幾種小波在3維面形測量中的應用研究

蔡振華，陳文靜，鐘 敏

(四川大學電子信息學院，成都610064)

式中，W(a，b)為該信號的小波變換系數，φa，b=φ((x－b)/a)是母小波經過伸縮因子a和平移因子b得到的子小波序列，φa，b* 是 φa，b的復共軛。F(ω)為f(x)的傅里葉變換，ψ(aω)是小波函數 a－1φ(x/a)的傅里葉變換，ω表示空域x傅里葉變換后對應頻域中

引 言

基于三角測量原理的結構光投影光學3維輪廓測量方法包含兩大類:變換域分析方法和相移測量［1-4］方法。常用的變換域分析方法有傅里葉變換輪廓術［5］、窗口傅里葉變換輪廓術［6］、小波變換輪廓術［7-13］等。在這些測量方法中，變形條紋圖通常是待分析物理量的信息載體，具有非平穩性特點。小波變換在處理非平穩信號方面具有先天優勢，可以通過調整小波函數的尺度因子、旋轉因子等參量，以不同的分辨率來分析信號，被稱為信號分析的數學顯微鏡。小波變換被引入到結構光投影的光學3維測量領域，形成小波變換輪廓術。小波變換輪廓術采用“脊”［8-9］分析技術，利用調整尺度因子和旋轉因子后獲得一組小波變換系數，通過尋找每個位置小波變換系數的最大值來求出對應位置處條紋的相位信息，從而重建物體的3維面形。

小波變換輪廓術近年來得到深入研究，實小波和復小波均可以用來解調條紋相位。為了方便截斷相位的展開，也研究了新的子小波定義［12］，使小波“脊”處的小波變換系數模值包含了條紋圖的調制度信息，以指導相位的展開，減小相位展開過程中的誤差傳遞。目前對小波變換輪廓術的研究主要從空域的相關運算展開，對各常用的小波的頻譜分布特點對條紋處理帶來的影響的討論并未深入開展。作者從小波變換系數計算式的頻譜表示形式出發，分析了幾種局部特定好的小波函數的頻譜特點，包含:1維Mexican hat和2維Mexican hat實小波，1維 Morlet和2維Morlet復小波以及由2維Morlet小波組合形成的Fan小波。通過比較以上幾種小波函數的頻譜分布，討論條紋受到非線性和噪聲影響時，分別采用以上小波函數用于小波變換輪廓術的相位計算精度的影響，也對比它們對具有不同形變特征的條紋圖的相位解調精度。研究工作為基于小波變換輪廓術的應用提供了理論參考。

1 基本原理

1.1 光學3維面形測量基本原理

小波變換輪廓術的系統結構光路如圖1所示。投影裝置投射正弦結構光場到被測物體h(x，y)上，投影的光柵像受到物體表面高度的調制，成像裝置從另一方向上采集的攜帶被測物體高度信息的變形條紋圖表示為:

式中，f0為光柵頻率，a(x，y)表示背景光強，b(x，y)是條紋對比度，φ(x，y)是變形條紋中攜帶的與被測物體有關的相位分布，設φ0(x，y)表示參考面(h(x，y)=0)對應的相位分布，Δφ(x，y)=φ(x，y)－ φ0(x，y)是物體高度分布對應的相位分布。根據測量系統的三角關系，Δφ(x，y)和物體高度分布h(x，y)之間的映射關系表示為:

Fig.1 Optical geometry

1.2 小波變換輪廓術基本原理

1.2.1 1維小波變換定義 采用1維小波變換進行條紋相位計算，需要沿著光柵結構方向，逐一計算每行(列)的對應的正弦信號的小波變換系數，從中求解出相位信息。設條紋圖g(x，y)沿著條紋結構方向的1維函數表示為f(x)，其1維小波變換可以表示為:的頻率?？梢娦〔ㄗ儞Q既可以看作是空域信號與小波函數的相關運算，也可以看作在頻域內坐標縮放小波函數的頻譜對信號頻譜進行濾波后的逆傅里葉變換，即對條紋圖進行相位解調時，小波變換函數起著加權濾波器的作用。

