雙分數跳-擴散環境下的可轉換債券定價

金宇寰， 薛紅， 馮進鈐

(西安工程大學理學院， 西安710048)

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雙分數跳-擴散環境下的可轉換債券定價

金宇寰， 薛紅， 馮進鈐

(西安工程大學理學院， 西安710048)

可轉換債券是一種兼具債券和期權特性的混合型高級金融衍生產品，其合理定價對發行人和投資者都具有重要的現實意義。在考慮企業市場價值波動和利率波動的基礎上，假定股票價格遵循雙分數Brown運動及跳過程驅動的隨機微分方程，利率滿足Vasicek模型，建立了雙分數跳-擴散環境下的金融市場數學模型，利用雙分數布朗運動的隨機分析理論和保險精算方法，討論了可轉換債券定價問題，得到了雙分數跳-擴散環境下的可轉換債券定價公式，在現有研究的基礎上對可轉換債券定價公式進行了進一步的研究和推廣，使模型更加貼近實際金融市場。

雙分數跳-擴散過程；可轉換債券；保險精算；隨機利率

引言

可轉換債券是一種企業債券和股票期權相結合的混合證券，對其合理定價非常重要。近年來，隨著金融工程、數值算法和信息技術的發展，可轉換債券的定價逐漸成為國內外的熱點研究課題，一系列研究模型與方法相續出現。但目前比較常用的研究方法是基于偏微分方程或鞅方法的定價研究。文獻[1]利用分數布朗運動隨機分析理論與方法，得到可轉換債券的定價公式；文獻[2]假定股票價格服從帶跳的分數布朗運動，利率滿足Vasicek模型，得到可轉換債券的定價公式。雙分數布朗運動是一種比分數布朗運動更為廣泛的高斯過程，它不僅具有自相似性和長期記憶性等分數布朗運動具有的性質，而且在一定限制條件下是一個半鞅。為了刻畫金融資產的長期記憶性以及消除分數布朗運動市場中的金融套利，本文用雙分數布朗運動刻畫金融資產的價格變化，關于雙分數布朗運動的概念和性質可以參見文獻[3-6]。MogenBladt與Tina Hvid Rydberg于1998年首先提出期權定價的保險精算方法，該方法在一定程度上克服了基于無風險套利、復制思想得到的Black-Scholes模型假設嚴格、公式推導較為繁瑣的缺點，關于保險精算的概念及其在期權定價中的應用可參見文獻[7-9]。本文假定股票價格方程服從雙分數Brown運動及跳過程驅動的隨機微分方程，利率滿足Vasicek模型，建立金融市場數學模型，結合保險精算方法，得到可轉換債券定價公式。

1 雙分數跳-擴散環境下金融市場模型

其中，H∈(0,1),K∈(0,2)。

當K=1時，雙分數布朗運動就退化為分數布朗運動，當K=1,H=1/2時，雙分數布朗運動就退化為標準布朗運動。

假定股票價格S(t)和利率r(t)分別滿足隨機微分方程

(1)

(2)

引理1隨機微分方程(1)的解為：

則

若在T1∈[0,t]時刻發生一次跳躍，則

當n→∞時，S(T1)-S(T1-)=

S(T1-)U1，所以

若跳躍次數服從泊松過程，則引理1結論成立。

引理2隨機微分方程(2)的解為

則

從而可證結果。

引理3[2]假定a,b,c,d,k為實數，其中ξ1～N(0,1),ξ2～N(0,1)，cov(ξ1,ξ2)=ρ，則有

其中，Φ(x)為標準正態分布函數。

引理4[10]假定a,b,c,k為實數，其中ξ1～N(0,1),ξ2～N(0,1),ξ3～N(0,1),cov(ξ1,ξ2)=0,cov(ξ2,ξ3)=0,cov(ξ1,ξ3)=ρ,則有

其中，Φ(x)為標準正態分布函數。

定義2[11]股票價格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報率β(u),u∈[0,t]定義為

引理5股票價格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報率β(u),u∈[0,t]為β(u)=μ(u),u∈[0,t]。

證明由引理1可知

又因為

從而可得結果。

2 可轉換債券定價公式

定義3[2]假設可轉換債券只在債券到期時刻T發生轉換，則可轉換債券到期時的現金流量VT可以表示為

其中，VT表示可轉換債券到期時刻T的價值，Pb表示純債券價值，C表示轉換價格，M表示債券面值，S(T)表示T時刻股票價格。

定義4[2]具有紅利支付的可轉換債券在0時刻的保險精算價格定義為

定理1可轉換債券的保險精算價格為

其中，Φ(x)為標準正態分布函數，且

D1=σ2δ2T2HK

D2=σ2(1-δ2)T2HK

證明令

由引理1可得

因為

則

其中，

ξ1～N(0,1),ξ2～N(0,1),ξ3～N(0,1)

