綜合測(cè)試（滿分100分）

一、選擇題：每小題5分，共25分.

1. 已知等比數(shù)列{an}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差數(shù)列，則{an}的前8項(xiàng)和為（ ）

A. 127 B. 255

C. 511 D. 1023

2. 設(shè)a>0，b>0，若 是3a與3b的等比中項(xiàng)，則 + 的最小值為（ ）

A. 8 B. 4 C. 1 D.

3. 已知A，B分別在射線CM，CN（不含端點(diǎn)C）上運(yùn)動(dòng)，∠MCN= π，在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c. 若a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差為2，則c的值為（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

圖1

4. 若函數(shù)f（x），g（x）滿足 f（x）·g（x）dx=0，則稱(chēng)f（x），g（x）為區(qū)間[-1，1]上的一組正交函數(shù)，給出下列三組函數(shù)：①f（x）=sin ，g（x）=cos ；②f（x）=x+1，g（x）=x-1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中為區(qū)間[-1，1]的正交函數(shù)的組數(shù)是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Ω是一個(gè)平面點(diǎn)集，如果存在非零平面向量a，對(duì)于任意P∈Ω，均有Q∈Ω，使得 = +a，則稱(chēng)a為平面點(diǎn)集Ω的一個(gè)向量周期. 現(xiàn)有以下四個(gè)命題：

①若平面點(diǎn)集Ω存在向量周期a，則ka（k∈Z，k≠0）也是Ω的向量周期；

②若平面點(diǎn)集Ω形成的平面圖形的面積是一個(gè)非零常數(shù)，則Ω不存在向量周期；

③若平面點(diǎn)集Ω={（x，y）x>0，y>0}，則b=（-1，2）為Ω的一個(gè)向量周期；

④若平面點(diǎn)集Ω={（x，y）y=sinx-cosx}，則c= ，0為Ω的一個(gè)向量周期.

其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空題：每小題5分，共15分.

6. 在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，取出n（n≤10，n∈N？鄢）件產(chǎn)品，記ξn表示取出的次品數(shù)，算得如下一組期望值E（ξn）：當(dāng)n=1時(shí)，E（ξ1）=0× +1× = ；當(dāng)n=2時(shí)，E（ξ2）=0× +1× +2× = ；當(dāng)n=3時(shí)，E（ξ3）=0× +1× +2× +3× = ，…，觀察以上結(jié)果，可以推測(cè)：若在含有m件次品的N件產(chǎn)品中，取出n（n≤N，n∈N？鄢）件產(chǎn)品，記ξn表示取出的次品數(shù)，則E（ξn）=__________.

7. 對(duì)于數(shù)列{cn}，如果存在各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列{an}和各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列{bn}，使得cn=an+bn，則稱(chēng)數(shù)列{cn}為“DQ數(shù)列”. 已知數(shù)列{en}是“DQ數(shù)列”，其前5項(xiàng)分別是：3，6，11，20，37，則en=________.

8. 已知命題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)A（-p，0）和C（p，0），頂點(diǎn)B在橢圓 + =1（m>n>0，p= ）上，則 = （其中e為橢圓的離心率）. 試將該命題類(lèi)比到雙曲線中，給出一個(gè)真命題是___________.

三、解答題：每小題15分，共60分.

9. 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)Pn（n，Sn）都在偶函數(shù)f（x）=x2+bx的圖象上.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若bn=2n+an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

10. 已知函數(shù)f（x）=lnx- （m為實(shí)數(shù)），

（1）若m=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若m=0，函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}中，2n+1an+1=g（n+1）an（n∈N？鄢）. 證明：數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列.

11. 如圖2，橢圓E： + =1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，T1， 為橢圓上一點(diǎn)，且TF2垂直于x軸.

圖2

（1）求橢圓E的方程；

（2）給出命題：“已知P是橢圓E上異于A1，A2的一點(diǎn)，直線A1P，A2P分別交直線l：x=t（t為常數(shù)）于不同兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)Q在直線l上. 若直線PQ與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，則Q為線段MN的中點(diǎn).”寫(xiě)出此命題的逆命題，判斷你所寫(xiě)出的命題的真假，并加以證明.

（3）試研究（2）的結(jié)論，根據(jù)你的研究心得，在圖3中作出與該雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)S的直線m，并寫(xiě)出作圖步驟. 注意：所作的直線不能與雙曲線的漸近線平行.

圖3

12. 已知數(shù)列{an}中，a1=1，且點(diǎn)P（an，an+1）（n∈N？鄢）在直線x-y+1=0上.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（2）若函數(shù)f（n）= + + +…+ （n∈N且n≥2），求函數(shù)f（n）的最小值.

（3）設(shè)bn= ，Sn表示數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和，是否存在關(guān)于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+Sn-1=（Sn-1）·g（n）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫(xiě)出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說(shuō)明理由.