式中，W(a，b)為該信號的小波變換系數，φa，b=φ((x－b)/a)是母小波經過伸縮因子a和平移因子b得到的子小波序列，φa，b*是 φa，b的復共軛。F(ω)為f(x)的傅里葉變換，ψ(aω)是小波函數a－1φ(x/a)的傅里葉變換，ω表示空域x傅里葉變換后對應頻域中

1.2.2 2維小波變換定義 條紋圖g(x，y)的2維小波變換可以表示為W(a，bx，by，θ):

1.2.3 小波變換輪廓術相位獲取 對于1維小波變換輪廓術，小波變換系數的模值A(a，b)和相位φ(a，b)可分別表示為:

式中，Re［］和Im［］分別表示取實部和虛部運算，找出b處小波系數的最大模值(稱為“脊”)對應的尺度因子ar，從ar對應的小波變換系數中可以計算出變形條紋的截斷相位 φ(ar，b)。同理，2-D小波變換系數W(a，bx，by，θ)的模值和相位分別表示為:

每個位置(bx，by)，“脊”處對應的最佳尺度記作ar，最佳旋轉角為θr。從“脊”處可以計算出變形條紋的截斷相位 φ(ar，bx，by，θr)。

小波變換處理過程遍歷整幅變形條紋圖后，可獲得該條紋圖中攜帶的截斷在(－π，π］之間相位信息，扣除參考條紋中計算出的相位分布后，可得到物體高度對應的相位Δφ(x，y)，再經過相位展開可得到連續相位，從而重建被測物體的3維面形。

1維Morlet小波、1維Mexican hat小波、2維 Morlet小波、2維Fan小波、2維Mexican hat小波具有較好的局部特點，可以用于條紋分析中。下面先分析以上幾種小波函數的頻譜特點，再通過計算機模擬和試驗研究條紋非線性和噪聲以及條紋形變特征對采用以上小波函數的小波變換輪廓術的相位計算精度的影響。

2 常用母小波的時頻特點

2.1 復 Morlet小波

1維復Morlet小波的空域和頻域表達式分別為:

式中，ω0確定了函數的中心角頻率。

2維復Morlet小波的時域和頻域的表達式為:

2維復Fan小波的時域和頻域的表達式為:

上面(9)式～(14)式中，x和y為空域變量，r和s為頻域變量。σ確定了母小波的寬度(σ的值是母小波窗口寬度的大小)，為了滿足容許條件，ω0常取2π左右值［13］。θ和θj控制2維小波的旋轉方向，其中θj代表j個不同的角度，Nθ是疊加小波的個數。以上小波的時域和頻域波形如圖2、圖3和圖4所示。圖2a和圖2b是 σ=1，ω0=5.336rad/s時，1 維 Morlet小波空域和頻域波形。

圖 3a和圖 3b 分別為 σ =1，θ=45°，ω0=5.336rad/s時，2維Morlet小波的空域分布的實部和虛部，圖3c是該小波的頻域分布，其頻譜很窄。

Fig.2 1-D Morlet wavelet

Fig.3 2-D Morlet wavelet

Fig.4 Fan wavelet

圖4是由4個不同方向2維Morlet小波組成的Fan小波的時域和頻域圖，其中 ω0=5.336rad/s，θj={0°，30°，60°，90°}。圖 4a 表示該 Fan 小波的實部，圖4b表示其虛部，圖4c所示為σ=1時，Fan小波的頻譜，通過調整Fan小波的寬度，可以構成一個形狀復雜的頻域濾波器。例如取σ=0.7時，Fan小波的頻譜如圖4d所示。

復小波的頻譜分布作為一個寬度可調的加權濾波器，可用其選擇出條紋在每個位置處的最佳局部基頻分量來計算小波系數，從小波變換“脊”系數中可以得到準確相位分布。1維Morlet小波可在條紋載頻方向提取出較為準確的頻率信息;2維Morlet小波可實現在兩個頻率方向上的加權濾波處理，有更強的噪聲抑制能力，但是該小波具有非常窄的頻率結構，當變形條紋頻譜中有效的基頻分布較寬時，會因丟失太多的頻率信息，導致相位的重建效果較差。Fan小波可以構成一個形狀復雜的頻域濾波器，用于基頻分布較寬的條紋相位解調時，可以得到優于2維Morlet小波，但是Fan小波的空域分辨率較低。