且

cov(ξ1,ξ2)=0,cov(ξ2,ξ3)=0,cov(ξ1,ξ3)=ε

記

則有

其中

令

則

由引理3

所以

注1當K=1時，可得分數跳-擴散環境下支付紅利的的可轉換債券的保險精算價格[2]。

其中，Φ(x)為標準正態分布函數，且

D1=σ2δ2T2H

D2=σ2(1-δ2)T2H

MH的定義見文獻[12]。

特別地，當K=1,b=0,c=0,a→0時，可得文獻[1]結果。

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2015年總目錄

(篇名/作者/期數/頁碼)

化學、生物及材料科學

苯二甲酸插層水滑石的制備和結構表征

王 軍，蔣 燕，劉水紅，楊 敏，余達藝，路 璐1(1)

電流密度對AZ31鎂合金陽極氧化膜的影響

熊中平，司玉軍，李敏嬌1(5)

鉬系復合緩蝕劑性能研究

向云剛，崔益順，譙康全1(9)

離子液體制備碳氮硫共摻雜TiO2及其光催化性能的研究

陳久福，鐘俊波，李建章，程朝柱，竇 琳1(12)

幾種無機離子和氨基酸對釀酒酵母酒精耐性的影響

梁澤新，王 川，戴 川2(1)

濃香型大曲中多株芽孢桿菌的分離及鑒定

王 勇，羅惠波，劉燕梅，王艷麗，葉光斌2(5)

表面增強拉曼光譜檢測白酒中氨基甲酸甲酯含量研究

徐晨曦，付大友，譚文淵，汪 菊2(9)

3.5 %NaCl薄液膜下碳鋼的腐蝕行為研究

楊 麗，林修洲，梅擁軍，李 月，崔學軍，羅淑文3(1)

配制型桑椹醋生產工藝研究

王艷麗，鄧 杰，衛春會， 鐘姝霞，祝云飛，黃治國4(1)

變壓吸附法脫除甲醇裂解氣中CO_CO2研究

劉吉順，何 芬，李可彬4(5)

丟糟綜合優化利用研究

張德榮，張蜀艷,唐自慧5(1)

純種根霉麩曲制曲工藝優化研究

羅惠波，謝 軍，黃治國，邊名鴻，王大地， 楊文斌5(7)

2-氟異煙酸和1,10-鄰菲羅啉的稀土配位聚合物的合成、結構及熒光性質

吳威平，吳 宇，路 璐，孫延春5(12)

仙茅酒對小鼠抗疲勞作用的影響

潘 明,陳欲云,劉春麗,鄔亞平, 代聯伶,陳利娟6(1)

硫酸溶液中[雙(4-甲氧基苯基)]二硫代磷酸二乙銨對碳鋼的緩蝕性能研究

賴 川6(5)

對羥基苯基乙酸鋅配位聚合物的合成、晶體結構及熒光性質

路 璐，阿洛伍各，王鳳蓮，余小芳，鐘艷蓉，景 倩6(11)

酒曲中產酯酵母的分離篩選

萬世旅，李光輝，鐘姝霞，邊名鴻6(16)

機械、電子及計算機科學

利用HTML5拖放技術實現多文件異步上傳

劉耀欽1(17)

基于PLC的立體車庫自動控制算法的設計及應用

霍 沛,胡 勇1(21)

基于自適應模糊PID方法的輪轂無刷直流電機控制與仿真

劉秋生,呂 欣，譚妍瑋,張眾華,陳 啟1(25)

兩種抗時間片的攻擊方法

姜海芳,王海沛,楊 威2(14)

往復活塞式空壓機連桿有限元分析與結構優化研究

劉曉敘,肖 迪,蒲 虎2(18)

預制螺旋槽薄壁管的吸能研究

李玉如,柳忠彬,肖守訥,王 歡2(21)

基于Rayleigh法的簡支梁橋自振頻率計算

朱誼彪,李揚2(26)

基于多種群遺傳算法的裝配線平衡問題研究

李 鋒,邢靜忠，劉 偉2(30)

微電機蓋板多工位級進模設計

王春香2(37)

脈沖電源三維電極法處理鉆井廢水的實驗研究

龐 凱，梁 宏，肖惠文，吳思斯，劉 嘉2(40)

基于并行計算的高效圖稀疏化處理算法

李 融2(45)

混合智能在遞歸神經網絡軟測量中的應用

王 杰,古奮飛2(52)

電動式EGR閥流固耦合共軛傳熱研究

付 磊,李 良,羅云蓉,唐克倫,李澤平,趙貽富3(5)

