基于終端滑模機器人模糊自適應路徑跟蹤控制

王洪泉，師五喜，常紹平，修春波

天津工業大學 電氣工程及自動化學院，天津 300387

1 引言

移動機器人系統是一類典型的非完整系統，近年來，許多學者對其跟蹤控制問題進行了大量研究[1-6]。根據參考軌跡是否為時間的函數，跟蹤控制分為軌跡跟蹤和路徑跟蹤。對于軌跡跟蹤問題，文獻[1-4]基于運動學模型分別提出了反步法、神經網絡方法、模糊神經網絡方法和輸入輸出線性化方法。對于路徑跟蹤問題，文獻[5]研究了機器人質心恰好位于輪軸幾何中心時的路徑跟蹤問題，文獻[6]研究了機器人質心位于兩驅動輪的中軸線上時機器人的路徑跟蹤問題。眾所周知，所設計的機器人最終是負載的，而負載的位置將直接影響整個機器人系統質心位置，通常情況下質心位置并不在兩驅動輪的中軸線上，且其準確位置不好確定，所以文[5-6]假設機器人質心位于輪軸幾何中心或兩驅動輪的中軸線上對負載機器人系統是不合適的。由于質心位置不好確定，所以負載移動機器人系統是一個典型的不確定非線性系統。

自從文[7]證明了模糊系統的萬能逼近性以來，自適應模糊系統和傳統線性滑模控制相結合，已被應用到了含不確定性的移動機器人系統跟蹤控制中[8-11]。但傳統的線性滑模控制在系統到達滑模面后只能實現無限時間的漸近收斂，因此不能實現有限時間跟蹤。此時為了加快收斂速度，必需增大滑模控制中的設計參數，這會使控制器的增益增大，從而導致控制輸入的飽和，這種現象在實際應用中是不期望產生的。終端滑模（TSM）[12]作為一種有效的有限時間收斂方法得到了許多學者的廣泛關注[13-23]，近些年來相繼提出了快速終端滑模（FTSM）[17]、非奇異終端滑模（NTSM）[18]，而且已被應用到機器人控制中。如文獻[18，20-21]基于NTSM對機械手進行了跟蹤控制研究，文[23-24]基于運動學模型對移動機器人進行了簡單的終端滑模控制設計。但文[23-24]的研究對象是質心位于驅動輪軸中點的已知系統。

本文對質心位置不確定的移動機器人系統進行了基于快速終端滑模的自適應模糊路徑跟蹤控制研究。文中利用模糊系統逼近機器人系統中的未知函數來設計間接自適應模糊控制器，設計魯棒控制器來對逼近誤差進行補償。文中基于李亞普諾夫穩定性分析方法為未知參數設計了自適應律，并證明了該方法不但可以保證閉環系統中的所有信號有界，而且可使跟蹤誤差在有限時間內收斂到原點的小鄰域內。仿真結果驗證了本文方法的有效性。

2 問題描述

本文所研究的移動機器人結構如圖1所示，圖中前方左右兩輪為驅動輪，車體后方為無動力的萬向輪，起到支撐平衡機器人的作用。

考慮實際情況中機器人帶有負載，其質心一般并不在車體的幾何中心。圖1中假設機器人的質心位于C點，P點為機器人兩個驅動前輪的軸線的中點，P點到C點間的距離為L（當質心位于兩輪軸的前半部時L為正，否則為負），直線CP與機器人車體的中軸線的夾角為γ。u1為機器人前進方向上的線速度，u2為機器人轉向的角速度。設C點坐標為 (x1，x2，x3)，其中x1、x2分別為橫縱坐標，x3為機器人車體中軸線和X1軸的夾角。設P點坐標為 (x′1，x′2，x′3)，則P點的運動學方程為：

又P點與C點(x1，x2，x3)的位置關系如下：

對式（2）求導，并將式（1）代入得到：

圖1 輪式移動機器人

其中˙˙，分別為C點的速度分量，上式即為機器人以C點為參考點的運動學方程。

根據路徑跟蹤問題的提法[5]，本文的控制目的為：對于運動學模型為式（3）的機器人，給定光滑的幾何路徑f(x1，x2)=0 ，定義跟蹤誤差z=f(x1，x2)，當系統的參數L與γ未知時，在反饋控制律u(x1，x2，x3)的作用下，使系統在有限時間內沿期望的幾何路徑運動，即對于一個任意給定的小正數?，存在時間t1，當t＞t1時，使得跟蹤誤差z=f( )x1(t)，x2(t) ＜?。

本文假設機器人以期望的線速度u1運行，角速度u2作為控制輸入。對跟蹤誤差z求導得：

將式（3）代入式（4）得：

令x=[x1，x2，x3]T，并設：

并記u2=u，則式（5）可寫為：

由系統的可控性知，g(x)≠0，本文不妨假設g(x)＞0，并作如下假設：

假設1存在常數g0＞0，使得g(x)＞g0＞0。

對圖1所示的機器人系統，如果質心C的準確位置已知，即L以及γ均已知，則此時設計控制律：

其中k＞0。將式（7）代入到式（6）得誤差方程：

顯然跟蹤誤差z必將漸近收斂到零。

但在實際運行時，由于負載的影響，質心C的準確位置無法得知，從而使得L和γ未知，即式（7）中的g(x)未知，因此控制律（7）無法實現，而且式（7）不能實現跟蹤誤差的有限時間收斂。

