貝葉斯統(tǒng)計中后驗分布的教學研究與探析

王燕飛

（吉林化工學院理學院，吉林 吉林132022）

貝葉斯統(tǒng)計是統(tǒng)計學專業(yè)中唯一一門非經(jīng)典統(tǒng)計學的學科。英國學者貝葉斯的遺作《論有關(guān)機遇問題的求解》，提出了著名的貝葉斯公式和一種歸納推理方法，成為了貝葉斯學派的奠基石。之后，在Jeffreys、Good、Savage、Berger等學者的不斷努力下，把貝葉斯方法在觀點和理論上不斷完善，并在工業(yè)、經(jīng)濟、管理等領(lǐng)域獲得了成功的應(yīng)用[1]。目前，貝葉斯學派已發(fā)展成為一個有影響的統(tǒng)計學派，打破了經(jīng)典統(tǒng)計學一統(tǒng)天下的局面，占據(jù)了統(tǒng)計學的半壁江山。

1 貝葉斯統(tǒng)計的特點和教學難點

貝葉斯統(tǒng)計是在與經(jīng)典統(tǒng)計的爭論中逐漸發(fā)展起來的。其基本思想和觀點是：總體分布中的未知參數(shù)可以看作隨機變量；事件的概率除了用頻率解釋外，還可用個人經(jīng)驗和歷史資料來獲得，即承認主觀概率；在經(jīng)典統(tǒng)計所用的總體信息和樣本信息外，還充分利用了抽樣之前的信息—先驗信息，并可根據(jù)先驗信息獲得先驗分布。而這些觀點在經(jīng)典統(tǒng)計學看來都是不合理的。實際上，人們在生活中都在不知不覺的運用貝葉斯的思想解決問題。比如，醫(yī)生在做手術(shù)之前會根據(jù)病人的病情和自己的經(jīng)驗估計手術(shù)成功的概率；免檢產(chǎn)品的鑒定需要利用該產(chǎn)品以往的不合格品率的歷史資料，若多次在零附近，且每隔一段時間抽查，仍保持該結(jié)果，則認定該產(chǎn)品為免檢產(chǎn)品。這些實例都是在運用了先驗信息后才得到了更好的解決，因此，若能充分利用先驗信息，對于解決很多統(tǒng)計問題，無疑是非常有利且有效的。

然而正是由于貝葉斯統(tǒng)計獨有的思想和方法，學生在習慣于以往所學的經(jīng)典統(tǒng)計的課程思路情況下，接受起來有一定的困難。因此，教師在教授過程中一定要深入淺出，運用實例，易于學生理解。將貝葉斯統(tǒng)計與經(jīng)典統(tǒng)計比較講授相關(guān)內(nèi)容，讓學生從熟悉的知識進入，循序漸進逐步認識貝葉斯方法和理論。

2 比較法引入后驗分布定義，案例加深理解，數(shù)學軟件輔助教學

后驗分布的定義是貝葉斯統(tǒng)計中第一章課程的內(nèi)容，學生剛剛接觸，理解起來有一定的難度。可由經(jīng)典統(tǒng)計中所熟悉的貝葉斯公式引入講解，比較容易接受。另外通過實用案例，激發(fā)學生的學習興趣，并能更好理解定義。

2.1 貝葉斯公式

設(shè)A1，A2，…，An是樣本空間Ω的一個劃分或完備事件組，即滿足：。則對Ω中任一事件B，有：

這就是概率統(tǒng)計中著名的貝葉斯公式，也叫逆概率公式[2]。我們可將事件B看作是試驗結(jié)果，A1，A2，…，An看作是導致結(jié)果B的原因。則該公式表明了結(jié)果B發(fā)生條件下由第i個原因?qū)е碌母怕省＜磮?zhí)果索因[3]。

案例1

已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機挑選一人，檢驗為色盲，若男人和女人各占人數(shù)的一半，問此人是男人的概率。

即抽取此人是色盲時，為男人的概率為0.952。

在貝葉斯公式中，結(jié)果B可認為是已經(jīng)出現(xiàn)的樣本數(shù)據(jù)x，發(fā)生結(jié)果的原因Ai可認為是未知的隨機變量θ的取值。于是將貝葉斯公式推廣可得到后驗分布的離散形式定義。

2.2 后驗分布的離散形式

設(shè)總體x服從分布密度p（x｜θ），其中θ為離散型隨機變量，取值為有限個或可列個。即θ=θi，i=1，2，…。θ的先驗分布為π（θi）=P（θ=θi），i=1，2，…。樣本的觀察值為x=（x1，x2，…，xn），樣本聯(lián)合分布密度為，則θ的后驗分布為：

