五連桿機器手臂攔截問題的最優化控制策略

湛志勇， 李學文

（1.東莞市清溪科技創新服務有限公司，廣東 東莞 523000；2.東莞市三潤田自動化設備有限公司，廣東 東莞 523640）

0 引言

機器手臂軌跡的最優化控制一直以來是研究的重要方向，同時也是工業應用中研究的重要課題，為有效地應對機器手臂的重復性任務，以及能源緊張的情況，提高能耗利用效率，降低機器手臂運動能耗是目前十分重要的問題，有著非常大的現實意義。本文涉及到的DCNLP法，是將最優控制問題轉化為非線性規劃問題進行求解，建立起能耗方程，以獲得機器手臂完成所規定任務的最小能耗，經仿真結果分析發現，采用DCNLP法進行求解，具有良好的魯棒性與適應性。

1 五連桿機器手臂及機器人動力學研究方法

如今，機器手臂已經大量應用于工廠的生產線，隨著我國逐漸進入老齡化，使用機器手臂來對老人進行照顧或者輔助患者進行復健也已成為了新的研究方向與發展趨勢，如上肢康復機器人等。上肢康復機器人包括了最基本的、最重要的5個自由度，即肩部、肘部、腕部的屈與伸，肩部的外展與內收，以及腕部的旋內與旋外。機器手臂模擬人體上肢的運動，安裝在高度可調的支架上，以適應不同患者的康復訓練要求，完成患者的坐姿與站姿的訓練，同時，由于機器手臂的上臂、前壁與位姿能夠進行調節，因此能夠實現左右的穿戴，滿足患者的一定需求。在機器手臂的研究領域中，其動力學研究方法有多種，包括拉格朗日方程法、牛頓-歐拉方程法、凱恩方程法等。

拉格朗日方程：在系統的動力學方程建立中，因為多剛體系統較為復雜，因此采用系統的、獨立的拉格朗日坐標也就十分困難，而采用笛卡爾廣義坐標方便簡單。對于具有多余坐標的完整或非完整約束相同，可采用帶乘子的拉氏方程來進行規范處理。牛頓-歐拉方程：剛體在空間中的運動通常可分解為隨其上某點的平動和繞該點的轉動，所以可分別地采用牛頓定律和歐拉方程進行處理。但是通過牛頓-歐拉方法導出的動力學方程包含了大量的、不需要的未知約束反力，所以在牛頓-歐拉方法的運用中需要對約束反力進行重點消除。由于該方法需要消去內力，因此推導起來較為麻煩。凱恩方程法：該方法提供了分析復雜機械系統動力學性能的統一方法，不用動力學函數，也無需求導計算，只需要對矢量點積、叉積進行計算即可。但是該方法并沒有給出一個具有通用性的適合于任意多剛體系統的動力學方程，而在廣義速度的選擇上也需要經驗和技巧。三種方法中，前兩者為主要的動力學建模方式。

2 機器手臂軌跡最優化相關研究

隨著科技的發展，在現階段機械手臂在工業界已經獲得了較為廣泛的應用，而其手臂軌跡的最優化一直以來都是重要的研究對象。機器手臂的最優化軌跡即是要實現機器手臂的運動耗時最短、能耗最少。先前學者的有關研究中較多的通過不同的算法來實現對時間的最優化，如李東潔等提出了一種基于遺傳算法的軌跡優化控制方法，對時間進行最優化，而羅熊等則提出混合進化計算模擬退火求解算法來實現對時間的最優化。當然也有學者針對能耗最優化的研究，如朱心科等就基于兩步鏈式L-K算法針對水下機器人進行了延長其水下工作時間的研究，而徐海黎等則對工業機器人提出基因環境雙演化免疫克隆算法，進行了能耗的優化。黨培等提出了一種基于梯形升降速法對機器手臂運動軌跡進行了優化。潘秀強等則提出直接配置非線性規劃方法（DCNLP）對機器人手臂運動軌跡進行能耗的最優化。其中，DCNLP法將能耗的最優問題轉換成為了非線性的規劃問題來求解，進而實現機器手臂在完成既定工作下，能耗最小。

