高中數(shù)學(xué)中常見的恒成立問題

岳永波

高中數(shù)學(xué)中有一個(gè)高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，它涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識(shí)，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、最值等思想方法，這就是恒成立問題，也就是在給定條件下某些結(jié)論永遠(yuǎn)成立的命題。恒成立問題涉及的很多題型都與函數(shù)的最值相聯(lián)系，這就要求教師在平時(shí)教學(xué)中要多向?qū)W生滲透函數(shù)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生深入理解知識(shí)之間的相互聯(lián)系和共性，以及數(shù)學(xué)中的通性通法，為綜合利用知識(shí)打下基礎(chǔ)。

一、構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性解決恒成立問題

在解決不等式恒成立問題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用相關(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題。在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題面目更加清晰明了。一般來(lái)說(shuō)，是把已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù)。

例1.對(duì)于滿足0≤m≤3的所有實(shí)數(shù)m，求使不等式x2+mx>3x+2m-2成立的x的取值范圍。

分析：多元不等式問題求解的關(guān)鍵在于確定哪個(gè)量為主元。此問題可看成關(guān)于x的不等式的討論，若將m定為主元，則問題可轉(zhuǎn)化為在[0，3]內(nèi)關(guān)于m的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。

解：不等式變形為x2+（x-1）m-3x+2>0。

設(shè)f（m）=（x-2）m+x2-3x+2，則它是關(guān)于m的一個(gè)一次函數(shù)，是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合題意有

，即

，得 x<-2或x>2。

二、數(shù)形結(jié)合，直觀處理恒成立問題

如果不等式中涉及的函數(shù)和代數(shù)式對(duì)應(yīng)的圖象、圖形較易畫出，可通過(guò)圖象、圖形的位置關(guān)系建立不等式，求得參數(shù)范圍。

例2.已知函數(shù)y=f（x）

，若不等式f（x）≥2x-m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 。

解：在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2x-m 及y=f（x）的圖象，由于不等式f（x）≥2x-m恒成立，所以函數(shù) y=2x-m的圖象應(yīng)總在函數(shù)y=f（x）的圖象下方。因此，當(dāng)x=-2時(shí)，y=-4-m≤0，所以m≥-4，故m的取值范圍是[-4，+∞）。

解決不等式問題經(jīng)常要結(jié)合函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖像的上下位置關(guān)系確定參數(shù)的范圍。利用數(shù)形結(jié)合的方法解決不等式問題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，準(zhǔn)確做出函數(shù)的圖象。例如，不等式 x2-logax<0在x∈（0，）時(shí)恒成立，求a的取值范圍。此不等式為超越不等式，求解時(shí)一般使用數(shù)形結(jié)合法，設(shè)f（x）=x2，g（x）=logax，然后在同一坐標(biāo)系中準(zhǔn)確做出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察圖象便可求解。

三、變量分離型恒成立問題

若在等式和不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于不等號(hào)的兩邊，則該恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解問題，我們將此類恒成立問題稱為變量分離型恒成立問題。

例3.當(dāng)x∈R時(shí)，不等式4a+sin2x<-4sinx=a2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：不等式中含有兩個(gè)變量a和x，其中x∈R，另一個(gè)變量a的范圍為所求，因此可以考慮將a和x分離。

解：原不等式變形為sin2x+4sinx5，解得a>5或a<1。

四、立體幾何中恒成立問題

高中數(shù)學(xué)中立體幾何內(nèi)容涉及到線與線、線與面、面與面的位置關(guān)系，主要是垂直和平行關(guān)系的應(yīng)用，其中也不乏有趣的幾何問題。

例4.如圖示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是棱C1C、C1D1、D1D、DC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿足條件 時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1。

解：連結(jié)FH、HN，則FH∥DD1，HN∥BD，

∴FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1。∴當(dāng)M在線段FH上時(shí)，MN?平面FHN。∴MN∥平面B1BDD1，即點(diǎn)M在線段FH上時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1。

線與面平行，主要是指直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，其中一個(gè)判定方法是：如果一條直線在某個(gè)平面內(nèi)，并且這個(gè)平面與另一個(gè)平面平行，那么這條直線與另一個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)，即平行。例4就是應(yīng)用此判定方法。另外還可以考慮用到直線與平面垂直，那么過(guò)這條直線的所有平面都與這個(gè)平面垂直。

恒成立問題題目涉及知識(shí)面廣，解題方法靈活多樣，技巧性強(qiáng)，難度大，所以要求學(xué)生有較強(qiáng)的思維靈活性和創(chuàng)造性。上述方法是比較常用的，但因?yàn)閱栴}形式千變?nèi)f化，考題亦常考常新，因此在備考的各個(gè)階段都應(yīng)重視恒成立問題的教與學(xué)，提高學(xué)生解決此類問題的能力。

（責(zé)任編輯 趙永玲）