分級基金和股指期貨統計套利實證分析

馮佳 祝錦波

【摘要】統計套利是基于統計方法，構造金融資產投資組合，挖掘套利機會以求獲得投資組合的市場回報。把協整統計套利方法引入分級基金和股指期貨的期現套利交易中，分析分級基金組合（SFS）和滬深300股指期貨的高頻數據之間的協整關系，利用價差模型配對套利的損益發掘分級基金和股指期貨的套利機會，結果表明分級基金和股指期貨之間存在統計套利空間。

【關鍵詞】統計套利 協整模型 高頻數據

一、引言

統計套利是利用相關性非常高的證券合約，當價格出現不均衡時的機會，通過對沖將相關的或者同品種不同時期的合約的波動對沖掉，只關注合約的價差波動，利用匹配交易機制獲得利潤。本文利用Wind數據庫滬深300股指期貨和指數型分級基金進取份額組合（SFS）的1分鐘高頻數據進行統計套利實證分析，通過高頻數據的分析尋找套利交易的機會，有利于期現價格回歸。

關于統計套利的研究主要有Andrew Pole（2011）在其著作中追溯了統計套利策略的起源—配對交易的基本原理并闡述了其主要特性[1]。Brian Jacobsen（2008）基于日內高頻交易數據的協整關系將誤差修正模型應用到統計策略，交易方法簡單并取得了不錯的收益，有利于投資者實施套利[2]。仇中群、程希駿（2008）實證研究后發現基于協整的統計套利效果顯著優于其他的跟蹤誤差方差方法，套利機會增多且風險可控[3]。陳怡（2012）首次嘗試嘗試將統計套利的方法引入分級基金交易采用成對交易策略，實證表明該策略都可以獲得超額收益以及高于大盤的夏普比率[4]。雷井生，林莎（2013）改進統計套利策略，并驗證該策略運用各頻率數據進行套利的交易次數都顯著減少，達到了獲取最大單次收益及降低交易頻率的目的[5]。

二、數據選取和無套利區間

（一）交易對象選擇

為了更好的擬合滬深300指數，我們從基金的穩定性和流通性等方面進行考慮，共選出和滬深300相關性最好的瑞福進取（150001）、雙禧B（150013）和信誠300B（150052）共3只成立2年以上，市值在1億以上B份額的指數型分級基金。

利用分級基金組合和股指期貨進行套利需要盡可能地擬合滬深300指數，衡量指數擬合的好壞一般采用跟蹤誤差來表示，為了使跟蹤誤差最小化，減少SFS套利風險，通過使用最優化模型求出現貨在現貨組合中所占的權重，建立跟蹤誤差最小的現貨組合。跟蹤誤差為：

其中T為樣本周期，It代表股指期貨數在t時期的收益率，n為分級基金數量，αi為第i只分級基金在組合中的權重，Ii，t代表現貨組合中的第i只分級基金在t時期的收益率，約束條件為各成分基金的權重之和等于1。利用Matlab數學軟件計算出各個分級基金在組合中的權重，得到3只分級基金在組合中的權重各位0.3333時，跟蹤誤差最小為0.0007676。

目前我國上市的股指期貨合約共有4個，當月合約、下月合約、當季合約以及隔季合約。由于現在當季合約和隔季合約的交易清淡，考慮到成交量和市場流動性，本文選取了股指期貨當月合約與SFS進行匹配套利。

（二）無套利區間的確定

股指期貨最經典的定價方法是持有成本定價法，它是其股指期貨其他定價方法的基礎。假設以F（t）的價格賣出股指期貨，同時以S（t）的價格買入現貨，r代表無風險利率；D（t，T）代表T-t的現金股利。在無市場摩擦假設條件下，股指期貨的基本定價模型為：

F（t）=S（t）er（T-t）-D（t，T）

在實際的交易市場中，由于交易成本和融資成本等的存在，為了得到股指期貨的無套利定價區間，需要把它們等成本計算進去。

套利策略不能獲利的區間的上、下限為：總的凈收益=現貨頭寸的凈收益+股指期貨頭寸的凈收益≤0。

整理可得到股指期貨期現套利的無套利區間為：

三、協整關系檢驗

為了驗證股指期貨和SFS的期現套利有效性，先對股指期貨9月當月合約IF（1409）與SFS價格的原始序列、對數序列進行平穩性檢驗，如果序列通過平穩性檢驗則進行協整關系檢驗，在協整關系檢驗通過的基礎上建立誤差修正模型。

（一）平穩性檢驗

對IF（1409）與SFS的平穩性進行檢驗，檢驗結果驗證IF（1409）、SFS、Ln（IF（1409））和Ln（SFS）均存在單位根，無法通過平穩性檢驗，序列不平穩。D（IF（1409））、D（SFS）、D（Ln（IF（1409））和D（Ln（SFS））不存在單位根，一階差分序列是平穩性序列，屬于一階單整序列。

（二）Engle-Granger檢驗

通過兩變量的Engle-Granger檢驗法分兩步對價格序列和價格對序列進行協整關系檢驗。

對IF（1409）與SFS價格序列及對數序列進行OLS估計回歸分析，回歸方程如下：

IF（1409）=2301.935SFS+536.7925

T值 158.9757 45.43869

R2=0.937496

Ln（IF（1409））=0.775423Ln（SFS）+7.947228

T值 160.2419 8012.629

R2=0.938419

我們可以看出，IF（1409）與SFS價格序列及對數序列回歸方程均通過t檢驗，具有較好的擬合優度。可以認為IF（1409）與SFS及對數序列是協整關系。

（三）誤差修正模型

通過實證我們發現IF（1409）與SFS價格序列、IF（1409）與SFS價格對數序列存在著協整關系。由于對數序列在計算收益率等方面的優越性，所以本文在后續的研究中采用對數序列進行研究。為了反映Ln（SFS）與Ln（IF（1409））之間的短期波動情況，我們建立誤差修正模型：

