卵形齒輪的計算機輔助設計研究

□ 史 諾 □ 劉 瓊 □ 馮東旭 □ 陶興旺

1.楊凌職業技術學院機電工程分院 陜西楊凌 712100 2.楊凌職業技術學院信息工程分院 陜西楊凌 712100 3.陜西科技大學 食品與生物工程學院 西安 710021

非圓齒輪機構是用來傳遞非勻速比運動的，將其應用于各類機械中，可以獲得減輕沖擊與振動、提高生產效率、減小工位誤差等良好效果，但是非圓齒輪設計復雜、制造困難，直到近年來隨著CAD/CAM技術的迅速發展，非圓齒輪才進入了實用化時期。在目前的技術條件下，進行精確建模是非圓齒輪制造中最關鍵的一步。陳兆榮[1]利用UG平臺，以一實例闡述了卵形齒輪的三維模型創建過程；苑鵬[2]采用CAXA軟件，實現了卵形齒輪的三維造型。這些研究都是針對特定數據進行的，當數據改變時，又得重復整個設計流程。為了實現變異設計與系列化設計，筆者選取卵形齒輪這一常見非圓齒輪為研究對象，利用Pro/E軟件進行參數化建模，并將模型導入ADAMS軟件中，進行嚙合狀態與運動狀態的分析，對模型的正確性進行驗證。

1 卵形齒輪的設計計算

卵形齒輪傳動是一對完全相同的節曲線繞各自的中心作純滾動，如圖1所示。

卵形齒輪的節曲線方程為：

傳動比函數為：

卵形齒輪節曲線周長為：

式中：e為偏心率；a為長軸半徑；φ為轉角。

輪齒在節曲線上均勻分布，故模數m、齒數z與節曲線周長必須滿足關系式：

一般情況下，首先根據實際工況確定卵形齒輪的傳動比曲線方程，根據方程可得到節曲線的偏心率e，為了使卵形齒輪不出現凹形，偏心率的取值范圍為e≤1/3[3]。然后根據設計需求選取齒輪的模數m和齒數z，模數m應根據機構尺寸和強度條件，參照相似的圓柱齒輪模數選取，齒數z一般為4x+2，x為任意整數，這樣才能夠保證長軸兩端的輪齒與短軸兩端的齒槽嚙合。偏心率e、模數m、齒數z確定之后，可代入式（3）中解出節曲線的長軸半徑a，從而確定了卵形齒輪的主要特征。

2 卵形齒輪模型的建立

2.1 驅動參數的設置

▲圖1 卵形齒輪傳動示意圖

除了上述偏心率e、模數m、齒數z、長軸半徑a 4個參數之外，每個輪齒還需要確定齒頂高因子ha、頂隙因子c、壓力角α，為了滿足卵形齒輪具有互換性，在制造過程中一般采取標準插齒刀或滾刀切制輪坯，所以齒頂高因子ha為1、頂隙因子c為0.25、壓力角α為20°，利用這7個參數來驅動并實現卵形齒輪的各個幾何特征。

2.2 齒廓的確定

2.2.1 齒廓的設計方法

卵形齒輪節曲線各點處的曲率半徑不同，因此每個輪齒的齒形各不相同，單就一個齒形而言，左齒廓與右齒廓也不相同，因此采用解析方程計算齒廓的工作量很大，在工程中不易推廣。為了避免繁瑣復雜的計算，采用齒形折算法是求出卵形齒輪齒廓的有效方法，雖然應用此種方法得出的齒廓曲線沒有解析法精確，但其精度足以滿足絕大部分實際工況的使用需求。齒形折算法的原理如圖2所示，若a點是卵形齒輪某輪齒在節曲線上的中點，該點的曲率半徑為 Ra，則該輪齒近似為分度圓與卵形齒輪節曲線相切于a點、半徑為Ra的圓柱齒輪的輪齒，同理，對于b點，該輪齒近似為分度圓半徑為Rb的圓柱齒輪的輪齒[4]。

▲圖2 齒形折算法原理示意圖

2.2.2 齒廓曲線的生成

一個完整的齒形包括6條曲線，即齒頂曲線、齒根曲線、左右兩條齒廓線以及兩條齒根過渡曲線。首先需要確定的是節曲線，因為齒頂曲線和齒根曲線只需要將節曲線在法向上向上偏移一個齒頂高、向下偏移一個齒根高就可實現，通過Pro/E軟件中的“來自方程的曲線”功能，輸入方程就可得到精確的節曲線。對于齒頂高因子ha為1的齒輪，齒根過渡曲線的半徑為0.38m，只需要在齒根圓及左右齒廓線之間進行倒角就能方便地得出。生成齒形的關鍵及難點是確定左右兩條齒廓線。

齒廓線需要以輪齒在節曲線上的中心作為參照進行定位，各輪齒的左右齒廓線將節曲線分為4z等份，所以可通過定義比率的方式確定中心。例如圖3所示PNT1點，以節曲線為對象，定義比例為1.5/z就可得到，這個點是第一個輪齒在節曲線的中心。PNT1點所對應的曲率半徑可以通過卵形齒輪的節曲線方程推出，其值為：

