三角函數(shù)的性質(zhì)

本節(jié)知識(shí)在高考中出現(xiàn)的頻率高，題型比較穩(wěn)定，考點(diǎn)核心是把所給函數(shù)式化成Asin（ωx+φ）的形式，解答關(guān)于其圖象與性質(zhì)的問(wèn)題. 形如Asin（ωx+φ）的函數(shù)性質(zhì)為高考必考內(nèi)容，可在選擇題、填空題中直接考查其周期性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、最值，解答題常與平面向量解三角形相結(jié)合，難度為中低檔.

理解正弦、余弦函數(shù)在區(qū)間（0，2π）的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值以及與軸的交點(diǎn)等），理解正切函數(shù)在區(qū)間- ， 的單調(diào)性；了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象的影響；會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.

利用三角公式把三角函數(shù)變?yōu)椤耙唤且幻淮巍毙问?，再結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象與性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，比如：求單調(diào)區(qū)間就要記住標(biāo)準(zhǔn)三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來(lái)解不等式最為快捷，求值域或最值就是利用標(biāo)準(zhǔn)三角函數(shù)中弦的有界性和切的無(wú)界性來(lái)求解.

例1 如果已知函數(shù)f（x）=3sinωx- （ω>0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸完全相同，且x∈0， ，那么f（x）的取值范圍是_____.

破解思路 由兩個(gè)函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸完全相同，可以得到它們的周期相同，得ω=2，再由x∈0， ，求得f（x）的取值范圍.

答案詳解 由題意知，因?yàn)閤∈0， ，所以2x- ∈- ， ，所以- ≤sin2x- ≤1，即f（x）的取值范圍是- ，3.

例2 函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ< 的一段圖象如圖3所示.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，并求出f（x）的最大值及取到最大值時(shí)x的集合.

破解思路 第（1）小題，已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易由圖得出；令X=ωx+φ，現(xiàn)利用已知圖象中的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，運(yùn)用待定系數(shù)法求ω和φ，也可由圖象間接得出周期，再由ω= 即可求出ω；確定φ時(shí)，將最低點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可.

答案詳解 （1）法一：令X=ωx+φ，由圖可得 ω+φ=0，4πω+φ= π？圯ω= ，φ=- π，所以f（x）=3sin x- .

法二：由圖知A=3， T=4π- = π，所以T=5π，所以ω= ，所以f（x）=3sin x+φ. 因f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（4π，-3），故-3=3sin +φ，所以 +φ=2kπ- ，k∈Z，所以φ=2kπ- ，k∈Z. 因?yàn)棣?lt; ，所以φ=- ，所以f（x）=3sin x- .？搖

（2）由2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ ，k∈Z，解得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為5kπ+ ，5kπ+4π，k∈Z；函數(shù)f（x）的最大值為3，取到最大值時(shí)x的集合為xx=5kπ+ ，k∈Z.

1. 若已知函數(shù)y=sinx+f（x）在- ， 內(nèi)單調(diào)遞增，則f（x）可以是（ ）

A. 1 B. cosx

C. sinx D. -cosx

2. 將函數(shù)y=sinx- cosx的圖象沿x軸向右平移a個(gè)單位（a>0），所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則a的最小值是（ ）

A. B.

C. D.

3. 定義在區(qū)間- ，π上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x∈- π， 時(shí)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，0<φ<π）的圖象如圖4所示.

（1）求函數(shù)y=f（x）在- π，π的表達(dá)式.

（2）求方程f（x）= 的解.

（3）是否存在常數(shù)m的值，使得f（x）-m<2在x∈- π，π上恒成立；若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.