2.2 實小波

1維Mexican hat小波的空域和頻域表達式分別為:

2維Mexican hat小波的空域和頻域表達式分別為:

Fig.5 1-D Mexican hat wavelet

式中，x和y為空域變量，ωx，ωy為頻域變量。1維Mexican hat小波的時域和頻域分布如圖5a和圖5b所示。

2維Mexican hat小波時域和頻域分布如圖6所示。

Fig.6 2-D Mexican hat wavelet

實小波的頻譜有正負頻率存在，不能直接用于條紋圖解相位。可在小波變換前，先構造條紋信號的解析函數，再對其進行小波變換。以1維信號為例，解析信號的構成過程如下。

先計算信號的希爾伯特變換:

式中，g(t)為信號，t和τ均表示時間。則構成的解析信號表示為:

由于1/(πt)的傅里葉變換為－isgn(f)，則解析信號的頻譜分布為:

式中，G(f)為g(t)的傅里葉變換。

即解析信號負頻譜為0，正頻譜是原來信號的正頻譜的2倍，解析信號與原信號具有相同的相位信息。實Mexican hat小波的正負頻域區，頻譜的分布不是嚴格對稱的，可以選擇出更多的高頻細節信息，其空域結構也具有較少振蕩，用于小波變換輪廓術中，在物體邊沿處，測量誤差較小，但其對較大的噪聲比較敏感。下面通過計算機模擬和實驗來驗證上述分析。

3 計算機模擬

采用結構光投影方式獲取的條紋通常會受到投影和成像裝置的非線性和系統噪聲的影響。首先模擬條紋非線性和噪聲存在時，基于1維Morlet小波、1維Mexican hat小波、2維Morlet小波、Fan小波以及2維Mexican hat小波的小波變換輪廓術的解相精度。由于不同小波具有不同的頻譜特性，本文中也對比了以上所列小波解調具有不同特點的條紋圖形變的精度。在隨后的模擬過程中，正弦光柵空間周期為16pixel，背景a=0.5，對比度b=0.5，圖像像素尺寸為256pixel×256pixel。

3.1 條紋的非線性對恢復結果的影響

Fig.7 a—the simulated object b—the deformed fringe pattern c—the sections of fringe patterns when γ =1 or γ =2 d—the reconstructed standard deviations processed by five wavelets

模擬物體由MATLAB提供的peaks函數表示，如圖7a所示。受到其調制并取γ=2的變形條紋圖表示為I(x，y)=g(x，y)γ，g(x，y)由(1)式表示，如圖7b 所示。非線性的存在引起條紋偏離正弦分布，圖7c中是γ值分別為1和2時，光柵柵線方向上的條紋局部剖面圖對比。通常實際測量系統中商用投影儀和成像裝置的組合非線性γ值在［1～3］之間。在此變換范圍內，設步距為0.2，討論不同γ取值帶來的測量誤差。采用不同小波函數的小波變換輪廓術的相位恢復標準差，如圖7d所示。Mexican hat小波作為一個非對稱的加權濾波器，可以較好抑制非線性引入的諧波分量對測量的影響，并有效保留物體的細節信息，所以重建結果的誤差相對較小，2維Mexican hat小波的重建效果最好。Fan小波作為一個復雜的頻帶相對較寬的濾波器，非線性引入的諧波分量的存在使得其恢復結果誤差相對較大。2維Morlet對非線性比較敏感，非線性引入的諧波分量增大，誤差增大。此外，具有同一結構的2維小波重建的誤差小于1維小波的重建誤差。

