干摩擦誘發汽車制動系統顫振時多極限環特性

史偉　魏道高　胡美玲　潘之杰　陳浙偉

摘 要：制動初速度、制動壓力和摩擦因數是影響制動干摩擦力的主要參數，而制動盤與制動塊之間的干摩擦力是可能誘發制動顫振時出現多極限環的主要原因。通過建立制動器系統單自由度模型，結合Wojewoda遲滯環摩擦力模型，尋找構成干摩擦力的3個參數誘發多極限環特性機理?；谏鲜瞿Ｐ蛿抵涤嬎憬Y果表明，在一組參數組合下出現了多極限環，而且隨著制動初速度的減小，穩定極限環的幅值增加，不穩定極限環幅值減?。浑S著制動壓力的增加，穩定極限環與不穩定極限環的幅值均增加；隨著動摩擦因數增加，穩定極限環的幅值增加。

關鍵詞：干摩擦力；制動；顫振；多極限環

中圖分類號：U461.3文獻標文獻標識碼：A文獻標DOI：10.3969/j.issn.2095-1469.2015.01.06

汽車制動顫振現象是汽車在低車速和一定制動壓力下產生的低頻振動噪聲現象[1]。顫振現象通常發生在低于30 km/h的車速下，頻率在500 Hz以內[2]。

大量研究表明[1-8]，顫振現象由制動盤和制動塊間干摩擦力導致兩者間的粘滑運動所引起的，屬于自激振動，粘滑運動在相圖中表現為極限環現象。

國外許多學者對汽車制動顫振展開了深入研究。K. Skin等人[3]通過建立二自由度制動系統模型，研究了制動初速度和制動壓力對粘滑顫振的影響；Manish Paliwal等人[4]通過建立二自由度制動系統模型，研究了剛度和阻尼對粘滑顫振的影響；Ashley R. Crowther和Zhang Nong等人[1， 5]通過建立角位移輸入驅動的制動系統鉗盤模型，研究了不同驅動狀態下的粘滑運動。但以上研究只是找到干摩擦引起制動過程中產生的穩定極限環，沒有找到不穩定極限環。A. J. McMillan[6]在研究干摩擦自激振動時，發現了穩定極限環與不穩定極限環，但是在建模過程中沒有考慮壓力和摩擦因數的影響，剛度也是定值，實際中剛度是隨著位移變化的，其選用的干摩擦模型參數也較難選取。

國內也進行了相關的研究，李元元[7]等人建立單自由度盤形制動系統動力學模型，計算了顫振發生的臨界速度，以及阻尼比對臨界轉速的影響；徐煒卿[8]等人建立單自由度制動系統動力學模型，通過數值計算找到了顫振現象中穩定極限環現象；黃彩虹[9]等人建立了二自由度制動系統顫振模型，研究了制動壓力及阻尼比對顫振的影響。但上述研究均沒有找到制動中不穩定極限環現象。

從現有文獻來看對于制動系統顫振的研究多集中于鉗-盤之間的干摩擦力導致二者之間產生粘滑運動，即穩定極限環的產生，而對于不穩定極限環現象的產生還研究較少，不穩定極限環對粘滑運動初始激勵有敏感性。

因此，本文為了簡單起見，建立單自由度制動系統動力學模型，找到顫振現象中多極限環現象，并通過數值仿真的方法，計算構成制動干摩擦力的3個主要因素——制動初速度、制動壓力和摩擦因數對多極限環現象的影響。

1 制動器系統動力學模型

1.1 單自由度系統動力學模型的建立及數學方程

由圖1所示的制動器結構示意圖可知，制動盤固定在輪轂上隨其一起轉動，可以將其看成是繞o點轉動的圓盤，制動塊也固定在轉向節上，制動盤與制動塊接觸處的切向速度為v0。

由圖1則可將制動器簡化成如圖2所示的單自由度動力學模型，將制動盤看作一個以恒定速度v0運動的傳動帶，制動塊看作一個質量為m的質量塊。質量塊在恒定驅動速度v0帶動下的傳送帶上做左右往復運動，質量塊與剛性壁面通過變剛度為k的線性彈簧和阻尼系數為c的黏性阻尼器相連，質量塊與傳送帶之間的壓緊力為FN。

根據牛頓第二定律可建立系統微分方程：

。

式中，F為質量塊與傳送帶之間的干摩擦力；，

u為摩擦因數，Fn為質量塊與傳送帶之間的壓緊力；

式中 ，t為時間。

以往研究[3-8]的剛度都是線性的，而非線性剛度將對系統的動力學產生影響。本文主要研究制動塊在x方向的振動，所以選擇剛度k的非線性剛度關于x，即剛度k隨著位移的變化而變化。本文選擇的變剛度k的模型為[10]

。

式中，k11為線性剛度系數；k12為平方剛度系數； k13為立方剛度系數。

1.2 制動干摩擦力模型選用

當接觸物體間沒有潤滑時，相對滑動時會產生庫倫阻尼力（干摩擦阻尼力）。通常使用sgn函數來描述庫倫阻尼力，及庫倫阻尼力與接觸表面間的法向力，方向與運動方向相反。但是這主要反映的是動摩擦力的性質，它忽略了速度為0時的粘滯特性。因此本文選擇帶有滯后性的遲滯環干摩擦力

模型。

目前的遲滯環模型有Oden的雙線性遲滯環模型[11]，McMillan遲滯環模型[6]和Wojewoda遲滯環模型[11]。Oden模型過于簡單，計算精度低，不易準確反映干摩擦特性；McMillan模型過于復雜，涉及參數較多，參數數值較難確定，計算難度較大；Wojewoda模型表達式簡單明確，易于理解，計算方便。