直接配置非線性規劃方法（Direct Collocation with Nonlinear Programming，DCNLP），可將所需的各個關節的驅動器輸出轉矩進行計算，確定出最優化的指標為“最低能耗”，并獲得各個關節相應的位移與角速度。在G-H公約所描述的及其手臂幾何結構下，可應用Mathematica軟件符號語言來推導出機器手臂的動力學方程EOM，并采用Euler必要條件為最優化的理論基礎將最優化過程中的兩點邊值問題（TPBVP），轉化成一般的線性規劃問題，并進行數學求解。DCNLP法針對五連桿機器手臂在醫療看護中的基本動作“攔截”與“對接”進行了最優化研究。

3 基于DCNLP法在五連桿機器手臂攔截問題的最優化控制

3.1 五連桿機器手臂的建模

五連桿機器手臂包括5個關節，關節2、關節4負責上下轉動，關節3和關節5負責左右轉動，設機器手臂的關節轉動角度為θ1（t）、θ2（t）、θ3（t）、θ4（t）、θ5（t），然后根據DH公約建立起五連桿機器手臂模型。

3.2 動力學方程

引入Euler-Lagrange（拉格朗日-歐拉）公式來對機器的系統運動學與控制輸入間的關系進行描述。求出5個關節驅動器產生力矩的矢量和τ→，由于機器手臂連桿為細長的剛性連桿，因此求得其轉動慣量矩陣Ji。為了解決拉格朗日方程推導的困難，采用符號編程方法來解決，求得 τ（t）、θ¨（t）。

3.3 最優化控制與直接配置

求出θ¨后，采用DC直接配置來對TPBVP兩點邊值問題進行解決，并利用最優控制方法實現機器手臂運動的能耗最小化控制。

第二步，進行直接配置非線性規劃。DCNLP法將傳統的TPBVP問題轉化為一般的非線性規劃問題，求出x˙（t），λ˙兩者的解也就能夠找到最優的解決方案。但是，xi（t）、xj（tf）和λk（tf）在最初與最后時刻的端點值缺乏，也就造成了x˙（t），λ˙差分方程迭代過程變得較為復雜。DCNLP 法將連續的TPBVP問題分隔為n段，因此也就將時間節點劃分為了n+1個，節點上的值則設為Xi，采用Hermit插值方式對兩節點間進行三次多項式的定義，該三次多項式既包含了Xi值，同時也包含了Xi+1的值。通過DCNLP計算出兩節點間的中心點斜率X′c，進而與fc逼近系統方程實現最終的吻合。經多次迭代后，插值斜率與其中心點系統差分方程相一致。θ¨（t）中包含了10個狀態差分方程，根據時間歷程將其劃分為512份，并由此獲得限制方程△5120個，期望收斂為0。

第三步，進行能耗方程的設計。根據機器手臂動作，以達到最小能耗為重點設計能耗方程J。

4 仿真與分析

設機器手臂初始狀態的轉動角度與角速度分別為0，設定機器手臂取自由落體的球，球的初始狀態為0，經求解，機器手臂成功地接到了目標球，時間為0.8512，能耗為15.9329。對機器手臂接球軌跡進行Matlab仿真，則該軌跡也就是能耗得到最優控制的接球軌跡。

5 結語

DCNLP法將TPBVP問題成功地轉化為非線性規劃問題，使得機器手臂能耗最優化問題，通過性能指標和邊值問題的構建，能耗方程的設計獲得了最優化的解。通過仿真結果也證實，DCNLP法能夠為機器手臂運動控制提供高質量的解。

［1］ 潘修強，梅成才，陳軍杰.五連桿機器手臂攔截問題的最優化控制研究［J］.系統仿真學報，2012（9）：1772-1776.

［2］ 梅成才，潘修強，陳軍杰.應用DCNLP法求解五連桿機器手臂對接問題［J］.小型微型計算機系統，2012（12）：2749-2752.

［3］ 潘修強，梅成才，陳軍杰.基于DCNLP的機器手臂最優化控制及拉格朗日因子研究［J］.計算機應用與軟件，2013（5）：140-144.

［4］ 朱雪楓.五自由度上肢康復機器人數學建模與仿真［D］.沈陽：東北大學，2011：36.