如何在課堂教學(xué)中讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想——以“推理能力”的獲得為例

安徽天長(zhǎng)市城南小學(xué)（239300） 盧杰夫

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)思想”是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉、上升的數(shù)學(xué)觀(guān)點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想，它主要是指數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想和數(shù)學(xué)模型的思想。本文主要結(jié)合相關(guān)案例談一談“推理思想”（主要包括演繹推理和歸納推理兩種）在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)使用推理的方法解決數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。

一、“推理思想”在課堂中的運(yùn)用

通過(guò)對(duì)教材的分析，筆者發(fā)現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，使用“推理”方法解決問(wèn)題的案例有很多。

例如，長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的歸納。

在課程標(biāo)準(zhǔn)的理念指導(dǎo)下，大部分教師都能革新觀(guān)念，不再生搬硬套，直接告訴學(xué)生圖形的面積計(jì)算公式，而是讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，通過(guò)舉例歸納或者動(dòng)手“剪一剪”、“移一移”、“拼一拼”的活動(dòng)，來(lái)獲得圖形的面積計(jì)算公式。

活動(dòng)：用12個(gè)面積是1平方厘米的小正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，你能拼出幾種情況？

學(xué)生動(dòng)手拼一拼：

教師將學(xué)生的拼圖情況列在表格里，方便觀(guān)察。

序號(hào) 長(zhǎng)（厘米） 寬（厘米） 面積（平方厘米）1 12 1 12 2 6 2 12 3 4 3 12長(zhǎng)寬長(zhǎng)×寬

顯然，通過(guò)不同的情況來(lái)歸納出長(zhǎng)方形的面積公式，是推理思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運(yùn)用。

又如，平行四邊形面積公式的推導(dǎo)。

活動(dòng)：把平行四邊形剪一刀，變成長(zhǎng)方形。

學(xué)生操作，師提問(wèn)：

1.你是沿著哪條線(xiàn)把平行四邊形剪開(kāi)的？（高）

2.剪開(kāi)后你是怎樣拼成長(zhǎng)方形的？（平移）

（學(xué)生邊回答，教師邊演示，如下圖）

3.平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形后，什么變了，什么沒(méi)變？（形狀變了，面積不變）

4.長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別與平行四邊形的底和高是什么關(guān)系？（長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬就是平行四邊形的高）

5.根據(jù)這些條件，你能推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式嗎？（平行四邊形的面積＝底×高，即S＝ah）

由上面兩個(gè)例子可以看出“，推理思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要作用。因此課程標(biāo)準(zhǔn)在課程總體目標(biāo)的數(shù)學(xué)思考部分做了如下的要求：“經(jīng)歷觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理的能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀(guān)點(diǎn)。”

二、學(xué)生推理能力的培養(yǎng)

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)要求，掌握比較完善的推理能力是兒童智力發(fā)展的重要環(huán)節(jié)和主要標(biāo)志，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注意培養(yǎng)和發(fā)展兒童的推理能力。那么如何幫助小學(xué)生獲得推理能力呢？

1.從學(xué)生熟悉的生活場(chǎng)景中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)“：興趣是最好的教師。”從學(xué)生最熟悉的生活情景入手，讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活的理念，同時(shí)讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是有“用”的。在學(xué)生熟悉的生活場(chǎng)景中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，學(xué)生可以更輕松地吸收和掌握。

例如，習(xí)題：一根旗桿的高度是15（ ）。這題的答案要么是米，要么是厘米。學(xué)生看到這樣的題目，首先想到的是學(xué)校里的旗桿，那是很高的，如果填厘米的話(huà)，那么15厘米還沒(méi)有自己的尺子長(zhǎng)，顯然是太短了，所以旗桿的高度是15米。

又如，習(xí)題：小朋友每天在校時(shí)間大約是6（ ）。答案到底是什么呢？學(xué)生利用自己知道的時(shí)間來(lái)推理：小朋友一節(jié)課的時(shí)間是40分，學(xué)生一天在校時(shí)間肯定比一節(jié)課的時(shí)間長(zhǎng)，因?yàn)橐惶煲?節(jié)課，所以6分和6秒都不行，只能填6時(shí)。

這兩個(gè)例子都是與學(xué)生日常生活密切相關(guān)的，學(xué)生利用自己的知識(shí)進(jìn)行對(duì)比，從而推出正確的結(jié)果，培養(yǎng)了自身的推理能力。

2.把推理能力的培養(yǎng)融合在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中

課程標(biāo)準(zhǔn)把推理能力的培養(yǎng)落實(shí)到“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”“、統(tǒng)計(jì)與概率”“、綜合與實(shí)踐”四個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容當(dāng)中，這四個(gè)領(lǐng)域都為發(fā)展學(xué)生的推理能力提供了很好的素材，改變了過(guò)去認(rèn)為只有在幾何證明時(shí)才能培養(yǎng)學(xué)生的推理能力的現(xiàn)象。

在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，教師給學(xué)生提供足夠的時(shí)間和空間，組織學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等教學(xué)活動(dòng)，并把推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融合在這樣的過(guò)程中。例如：從除法中的“除數(shù)不能為零”推出分?jǐn)?shù)中“分母不能為零”，推出“比”的“比的后項(xiàng)不能為零”；從除法中商不變的性質(zhì)中推出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)；等等。

