三步法工業機器人矢量坐標變換

鄭相周，董旺遠

ZHENG Xiang-zhou1, DONG Wang-yuan2

（1.華中農業大學 工學院，武漢 430072；2.華中農業大學 理學院，武漢 430072）

0 引言

矢量坐標變換是多體系統運動學和動力學分析的基礎[1]。工業機器人是典型的多體系統，矢量坐標變換是工業機器人運動學分析的首要環節[1～3]。

工業機器人具有樹形拓撲結構，幾何特征鮮明。1955年Denavit和Hartenberg提出了工業機器人矢量變換的系統方法[2]（簡稱D-H方法）。

D-H方法使用齊次矩陣刻畫相鄰連桿間的位姿關系。齊次矩陣的4個關節參數由3個結構參數和1個關節變量組成。D-H方法對連桿坐標系的設置和關節參數做了嚴格定義，使得D-H方法具備了系統理論的特點，便于計算機建模[2]。雖然工業機器人關節大多為單自由度，但結構仍比較復雜。在人工進行分析時，D-H中坐標系和關節參數的嚴格定義使得D-H方法難以應用，坐標系、關節參數和關節變量范圍均難以確定，一旦發生錯誤，分析結果將南轅北轍。

為克服D-H使用中的困難，本文提出工業機器人矢量變換三步法，相鄰連桿齊次變換矩陣由方向余弦矩陣和典型的轉動矩陣或移動矩陣構成。這種方法步驟簡單，結構參數和關節變量區分明確，關節變量范圍易于確定，適于單自由度關節的工業機器人運動學建模與分析。

1 典型齊次變換矩陣

剛體任何運動可視作移動和轉動的疊加，剛體位姿由與剛體固連的連體系描述。剛體運動可分解為連體系{I}在參考系{O}中的移動和轉動。在典型情況下，描述連體系方向的齊次變換矩陣具有簡單形式。連體系{I}繞{O}中z軸轉動的齊次矩陣[2]（稱為轉動矩陣）為：

式中 (,)··Rot 的2個參數分別為坐標軸單位矢量和旋轉角度，其中稱為旋轉矩陣。

連體系{I}沿{O}中矢量r移動的齊次矩陣[2]（稱為移動矩陣）為：

其中，E為3×3單位矩陣。

D-H方法將相鄰連桿位姿關系分解為兩個移動和兩個轉動，其變換矩陣是式(1)～式(2)的矩陣組合結果。

2 坐標變換三步法

圖1 三步法坐標變換原理

{i + 10}到{i1}的轉動矩陣使用方向余弦矩陣描述：

上式中，?·?為兩個沿坐標軸的單位矢量的點積。

分析上述3個變換步驟可知，前兩步描述相鄰連桿的結構參數，第3步描述后一個連桿相對前一個連桿的運動。

相鄰連桿坐標變換式(8)中僅有由式(6)，式(7)表示的變換矩陣描述連桿運動，因此，控制連桿運動的關節變量或就與結構參數明顯區分開來。

在工業機器人中，后一個連桿總是相對前一個連桿運動，在設置連體系時，就可以直接將運動前的連體系視作運動后的連體系，這樣對分析結果沒有影響，不僅可簡化連體系設置，還可以將作為運動基準，可以很容易地以此確定關節變量變化范圍。這樣式(5)可進一步使用楔積符號記作：

這樣，使用3步法進行坐標變換，形式上相鄰連桿的坐標系只需要連體系和

3 實例分析

如圖2所示為5自由度機械手的前4個關節設計示意，4個關節均采用轉動副，坐標系設置如圖2所示，其中{0}為機座坐標系，其他為連桿連體系。除右手直角坐標系的z軸取轉動副軸線外，其他坐標軸方向根據結構特點確定，無須遵守其他規定。

以連桿1、2為例說明3步法坐標變換使用：

圖2 機械手坐標系設置

連桿2到1的齊次變換矩陣即為這3個齊次矩陣的乘積。

圖2所示相鄰連桿坐標變換如表1所示。

表1 相鄰連桿坐標變換

表1 （續）

4 結論

本文提出的工業機器人3步法坐標變換方法，使用描述結構參數的移動矩陣、方向余弦矩陣和描述關節運動的旋轉矩陣（轉動副）或移動矩陣（移動副）組合來獲得相鄰連桿間的矢量齊次變換矩陣，概念清晰，相關參數意義明確，避免了使用D-H方法需要嚴格按照定義進行坐標系設置和關節參數確定的弊端，適合單自由度關節的工業機器人運動學人工建模分析。

[1] J. J Craig.Introduction to Robotics(3Ed)[M].London, UK:Prentice Hall,2003.

[2] 鄭相周,唐國元.機械系統虛擬樣機技術[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3] Siciliano,L.Sciavicco, L.Villani, G. Oriolo. Robotics,Modelling, Planning and Control[J].London,UK:Springer-Verlag,2009.