ΔLn（IF1409t）=β+β1ΔLn（SFSt）+γecmt+εt

其中ecmt是誤差修正項：

ecmt=Ln（IF1409t-1）-β1Ln（SFSt-1）-β

可以得到Ln（SFS）與Ln（IF（1409））殘差序列，也就是誤差修正項ecmt。

ecmt=Ln（IF1409t-1）-0.775423Ln（SFSt-1）-7.947228

以ecmt為誤差修正項，利用最小二乘估計法對誤差修正模型進行估計，結果為：

ΔLn（IF1409t）=-0.000016+0.283725ΔLn（SFSt）-0.006617ecmt +εt

從Eviews分析結果中我們得到DW檢驗2.309675，F檢驗為198.44，都顯著通過檢驗，可以認為該方差通過檢驗，誤差修正項ecmt-1前面的系數為-0.006617，且通過t統計量檢驗。Ln（IF（1409））的變化會受到Ln（SFS）與他們的前一期的偏離影響，當二個合約之間出現偏離時，Ln（SFS）與他們的前一期的修正關系促使他們恢復協整關系。

四、套利檢驗

由于套利交易是基于套期保值和投機之間的一種交易策略，其核心在于將匹配資產的波動性完全規避，通過預測二者價差的波動性來交易，我們定義價差為SP=Ln（IF（1409））-0.775423Ln（SFS）-7.947228，在套利檢驗過程中SFS合約與IF（1409）合約采用1：1的資產配置比例。

（一）確定套利成本

由于通過股指期貨和基金套利一般都是大戶或者是機構投資者，只需要付出更低的成本，假設買賣現貨分級基金只需要0.03%的手續費，買賣股指期貨只需要0.006%的手續費。為了保證套利交易的安全我們假定現貨保證金和期貨保證金的比例都為50%，對股指期貨及分級基金的買入和賣空交易的市場沖擊成本假定為0.1%，SFS收益率和IF（1409）收益率之間的誤差為0.0007676。

根據以上所討論得出的各項參數的取值，得出：

買入現貨組合的交易成本率Csb=0.03%+0.1%+0.08%=0.21%；

賣出現貨組合的交易成本率Css=0.21%；

買入股指期貨合約的交易成本率Cfb=0.006%+0.1%=0.106%；

賣出股指期貨合約的交易成本率SFS=0.106%。

（二）交易閥值設計

實際交易過程中，閥值的選擇是統計套利盈利的關鍵，因此建立套利策略需要根據價差序列的分布情況，確定無套利區間、套利區間和止損區間。由樣本價差序列均值μ=2.52E-15，標準差σ=0.004093，設閾值θ3>θ2>θ1>0，通過對歷史數據優化得到θ1=0.68，θ2=1.25，θ3=2.3。則有無套利區間為[μ-0.68σ，μ+0.68σ]，套利期間為[μ-2.3σ，μ-1.25σ]和[μ+1.25σ，μ+2.3σ]，止損區間為[-∞，μ-2.3σ]和[μ+2.3σ，+∞]。

我們交易策略如下：

（1）sp>μ+1.25σ時，賣出1張SFS合約的同時買入1張IF（1409）合約，當sp<μ-1.25σ時，買入1張SFS合約的同時賣出1張IF（1409）合約；

（2）當賣出1張SFS合約的同時買入1張IF（1409）合約以后，價差回復到均值μ以下平倉，當買入1張SFS合約的同時賣出1張IF（1409）合約以后，價差回復到均值μ以上平倉；

（3）買入后，如果價差沒有回到下一個交易點，當sp>μ+1.25σ交易后，價差并沒有回歸而是繼續擴大，當sp>μ+2.3σ時，平倉止損；當sp<μ-1.25σ交易后，價差并沒有回歸而是繼續擴大，當sp<μ-2.3σ時，平倉止損。

（三）交易結果

我們在套利過程中采用的是價格指數序列進行套利分析，假設在套利過程中只交易1張合約，并且用對數收益率套利的實際收益。在整個交易時期內，自2014年9月1日～9月10日共計一共有7交易日，共有1687分鐘，正向套利次數為230次，成功230次，正向套利累計對數收益率為0.86%，反向套利次數為241次，失敗20次，期間對數損失率為0.26%，成功221次，期間對數收益率為0.77%，反向套利累計對數收益率為0.51%；共獲得對數收益率為1.37%。

參考文獻

[1]Andrew pole.統計套利[M].北京：機械工業出版社，2011.

[2]Brian.Jacobsen.Demonstrating error-correction modelling for intraday statistical arbitrage[J].Applied Financial Economics Letters， 2008，4：287-292.

[3]仇中群，程希駿.基于協整的股指期貨跨期套利策略模型[J].系統工程，2008，26（12）：26-29.

[4]陳怡.統計套利策略在我國分級基金市場的嘗試[J].科學技術與工程.2012，12（3）：724-728.

[5]雷井生，林莎.基于高頻數據的統計套利策略及實證研究[J].科研管理.2013，34（6）：138-145.

作者簡介：馮佳（1963-），女，陜西西安人，副教授，碩士生導師， 研究方向：金融工程；祝錦波（1985-），男，廣東恩平人，碩士研究生，研究方向：金融工程。