在“圖像與幾何”這部分內(nèi)容的教學(xué)中，主要通過(guò)“剪一剪”“、拼一拼”“、折一折”等的活動(dòng)感知圖形的性質(zhì)，如在探索圖形的面積的求法時(shí)，總要聯(lián)系或者轉(zhuǎn)化成已知的圖形，然后推出新的圖形的面積的算法，如“平行四邊形”的面積計(jì)算公式。

在“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)中，概率知識(shí)的學(xué)習(xí)可以提高學(xué)生的歸納推理能力。如，在“可能性”相關(guān)知識(shí)的教學(xué)中，讓學(xué)生判斷摸出哪種顏色的球的可能性大，這需要多次的操作和記錄。最后通過(guò)分析記錄的數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行歸納總結(jié)，得出結(jié)論。

在“綜合與實(shí)踐”這部分內(nèi)容中，同樣可以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，如“估計(jì)一本童話(huà)故事書(shū)有多少字”這一實(shí)踐活動(dòng)就需要學(xué)生利用自己已有的知識(shí)，計(jì)算出一頁(yè)的字?jǐn)?shù)，再推算出整本書(shū)的字?jǐn)?shù)。

下面將以“乘法分配律”的教學(xué)為例，談一談如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

1.提出問(wèn)題

師：每件夾克衫65元，每條褲子45元，大家算一算，要買(mǎi)5件夾克衫和5條褲子，一共要付多少元？

2.學(xué)生計(jì)算后匯報(bào)

生1：先分別算出5件夾克衫的錢(qián)和5條褲子的錢(qián)，再將兩個(gè)錢(qián)數(shù)合起來(lái)，算式是“65×5＋45×5”。

生2：先算一套衣服的錢(qián)，再算5套衣服的錢(qián)，算式是“（65＋45）×5”。

3.猜一猜

師：有兩種不同的算法，得到兩個(gè)不同的算式，大家猜一猜，這兩個(gè)算式的結(jié)果會(huì)怎么樣？

生：結(jié)果相等，也就是說(shuō)“（65＋45）×5＝65×5＋45×5”。

4.驗(yàn)證

師：是否相等呢？動(dòng)手算一算。

生1：兩個(gè)算式的結(jié)果都是550，等式是成立的。

師：觀(guān)察等式兩邊數(shù)字的特點(diǎn)，仿照這樣的寫(xiě)法，自己寫(xiě)兩個(gè)算式，并驗(yàn)證，看這樣的等式是否具有普遍適用性。

生2：（10＋2）×5＝60，10×5＋2×5＝60，（10＋2）×5＝10×5＋2×5。

生3：（4＋2）×25＝150，4×25＋2×25＝150，（4＋2）×25＝4×25＋2×25。

……

5.歸納，概括

根據(jù)學(xué)生對(duì)不同例子的驗(yàn)證，可以概括出“乘法分配律”的一般性表述：兩個(gè)數(shù)的和與第三個(gè)數(shù)相乘，等于這兩個(gè)加數(shù)分別與第三個(gè)數(shù)相乘后的和。用字母表示就是“（a＋b）×c＝a×c＋b×c”。

在學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)，教師沒(méi)有直接給出結(jié)論，而是通過(guò)學(xué)生的“猜測(cè)——驗(yàn)證——?dú)w納”而得，體現(xiàn)了推理的方法在課堂教學(xué)中的具體運(yùn)用，也有助于學(xué)生推理能力的培養(yǎng)。

三、從探索規(guī)律中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

探索規(guī)律是一個(gè)發(fā)現(xiàn)關(guān)系、發(fā)展思維的過(guò)程，在探索規(guī)律的過(guò)程中，學(xué)生需要經(jīng)歷觀(guān)察、猜想、歸納、驗(yàn)證的過(guò)程，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

例如，幾十一乘幾十一的乘法速算規(guī)律。

1.觀(guān)察下面的算式和結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

11×11＝121；21×41＝861；31×41＝1271；51×61＝3111。

2.討論：算式的特點(diǎn)和積的規(guī)律。

十位和十位相乘放在首，個(gè)位和個(gè)位相乘放在尾，十位和十位相加放中間。

3.用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律做下面各題：

21×21；61×81；41×41。

4.利用兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計(jì)算驗(yàn)證結(jié)果是否正確。

這個(gè)例子是在學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生來(lái)探索特殊類(lèi)型乘法算式速算的規(guī)律。首先引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察算式，概括出特征，然后發(fā)現(xiàn)積與乘數(shù)之間的關(guān)系，提出猜想，再通過(guò)舉例，驗(yàn)證猜想，表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。在這個(gè)探索規(guī)律的過(guò)程中無(wú)疑提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。

在整個(gè)義務(wù)教育階段，對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)是內(nèi)容學(xué)習(xí)和目標(biāo)達(dá)成的一條主線(xiàn)，也是一個(gè)逐漸提升的長(zhǎng)期過(guò)程。對(duì)于推理能力的培養(yǎng)，更偏向于一種方法的獲得，而作為一種方法，是不具有普遍適用性的，數(shù)學(xué)的推理思想是全面的，普遍的，因此教師在講授推理方法時(shí)要盡量反映和體現(xiàn)推理思想，讓學(xué)生了解和體會(huì)推理思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。