應用齒形折算法時，這個值可直接通過作圖法得出，首先以PNT1點及節曲線為參照，創建穿過PNT1點且位于節曲線法向的基準面DTM1，然后以FRONT面與TOP面為參照，創建同時穿過兩參照對象的基準軸 A-1，DTM1與 A-1相交于 PNT2點，PNT2點即為PNT1點所對應的曲率中心，兩點之間的距離R1即為曲率半徑，同時是此輪齒所對應的圓柱齒輪的分度圓半徑。

得出圓柱齒輪的分度圓半徑后，再利用漸開線方程生成曲線，但此曲線并不是右齒廓曲線，必須繞PNT2點旋轉，旋轉角度由漸開線的性質推導出，其值為[5]：

右齒廓曲線形成后，以DTM1面作為參照進行鏡像，可得到左齒廓曲線。所有曲線繪制完后的效果如圖4所示，刪去多余線段后可得到第一個輪齒的完整齒形。其余各齒的齒形可按上述步驟逐一繪制，由于卵形齒輪完全對稱，所以繪制完成四分之一的輪齒齒形之后，進行兩次鏡像操作即可得到完整的卵形齒輪的輪廓。輪廓經過拉伸操作，就可得到卵形齒輪的實體模型。

2.3 齒輪實體的生成

打開菜單欄中的工具-參數對話框，如圖5所示，對各參數的數值進行修改，修改完畢后進行再生就可得到所需的卵形齒輪模型。例如，輸入e=0.2 mm、m=3 mm、z=18、a=26.486 16 mm，得到的卵形齒輪模型如圖6 （a） 所示； 輸入 e=0.3 mm、m=3 mm、z=22、a=31.662 582 mm，得到的卵形齒輪模型如圖6（b）所示。

▲圖3 齒廓曲線的生成

▲圖5 參數對話框

3 實例驗證

卵形齒輪的模型是否正確，可通過測試卵形齒輪副在運動中的嚙合狀態和所反應出的運動特性來進行驗證。以圖6（a）所示的卵形齒輪為例，在Pro/E中進行卵形齒輪副的裝配，導入ADAMS中進行運動學分析。首先通過定義材料屬性賦予模型質量，然后定義主動齒輪及從動齒輪與大地之間的連接為旋轉副，用于約束齒輪與大地之間的3個平動自由度和2個旋轉自由度，由于ADAMS中齒輪副只具有定傳動比，所以對于卵形齒輪的仿真不能采用，只有通過定義兩齒輪之間的接觸力才能保證嚙合傳動。最后在主動輪上施加30 r/s的驅動，運動仿真的模型如圖7所示。

設置仿真時間為0.2 s，運算步數為1 000步，在仿真過程中，可清楚地觀察到輪齒逐一嚙合，符合共軛齒輪嚙合定律。求解結束之后，查看仿真結果，主動輪與從動輪的角速度如圖8所示。主動輪的角速度保持恒定，從動輪的角速度呈明顯的周期性變化，但角速度曲線有一定的波動，這主要是由于接觸力造成在傳動過程中的振動以及卵形齒輪的變速特性形成的振動脈沖兩個因素共同作用下形成的[6-7]。從動輪的角速度曲線通過擬合可以得到和理論計算完全一致的角速度曲線，證明了建立的卵形齒輪模型是正確的。

4 結束語

（1）利用Pro/E軟件平臺進行了卵形齒輪的參數化建模，同時利用ADAMS軟件進行了運動仿真，對模型的正確性進行了實例驗證，仿真結果較好地反應了齒輪的運動特性，證明了參數化建模方法是正確的。

（2）筆者采用的方法對于節曲線為橢圓、對數螺旋線、阿基米德螺旋線等形式的非圓齒輪同樣適用，從而為各類非圓齒輪機構的合理設計提供了解決的方法。

[1]陳兆榮.基于UG平臺的卵形齒輪的三維建模與運動仿真[J].現代機械，2012（5） ：53-55.

[2]苑鵬，黃志東.卵形齒輪計算機輔助設計與三維造型研究[J].遼寧科技學院學報，2012，14（1）：42-44.

[3]吳旭堂，王貴海.非圓齒輪及非勻速比傳動[M].北京：機械工業出版社，1997.

[4]朱墨.非圓齒輪參數化設計及自動編程系統開發[D].蘭州：蘭州理工大學，2013.

▲圖6 卵形齒輪三維模型

▲圖7 運動仿真模型

▲圖8 角速度曲線

[5]郭利.基于Pro/E的齒輪漸開線鏡像問題新研究[J].機械工程師，2010（12）：66-67.

[6]張布，趙鳳芹，于文翠，等.新型高速分插機構橢圓齒輪傳動的仿真分析[J].農機化研究，2008（6）：21-23.

[7]楊存.非圓齒輪運動學與動力學研究 [D].蘭州：蘭州理工大學，2014.