所以本文選用Wojewoda的遲滯環摩擦力模型[12]，其數學表達式為

。

其中，

；

；

；

；

；

。

式中，為相對速度；v0為動摩擦因數；uc為動摩擦因數；us為靜摩擦因數；Δus為最大靜摩擦力的調整參數；vA為平均速度值的調整參數；τ為遲滯時間。

由式（3）及表1計算得滯后性摩擦力特性如圖3所示。

2 制動器系統多極限環特性

制動過程中極限環的產生和系統多種因素有一定關系，因此有必要研究多種因素對極限環特性的影響。為了全面了解制動時極限環的動態特性，以國產某車制動器為例，基于以上所建立的數學模型，應用龍格-庫塔法對其制動顫振特性進行數值計算。計算所需的參數見表2。

根據所選參數[13]計算得到制動過程中制動壓力隨時間變化圖，如圖4所示。

由圖4可知，最后的制動壓力FN穩定在6 000 N。

為了獲得制動過程中多極限環特性，選取FN=6 000 N、v0=9.7 m/s，計算得到不同初始激勵時制動塊的相圖，如圖5所示。

由圖5可知，極限環1內外臨域內取任意初始值時其相軌跡均趨向于極限環1，說明極限環1是穩定極限環；在極限環2的外部取任意初始值時其相軌跡均離開極限環2趨向于極限環1，在極限環2的內部取任意初始值時其相軌跡均離開極限環2而趨向于一穩定點，則說明極限環2為不穩定極限環。

當初始激勵在穩定極限環1的外部或者在穩定極限環內部和不穩定極限環外部之間時，系統最終將趨于穩定極限環，即將產生粘滑運動；而當初始激勵在不穩定極限環2的內部時，系統最終將趨于穩定點，不會產生粘滑運動。

2.1 制動初速度對多極限環的影響

FN=6 000 N時，研究不同的初速度對制動過程中的多極限環特性的影響。分別作不同的初速的質量塊的相圖與快速傅氏變換（Fast Fourier Transformation，FFT）頻譜圖，如圖6所示。

由圖6歸納得到不同初速度時系統多極限環特性，見表3。

由圖6和表3分析可知：

（1）穩定極限環的頻率基本保持不變，即汽車制動過程中的振動頻率f =220 Hz，其屬于制動過程中的顫振類型，且這種顫振既能被人感受到（振動）又能被人聽到（噪聲）。

（2）汽車制動過程中的顫振是由于干摩擦力使制動塊與制動盤之間產生粘滑運動引起的，可以將顫振與粘滑理解為圖4中出現的穩定極限環現象。

（3）隨著初速度v0的減小，穩定極限環的幅值越來越大，即制動塊與制動盤之間的粘滑運動越明顯。

（4）隨著初速度v0的減小，不穩定極限環的幅值越來越小，在v0<0.83 m/s時，不穩定極限環消失。

2.2 制動壓力對極限環特性的影響

為了分析制動壓力對極限環特性的影響，根據圖6分別取FN=6 000 N、FN=5 000 N、FN=2 000 N， 進行研究，得到v0分叉圖，如圖7所示。

由圖5可分析不同制動壓力對穩定極限環性質的影響，而對于不穩定極限環的性質影響不易分析。由圖7（a）可知，出現極限環的分叉點的速度v0=9.7 m/s，結合圖6與上一節的分析可知，隨著初速的減小，不穩定極限環的幅值也逐漸減小，直至消失，所以可以通過分析分叉點處不穩定極限環的幅值來分析制動壓力對不穩定極限環性質的影響。做出不同壓力下分叉點處的的相圖與不穩定極限環消失時對應處速度的相圖，如圖8所示。

由圖8和表4分析可知：

（1）隨著制動壓力的增加，穩定極限環與不穩定極限環的幅值也增加。

（2）隨著制動壓力的增加，出現極限環的速度分叉點也增加，不穩定極限環消失時對應的速度也逐漸增加。

2.3 摩擦因數對極限環特性的影響

為了研究摩擦因數對極限環特性的影響，取不同的靜摩擦因數和動摩擦因數的組合來研究，得到不同組合下 v0分叉圖，如圖9所示。

通過圖9得到不同靜摩擦因數和動摩擦因數組合對極限環性質的影響，見表5。

由圖9和表5分析可知：

（1）通過圖9（a）與（b）、（c）與（d）對比，兩組都是動摩擦因數相同，靜摩擦因數不同，發現極限環的最大幅值與分叉點的速度都基本相同，則知靜摩擦因數對極限環性質基本上沒有什么影響。

（2）通過對比圖9（a）與（d），靜摩擦因數相同，動摩擦因數不同，發現動摩擦因數越大，極限環的最大幅值與分叉點的速度越大，則知動摩擦因數對極限環性質影響顯著，且動摩擦因數越大，極限環的最大值與分叉點的速度越大。

3 結論

（1）通過建立單自由度汽車制動器系統動力學模型，結合所選遲滯環摩擦力模型，找到了制動顫振過程中多極限環現象。

（2）隨著初速度v0的減小，穩定極限環的幅值越來越大，即制動塊與制動盤之間的粘滑運動越明顯，同時不穩定極限環的幅值越來越小。當v0小于某一值時，不穩定極限環消失。

（3）隨著制動壓力的增加，穩定極限環與不穩定極限環的幅值也增加，且出現極限環的速度分叉點也增加，不穩定極限環消失時對應的速度也逐漸增加。從摩擦動力學角度考慮，為設計合理壓力模式，提供制動摩擦副結合品質提供參考。

（4）動摩擦因數越大，極限環的最大幅值與分叉點的速度越大，而靜摩擦因數不影響極限環性質。