圓錐曲線中的探索性問題

存在性問題與證明問題是近幾年高考試題對解析幾何考查的一種熱點題型，以判斷滿足條件的點、直線、參數(shù)是否存在，證明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. 數(shù)量關(guān)系（等量或不等量）為主要呈現(xiàn)方式，多以解答題的形式考查.

（1）圓錐曲線中的取值范圍問題.

（2）圓錐曲線中的定點、定值問題.

（3）圓錐曲線中的存在性問題和有關(guān)證明題.

解決解析幾何中的探索性問題，主要是根據(jù)題目所給的條件，結(jié)合相關(guān)的圖形進行分析、化簡. 探索性問題對思維能力和計算能力的要求較高，平時應(yīng)多注重這兩方面能力的訓練.

例1 如圖6，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都是e. 直線l⊥MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D.

圖6

（1）設(shè)e= ，求BC與AD的比值；

（2）當e變化時，是否存在直線l，使得BO∥AN？說明理由.

破解思路 解決解析幾何中的存在性問題的一般步驟為：第一步，假設(shè)結(jié)論成立；第二步，以存在為條件，進行推理求解；第三步，明確、規(guī)范結(jié)論，若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗證成立即肯定假設(shè)；若推出矛盾，即否定假設(shè)；第四步，回顧、檢驗本題，若忽略了Δ>0這一隱含條件，結(jié)果會造成兩解.

答案詳解 （1）因為C1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè)C1： + =1，C2： + =1（a>b>0）. 設(shè)直線l：x=t（t

（2）當t=0時，l不符合題意；當t≠0時，BO∥AN，當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即 = ，解得t=- =- ·a. 因為t

所以當0

例2 在平面直角坐標系xOy中，橢圓E： + =1（a>b>0）的右準線為直線l，動直線y=kx+m（k<0，m>0）交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為M，射線OM分別交橢圓及直線l于P，Q兩點，如圖7. 若A，B兩點分別是橢圓E的右頂點、上頂點時，點Q的縱坐標為 （其中e為橢圓的離心率），且OQ= OM.

圖7

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）如果OP是OM，OQ的等比中項，那么 是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請說明理由.

破解思路 求解定值問題的“三個”步驟：①由特例得出一個值，此值一般就是定值；②證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值.

答案詳解 （1）當A，B兩點分別是橢圓E的右頂點和上頂點時，則A（a，0），B（0，b），M ， .

因為Q ， ，所以由O，M，Q三點共線，得 = ，化簡，得b=1. 因為OQ= OM，所以 = ，化簡，得2a= c. 由a2=b2+c2，b=1，2a= c，解得a2=5，c2=4.所以橢圓E的標準方程為 +y2=1.

（2）把y=kx+m（k<0，m>0），代入 +y2=1，得（5k2+1）x2+10mkx+5m2-5=0. 當？駐>0，即5k2-m2+1>0時，xM= - ，yM= ，從而可得點M- ， .

所以直線OM的方程是y=- x. 由y=- x， +y2=1，得x2P= . 因為OP是OM，OQ的等比中項，所以O(shè)P2=OM·OQ，從而x2P=xMxQ=- . 由 =- ，得m=-2k，從而 =-2，滿足？駐>0. 所以 為常數(shù)-2.

1. 如圖8，已知橢圓C： + =1（a>b>0）經(jīng)過點（0， ），離心率為 ，經(jīng)過橢圓C的右焦點F的直線l交橢圓于A，B兩點，點A，F(xiàn)，B在直線x=4上的射影依次為D，K，E.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l交y軸于點M，且 =λ ， =μ ，當直線l的傾斜角變化時，探究λ+μ是否為定值. 若是，求出λ+μ的值；若不是，說明理由.

（3）連結(jié)AE，BD，試探索當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于一定點. 若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由.

圖8

2. 如圖9，已知橢圓C1： + =1，拋物線C2：y2=4x，過橢圓C1右頂點的直線l交拋物線C2于A，B兩點，射線OA，OB分別交橢圓于D，E兩點，點O為原點.

圖9

（1）求證：點O在以DE為直徑的圓的內(nèi)部；

（2）記△ODE，△OAB的面積分別為S1，S2，問是否存在直線l，使S2=3S1，若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.