綜合測試（滿分100分）（三）

一、選擇題：每小題5分，共25分.

1. 已知兩定點A（-2，0），B（1，0），如果動點P滿足PA=2PB，那么點P的軌跡所圍成的圖形的面積等于（ ）

A. π B. 4π C. 8π D. 9π

2. 已知在平面直角坐標系中，A（ ，1），點B是以原點O為圓心的單位圓上的動點，則 + 的最大值是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

3. 圓x+ +（y+1）2= 與圓（x-sinθ）2+（y-1）2= （θ為銳角）的位置關系是（ ）

A. 相離 B. 外切

C. 內切 D. 相交

4. 以O為中心，F1，F2為兩個焦點的橢圓上存在一點M，滿足 =2 =2 ，則該橢圓的離心率為（ ）

A. B.

C. D.

5. 已知拋物線C：y2=8x與點M（-2，2），過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若 · =0，則k的值為（ ）

A. B.

C. D. 2

二、填空題：每小題5分，共15分.

6. 若過點A（0，-1）的直線l與曲線x2+（y-3）2=12有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍為________.

7. 在直線y=-2上任取一點Q，過Q作拋物線x2=4y的切線，切點分別為A，B，則直線AB恒過定點_______.

8. 已知A（-2，0），B（0，2），實數k是常數，M，N是圓x2+y2+kx=0上兩個不同點，P是圓x2+y2+kx=0上的動點，如果M，N關于直線x-y-1=0對稱，則△PAB面積的最大值是________.

三、解答題：每小題15分，共60分.

9. 已知橢圓C： + =1（a>b>0）的離心率為 ，F為橢圓的右焦點，M，N兩點在橢圓C上，且 =λ （λ>0），定點A（-4，0）.

（1）求證：當λ=1時， ⊥ ；

（2）若當λ=1時，有 · = ，求橢圓C的方程.

10. 如圖10，在平面直角坐標系xOy中，已知F1（-4，0），F2（4，0），A（0，8），直線y=t（0

圖10

（1）當t=3時，求以F1，F2為焦點，且過PQ中點的橢圓的標準方程；

（2）過點Q作直線QR∥AF1交F1F2于點R，記△PRF1的外接圓為圓C. 求證：圓心C在定直線7x+4y+8=0上.

11. 如圖11，橢圓C1： + =1（a>b>0）的離心率為 ，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于C1的短軸長. C2與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C2相交于點A，B，直線MA，MB分別與C1相交于點D，E.

（1）求C1，C2的方程；

（2）求證：MA⊥MB；

（3）記△MAB，△MDE的面積分別為S1，S2，若 =λ，求λ的取值范圍.

圖11

12. 已知橢圓C： + =1（a>b>0）的離心率為 ，其左、右焦點分別是F1，F2，過點F1的直線l交橢圓C于E，G兩點，且△EGF2的周長為4 .

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B，設P為橢圓上一點，且滿足 + =t （O為坐標原點），當 - < 時，求實數t的取值范圍.