一道“北約”自主招生試題的另證

喻俊輝

（江西省九江一中）

2014 年“北約”自主招生考試中有這樣一道不等式試題：

設正實數x1，x2，…，xn滿足x1，x2，…，xn=1.證明：

如果嘗試用歸納法來證明這個不等式，將會發現從n=k 過渡到n=k+1 比較困難，不好處理。然而，若將其強化為：

若x1，x2，…，xn為正實數，則

將會發現雖然從n=k 過渡到n=k+1 依然困難，但是由n=k 時命題成立推出n=k-1 時命題成立卻是輕而易舉的。那么，能否由此導出對任意的n≥2，n∈N+時（*）成立呢？結論是肯定的，其證明如下：

先用歸納法證明對于k∈N+時，（*）對n=2k成立

即（*）對n=21成立.

若命題對n=2k成立，則n=2k+1時，

故（*）對n=2k+1也成立。由歸納原理，當k 取任意正整數時，（*）對n=2k成立。

即（*）命題對n=k-1 成立；綜上所述，由歸納原理，（*）對于一切不小于2 的正整數都成立。

這種先由n=21推到n=2k，再由n 推到n-1 的歸納法叫做反向歸納法。反向歸納法的使用在自主招生與競賽中時常出現，它區別于一般歸納法，適用于從n=k 較難過渡到n=k+1，但是由n=k 命題成立推出n=k-1 時命題成立較易，且對于n=2k時命題的證明較簡單。抓住這個特點很容易分辨哪些問題可以用反向歸納法來處理。

能用反向歸納法解決的問題特點非常鮮明，較易判斷，用其他做法往往比較困難，有計劃參加競賽或自主招生的學生應加以掌握。