3.2 噪聲對恢復結果的影響

受到噪聲影響的變形條紋可以表示為:gn(x，y)=g(x，y)+n(x，y)，n(x，y)為標準差可調的正態分布隨機噪聲，表示為N×randn(x，y)。設噪聲標準差從0到0.25之間變化，間隔是0.01。圖8a是含有較大噪聲(標準差為0.25)的變形條紋圖。圖8b是1維Morlet小波、2維 Morlet小波、1維 Mexican hat小波、2維Mexican hat小波以及Fan小波恢復結果標準偏差圖。圖8c～圖8g分別是1維 Morlet小波、2維 Morlet小波、Fan小波、1維Mexican hat小波和2維Mexican hat小波在噪聲標準差為0.2時恢復結果。圖8b可見，隨噪聲增大，2維小波對噪聲的敏感度低于1維小波處理。同其它幾個小波相比，1維Mexican hat小波的重建結果對噪聲較為敏感，該小波的頻譜具有非對稱特點，更能較好獲得對應物體細節的信息，重建誤差相對較小。1維小波變換采用對條紋的每一行獨立處理，重建結果在非載頻方向上誤差較大。

3.3 解調不同特征條紋圖的相位精度比較

Fig.8 a—the deformed fringe pattern with noise(N=0.25)b—the standard deviations reconstructed by five wavelets in different noise rates c—the reconstructed phase by 1-D Morlet wavelet d—the reconstructed phase by 2-D Morlet wavelet e—the reconstructed phase by Fan wavelet f—the reconstructed phase by 1-D Mexican hat wavelet g—the reconstructed phase by 2-D Mexican hat wavelet

Fig.9 a—the simulated phase(sinc(x，y)(peaks)b—the deformed fringe pattern corresponding to Fig.9a c—the retrieved phase of the 120th row(from the 90th to 120th columns)by different wavelets d—the simulated phase(hemisphere)e—the deformed fringe pattern corresponding to Fig.9d f—the retrieved phase of the 128th row by different wavelet

(2)對面形簡單但存在頻譜分量豐富的邊沿的物體，采用上述小波重建。以球缺作為模擬相位，如圖9d所示。

圖9e表示受其調制得到的變形條紋，圖9f是不同小波重建的第128行的相位分布，實線是模擬的調制相位。采用Mexican hat小波能恢復出更多的細節信息。表1中給出了這幾種小波恢復不同模擬相位結果的標準差。

Table 1 The reconstructed standard deviation errors of the different objects by different wavelets

4 實驗

1組對比試驗驗證了5種小波函數對變形條紋相位解調能力。被測物體為“奧特曼”面具，CCD拍下參考條紋以及受物體高度調制的變形條紋，裁減像素尺寸為600×600的區域進行處理，裁減后的變形條紋如圖10a所示。分別采用1維Morlet小波、2維Morlet小波、Fan小波、1維 Mexican hat小波、2維 Mexican hat對從中計算出對應物體高度的相位信息，得到的重建的相位分布如圖10b～圖10f所示。被測物體面形比較復雜，條紋對比度較低，對小波函數的空間分辨率的要求較高，1維Morlet小波恢復較好，2維Morlet小波頻譜太窄，丟失了過多的細節信息，模型的嘴巴處形狀被平滑了。Fan小波由于空間分辨率較低，雖然比2維Morlet在嘴巴處恢復的結果更好，但是在模型的頭頂出現了錯誤，由圖10d中得圓圈標記出。1維Mexican恢復出了細節但是存在震蕩。2維Mexican hat恢復結果最好。

Fig.10 Experiment results

5 小結

通過對比1維Morlet小波、1維Mexican hat小波、2維Morlet小波、2維Mexican hat小波以及Fan小波的空域和頻域特性，對它們在解調受到非線性和噪聲影響的變形條紋的相位計算精度展開討論，也對比它們處理具有不同形變特征的條紋圖的相位解調精度。Maxican hat小波由于具有非對稱的頻譜特點，重建面形的細節保留較好，特別是在條紋噪聲較小時，Maxican hat的重建精度比其它小波高，Fan小波的重建結果對噪聲和非線性均不敏感，但是由于該小波的空域分辨率低，重建面形誤差較大。由于物體面形變化引起的條紋頻域頻譜擴展，2維Morlet小波太窄的頻帶，會導致對條紋解相位時，太多細節信息的丟失，不太適合用于小波變換輪廓術中，除非條紋的變形量很小。計算機模擬和試驗證明了作者的分析，研究結果對小波變換輪廓術的應用提供了理論參考。

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