將離散形式推廣得到連續(xù)形式的后驗分布定義。

2.3 后驗分布的連續(xù)形式

設(shè)總體x服從分布密度p（x｜θ），其中θ為連續(xù)型隨機變量，取值為參數(shù)空間Θ。θ的先驗分布為π（θ）。樣本的觀察值為x=（x1，x2，…，xn），樣本聯(lián)合分布密度為，則θ的后驗分布為：

注：1.分母與未知參數(shù)θ無關(guān)，不含有θ的任何信息，稱為樣本x的邊緣分布。

記作：

2.若總體x為離散型隨機變量，則總體分布密度p（x｜θ）改為分布列P（X=x｜θ），后驗分布的離散形式和連續(xù)形式就不難寫出來了。

先驗分布π（θ）反映了人們在抽樣前對參數(shù)θ的認識，而后驗分布π（θ|x）則是在獲得了樣本后，對參數(shù)θ的認識，是人們利用總體信息、樣本信息（統(tǒng)稱為抽樣信息）對先驗分布π（θ）的認識作調(diào)整的結(jié)果。

案例2

英國統(tǒng)計學家Savage(1961年)考察一個統(tǒng)計實驗：一位常飲牛奶加茶的婦女聲稱，她能辨別先倒進杯子里的是茶還是牛奶。對此作了10次試驗，結(jié)果她都說對了。

若不考慮該婦女的經(jīng)驗，則應(yīng)認為每次她猜對的概率為0.5，則10次猜對的概率為0.510=0.0009766非常小，顯然與實際不符，不合理。因此應(yīng)該充分利用經(jīng)驗，即先驗信息。對該婦女的了解，認為有可能她每次猜對的概率為0.95。設(shè)θ為她每次猜對的概率，則取值為0.95或者0.5。

保守起見，認為π（0.95）＝0.6，π（0.5）＝0.4。x為10次試驗中婦女猜對的次數(shù)，則x服從二項分布b（10，θ）。即x=0，1，…，10，試驗結(jié)果表明x=10。則P（X=10|θ=0.95）=0.9510，P（X=10|θ=0.5）=0.510。故θ的后驗分布為：

3 后驗分布在貝葉斯統(tǒng)計中的地位及作用

后驗分布是基于總體信息、樣本信息和先驗信息三種信息的綜合結(jié)果，是一個非常重要的定義，在整個貝葉斯統(tǒng)計學中起著基石一樣的作用。貝葉斯統(tǒng)計的點估計、區(qū)間估計、假設(shè)檢驗及預測等統(tǒng)計推斷問題都是建立在后驗分布基礎(chǔ)之上進行的。而在后驗分布引入損失函數(shù)之后，便構(gòu)成了貝葉斯決策理論的基本框架。顯然，后驗分布在貝葉斯統(tǒng)計中占有舉足輕重的地位，可以說任何貝葉斯統(tǒng)計問題都離不開后驗分布。因此，在學習該定義之初應(yīng)使學生能夠理解好，并靈活運用定義。在后續(xù)其他貝葉斯理論的講授中應(yīng)逐步加深對該定義的認識和應(yīng)用。

4 結(jié)束語

貝葉斯統(tǒng)計課程是在統(tǒng)計學花海中的一支獨秀。通過對后驗分布定義的教學研究探索，我們可以將其方法推而廣之，運用到貝葉斯統(tǒng)計中的其他理論知識的講授中。在教師教學和學生學習的過程中，貝葉斯方法和思維方式都是與其他統(tǒng)計學科非常不同的。因此，可以在與熟知的經(jīng)典統(tǒng)計學的對照中比較學習，深入淺出，列舉實際案例，易于理解。通過案列的講解還能激發(fā)學生的學習興趣，提高主動思考和解決實際問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力。當學生遇到某個問題時，若能不僅局限于經(jīng)典統(tǒng)計方法，還能考慮到使用貝葉斯方法結(jié)合解決，也就具備了貝葉斯思想，那么該課程的開設(shè)便達到了目的。若能有部分同學有興趣進一步拓寬貝葉斯方法的應(yīng)用領(lǐng)域，深入研究學習，那么我國的貝葉斯統(tǒng)計研究就后繼有人了。

［1］茆詩松,湯銀才.貝葉斯統(tǒng)計[M].北京：中國統(tǒng)計出版社，2012：5-6.

［2］李自勇.基于貝葉斯公式及應(yīng)用數(shù)學的認識與實踐[J].數(shù)學教學研究,2014（3）：63-65.

［3］李春娥,王景艷.貝葉斯公式及其應(yīng)用的教學研究[J].大學數(shù)學,2015：119-121.