開關壽命連續型三不同型部件溫貯備可修系統可靠性分析

張民悅，姜明明

(蘭州理工大學理學院，蘭州 730050)

引言

溫貯備可修系統模型是可靠性理論中重要研究對象之一，對于實際生產生活也有重要的應用意義。溫貯備是指貯備部件在其貯備期內也會發生故障，且部件的貯備壽命與工作壽命分布一般不同［1］。轉換開關的作用是用貯備部件更換失效的工作部件，故基于實際考慮，開關的不完全可靠性(即開關也可能失效)也會對系統的可靠性有重要影響。文獻［2-8］研究分析了二部件溫貯備系統，文獻［9-11］基于轉換開關不可靠情形，研究了冷貯備系統的可靠性，文獻［12-13］分別基于轉換開關完全可靠、不可靠情形，研究了沒有修理設備的三部件溫貯備不可修系統模型，文獻［14-15］針對是否具有優先權，研究分析了三部件溫貯備可修系統模型的可靠性。依據上述研究，本文基于開關失效則系統失效的轉換開關不完全可靠情形，研究分析了三個不同型部件、一個修理工組成的溫貯備Markov型可修系統的可靠性。

1 模型假設

假定1 系統由三個不同型部件a1，a2，a3組成，a1比a2具有優先權(即優先工作權與優先維修權)，a2比a3具有優先權，開關比部件具有優先維修權。在t=0的初始時刻，三個部件均是完好的，a1工作，a2，a3進行溫貯備。若開關正常，當a1發生故障時，若a2，a3均完好，則a2立即進入工作狀態;若a2也發生故障，a3完好，則a3立即進入工作狀態。當a1完成維修時，a1立即進入工作狀態，a2，a3進入貯備、修理或待修狀態。若開關失效，開關立即進行維修，a1，a2，a3進入貯備或待修狀態。

假定2 部件的工作壽命與其貯備期長短無關，轉換開關的壽命、修理時間和部件的工作壽命、修理時間和貯備壽命的分布分別為

其中，t≥0，λ ＞ 0，μ ＞ 0，λi＞ 0，νi＞ 0，μi＞ 0，i=1，2，3。

假定3 貯備部件替換失效部件是瞬時完成的，且兩個部件(或部件與轉換開關)同時發生故障的概率可以忽略不計，部件與轉換開關均能修復如新。

2 模型分析

2.1 系統狀態分析

令X(t)表示t時刻系統的狀態，則依據模型假設可知，此系統具有16個不同的狀態:

0:a1工作，a2和a3溫貯備，開關正常;

1:a1工作，a2修理，a3溫貯備，開關正常;

2:a1工作，a2溫貯備，a3修理，開關正常;

3:a1工作，a2修理，a3待修，開關正常;

4:a1修理，a2工作，a3溫貯備，開關正常;

5:a1修理，a2工作，a3待修，開關正常;

6:a1修理，a2待修，a3工作，開關正常;

7:a1修理，a2，a3待修，開關正常;

8:a1，a2，a3溫貯備，開關修理;

9:a1待修，a2，a3溫貯備，開關修理;

10:a1，a3溫貯備，a2待修，開關修理;

11:a1，a2溫貯備，a3待修，開關修理;

12:a1，a2待修，a3溫貯備，開關修理;

13:a1，a3待修，a2溫貯備，開關修理;

14:a1溫貯備，a2，a3待修，開關修理;

15:a1，a2，a3待修，開關修理。

顯然，系統狀態空間集 E={0，1，2，…，15}，工作狀態集 W={0，1，2，3，4，5，6}，故障狀態集 F={7，8，···，15}，易知{X(t)，t≥0}是狀態集E上時齊馬爾科夫過程。

2.2 系統狀態轉移率矩陣

在Δt時間里，系統由狀態i轉移到狀態j的概率為

其中，矩陣A的相應分塊矩陣B，C，D，E分別為

3 模型可靠性指標求解

3.1 系統的平穩結果

由齊次線性方程組

解得

其中

從而得出系統的平穩結果:

(1)系統可用度

(2)系統穩態故障頻率

(3)系統平均開工時間

(4)系統平均停工時間

(5)系統平均周期

3.2 系統的可靠度及首次故障前平均時間

令系統的所有故障狀態為馬爾科夫過程的吸收狀態，則可以構成一個新的馬爾科夫過程{?X(t)，t≥0}，即令分塊矩陣D=0，E=0。令Qj(t)=P{?X(t)=j}

(t≥0，j∈ E)，則有

其中

由文獻［1］可知系統可靠度R(t)是從初始時刻起至時刻t過程{X(t)，t≥0}一直處于工作狀態的概率，即時刻t過程{?X(t)，t≥0}尚未進入吸收狀態的概率。則系統可靠度為

其中Qj(t)，j∈W滿足微分方程組

即需解方程組

對上述方程兩邊同時應用Laplace變換得到

解得

從而得出該系統模型R(t)的Laplace變換解析式:

其中

首次故障前平均時間為

其中，

ε'，K'，K'0分別為 ε，K，K0中 s=0 所得。

4 結束語

特別地，若參數λ=0，則文章所討論分析的內容可以視作在開關完全可靠條件下，對三個不同型部件組成的溫貯備可修系統的可靠性進行研究;若λ1=λ2=λ3，υ1= υ2= υ3，μ1= μ2= μ3，則所討論分析的內容可以視作在開關不完全可靠條件下，對三個同型部件所組成的溫貯備可修系統的可靠性進行研究。通過對該系統模型的分析研究，且與以往三部件溫貯備系統的研究成果相比，考慮到實際情況中系統的轉換開關并不完全可靠，它也可能失效，且具有修理工的可修系統可靠性分析模型，其所求得的系統可靠性指標結果應該更滿足實際情況，具有一定的現實意義。

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