為了能夠實現本文的控制目的，即在有限時間內使含不確定性的機器人系統實現路徑跟蹤，本文采用基于終端滑模的自適應模糊控制方法。

引理1[19]假設存在連續函數V(t)＞0滿足如下不等式：

則V(t)將在有限時間ts收斂到平衡點，其中

以上α＞0，β＞0，p和q為奇數，且q＜p。

3 基于終端滑模的模糊自適應路徑跟蹤控制器的設計

為了能使跟蹤誤差在有限時間內收斂，設計滑模面為：

其中α＞0，β＞0，p和q皆是正奇數，且q＜p，為表示方便，文中令γ=q/p。

此時將控制律u設計為：

將式（9）代入式（6）得到：

跟據引理1，z將在有限時間內收斂。但由于式（6）中g(x)是未知的，因此控制律（9）無法實現，本文使用模糊邏輯系統的萬能逼近性來逼近非線性函數g(x)，其模糊邏輯系統的模糊規則庫為如下形式：

其中(i=1，2，…，n)和Gl均為模糊集合，隸屬函數分別為(xi)和(y)，且皆為高斯型，M為模糊規則數。x=[x1，x2，…，xn]T∈Rn為模糊系統的輸入向量，y∈R為輸出變量。采用單值模糊產生器、乘積推理規則和中心平均模糊消除器。于是模糊系統的輸出就可以表示成如下形式：

其中θ=[θ1，θ2，…，θM]T為自適應變量向量，θl=為取最大值時所對應的點。ψ(x)=[ψ1(x),ψ2(x),…,ψM(x)]T為模糊基函數向量，其中

由于模糊系統的逼近誤差總是存在的，為對其進行補償，設計控制律如下：

其中魯棒控制uc后面來設計。

將式（12）代入式（6），可得

定義自適應向量最優參數為：

其中集合Ωg為自適應參數θ的容許集，集合Dx為模糊系統的輸入變量的定義域。

其中η＞0，λ＞0，μ＞0，h＞0。

定理對形如式（6）的機器人系統，采用自適應模糊控制律式（12），未知參數自適應律為式（16）～（19），則

（1）閉環系統中的所有信號都有界。

其中w，V′，α′，β′的定義見定理證明。

證明（1）選取李亞普諾夫函數：

對上式求導得：

用z左乘式（14）得

將式（22）代入式（21）得到

將自適應律式（16）代入式（23），又因為 |ω|≤ρ*，所以

將式（15）代入式（24）得

由假設1知g(x)≥g0＞0，則式（25）改寫為：

由于

于是將式（27）代入式（26）得到

再將自適應律式（17）～（19）代入式（28），得到

所以閉環系統中的所有變量z，θg，，，ζ都有界。又由式（11）和式（15）可知等效控制律ueq和魯棒控制律uc都有界，所以u有界。

（2）因為 |ω|≤ρ*，由式（22）得：

式（30）可寫為如下形式：

若選擇適當的α，使得α-w|z|-1＞α0＞0，則對于式（33）有

記α′=2α0，β′=22β，則式（34）可寫為：

4 仿真

以下對本文提出的控制方法進行仿真實驗。控制目的是使機器人在有限時間內跟蹤期望路徑跟蹤誤差，此時

則有

假設運動學模型（3）中，L=0.3，γ=π/6，機器人的初始位姿為 (0.4，0.2，π/8)，線速度u1=1。參數(0)初始值的每個分量在區間[-1，1]內隨機選取，(0)=0.1，(0)=0.1，ζ(0)=0.1，自適應律中的參數選擇為：η=3.8，λ=1.5，μ=0.6，h=0.1。控制律中的參數ε=0.1。

圖2和圖3分別為線性滑模和本文提出的基于快速終端滑模的自適應模糊路徑跟蹤控制作用下機器人對半徑R=1圓形路徑的跟蹤效果，可以看出在本文提出控制律作用下，機器人明顯更加快速地實現路徑跟蹤。

圖2 線性滑模控制律作用下機器人跟蹤路徑

圖3 本文提出的控制律作用下機器人跟蹤路徑

圖4為兩種控制律的作用下機器人路徑跟蹤誤差的比較，在有限時間ts=8.67 s后，跟蹤誤差z已經收斂到一個小鄰域|z|≤1×10-2內，收斂效果明顯優于線性滑模控制，從而驗證了本文提出方法使得機器人跟蹤誤差在有限時間內收斂。

圖4 兩種控制方法下誤差曲線

圖5為本文所設計的控制律u的曲線，可以看出控制信號是有界的。

圖5 控制輸入曲線

5 結論

本文研究了質心位置不確定的移動機器人系統的路徑跟蹤問題，為含有不確定性的機器人系統設計了基于快速終端滑模控制的自適應模糊路徑跟蹤控制方法。文中利用模糊系統逼近機器人系統中的未知函數來設計自適應模糊控制器，設計魯棒控制器來對逼近誤差進行補償。文中基于李亞普諾夫穩定性分析方法為未知參數設計了自適應律，并證明了該方法不但可以保證閉環系統中的所有信號有界，而且可使跟蹤誤差在有限時間內收斂到原點的小鄰域內。仿真結果驗證了本文方法的有效性。

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