文明史上，公認的古代文明有古中國、古埃及、古印度、古巴比倫，世人稱之為“四大文明發源地”。古中國、古埃及的數學成就都和解決生產勞動中的實際問題緊密聯系，而古希臘人通過航海貿易獲得了這些數學結果后，在人類歷史上破天荒地第一次對這些數學結果進行了理性的哲學考察——為什么它們會如此？相傳古希臘的第一個賢者泰勒斯，提出了4個幾何命題的一般形式，并設法證明了“等腰三角形底角相等”。公元前387年，柏拉圖建立了自己的學院，門口赫然豎立著“不懂幾何者禁入”的牌子，能進入學院聚在一起討論交流的已不可能有真正意義上的勞動者，陽光下、草地上，大家溫文爾雅討論的也不是一個數學結論就能直接解決生產生活中的那個問題，而是交流如何賦予一個數學結論以邏輯性。在這過程中，吸引人的已經不是數學的使用價值，而是純粹的智力樂趣。因而，英國數學家哈代說：“激勵數學家做研究的主要動力是智力上的好奇心，是謎團吸引力。”

陳省身先生說“數學好玩”，這凝聚著一代數學大師自身學習數學、研究數學的切身體會。也正因為陳省身先生是一代數學大師，對數學的理解和感悟也非常人所能比擬，所以這句話從某種意義上也揭示了數學對人的智力挑戰的特質，這種特質和數學的抽象性不矛盾，恰恰互為支撐。陳省身先生在天津扶輪中學求學時，樂此不疲地尋找弦切角定理的多種證明方法，撰寫了《一個幾何定理的十六個證明》，刊登于校刊《扶輪》雜志上，享受的便是思考的樂趣，這是對“好玩不是輕松悠閑，而是享受智力挑戰”的有力佐證。

數學穿著抽象的外衣，是個“冰美人”，要走近和走進它，只有一條路，那就是思考起來。數學就其客觀意義，本身并無“好玩”之說，要被學習者建立起“好玩”的主觀感受，那總結起來不外乎兩條：其一，簡單有趣；其二，別有洞天。簡單有趣，能讓學習者容易起步；別有洞天，能讓學習者欲罷不能。不少人覺得數學難，所以不愛數學，實際上這是表面現象。數學能讓一部分人終生追隨，不是因為簡單，恰恰是因為“有點難”。

一個教師，不但要從教育學、心理學的角度運用外在的形式吸引學生學習數學，更要通過彰顯數學的內在魅力去征服學生。數學，是人類智力的皇冠，吸引人沉醉其中的是可以享受智力的“高峰體驗”！一個高明的數學教師，要呈現與兒童的認知水平相匹配的那些數學——能解決又不能隨手可得，有信心又需要再作努力。如此，學習的過程猶如陶淵明先生的《桃花源記》：“山有小口，仿佛若有光。便舍船，從口入。初極狹，才通人。復行數十步，豁然開朗。”這樣的數學學習過程，經歷著“輾轉反側、冥思苦想到石破天驚、豁然開朗”的思考樂趣。由此，學生就走近和走進了數學，只有這樣才能感受到數學的理性，才能體會到數學思考的方法，積淀開放的心態，養成回顧的習慣，培育堅韌的品質。

數學從來就是一種文化力量，正如M·克萊因所說：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創作。音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能扣人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可以改善物質生活，但數學卻能提供以上的一切。”既如此，數學學習還只是學習數學嗎？