基于ANSYS/LS-DYNA分析平頭彈侵徹間隙式雙層靶的失效模式

劉 兵,王紅紅,鄧勇軍3(11)

回歸正交試驗在冷沖拉深成形中的應用研究

陳 剛,胡 勇3(16)

Android平臺的移動APP開發方法與應用研究

韓文智,駱文亮3(22)

支持增量圖數據的超圖查詢算法研究

孫勤紅3(27)

一種用于超分辨率重建的自適應塊匹配算法

唐 玲,陳明舉3(33)

面向智能家居中生理參數監測的安防系統網關設計

于明濤，陳 超，葉曉彤3(37)

基于暗原色先驗的低照度圖像增強

黃 勇,孫興波,袁文林,范云飛3(42)

MO_DE：一種結合多目標優化機制的DNA編碼序列算法

岑 巍3(46)

工業過程噪聲干擾下圖像關心區域分割算法研究

張宗璐3(51)

基于AD9833的智能信號發生器設計與仿真

高 祥,楊小銳,蔡樂才,居錦武,高媛媛3(57)

風力機尾流場及相互作用的實驗研究

楊 瑞,王小麗,王 強,張志勇4(11)

基于Fluent的考慮旋轉車輪影響的汽車外流場分析

譚妍瑋,張眾華,劉秋生4(17)

測量不確定度的BP神經網絡模型

房亞群,吳一凡4(22)

基于智能集成粒子群算法的時間序列數據挖掘研究

張 健4(27)

嵌入式Linux內存管理的優化

于國龍,崔忠偉,左 羽4(33)

基于NCC匹配的Camshift目標跟蹤算法

鄭朝暉4(37)

基于RBF神經網絡的Duffing混沌系統控制

周群利4(41)

基于Hash函數的輕量級RFID雙向認證協議

龔海余,李 飛,趙國娟4(45)

基于HTM算法的惡意Android應用檢測

仇慎健，張仕斌，劉蘋光4(50)

Dynamic Numerical Simulation of a High Speed Train Passing Through Tunnel

XU Wei, YANG Yiren , WEN Huabin5(16)

屈曲約束支撐力學模型對比分析

周小林，雷勁松5(21)

格值一階邏輯系統LF(X)中的α-有序語義歸結

張家鋒，曹發生5(27)

基于Logistic混沌-貝努力序列的循環壓縮測量矩陣構造算法

臧華中5(31)

無線傳感器網絡中基于粒子濾波的目標跟蹤算法研究

鄭愛媛5(37)

基于滑膜控制和SAFNN的魯棒混沌同步

邊瀟俊，林 達，謝玉姣5(44)

基于模式識別的Lebesgue積分在PVS中的形式化證明與分析

張少芳，李冀東5(51)

基于在線視頻學習的用戶觀看行為抽取方法

王 東，林 宏，左 欣6(20)

30 kW異步起動永磁同步電機的優化設計

王 亮,王 晨,黃金霖6(25)

改進的LS-SVM數學模型的交通流量預測分析

吳一凡6(29)

基于FOA優化BP神經網絡的電子商務網站評價研究

秦艷華6(36)

基于電磁導航智能車的控制研究及實現

吳 祥,王冠凌6(42)

無線傳感器網絡IRBS時間同步優化算法

凌海波,陳 妤，周先存6(47)

基于改進小波神經網絡的短時交通流量預測研究

曹 莉,唐 玲,吳 浩,高 祥,樂英高6(52)

幀間差分法在視頻監控中的應用研究

李 亮,羅 毅6(58)

RF MEMS并聯開關的結構設計及分析

許馬會,劉鳳麗,郝永平6(63)

基于EPON接入的園區網視頻監控設計

毛乾任，王朝斌6(68)

工程質量、安全與防災減災

各國規范中對預應力混凝土結構損失的計算方法分析比較

黃 穎，高 杰1(31)

T梁C55高性能混凝土配合比設計研究

景淑媛，杜文舉，楊元意1(36)

Analysis of Damages Caused by Earthquakes to Traffic Facilities in Mountainous of West China

WANG Wenqi，LIU Baoxian, LI Li, ZHOU Xiaowen, WANG Ze1(41)

預應力孔道灌漿密實度檢測評價技術體系的研究

張武毅1(46)

基于EMD技術的彈性波信號降噪技術

王閨臣，李 科，吳佳曄1(50)

許卡滑坡的影響因素及其穩定性分析

古彥超，崔亞昆1(54)

深基坑上部土釘墻土釘軸力監測及分析

劉安寧，來慶專，吳瑞剛，蘇長毅1(59)

深基坑樁錨支護下樁后土體深部水平位移的研究分析

來慶專，吳瑞剛，陳 磊，劉安寧，荊周寶2(57)

汶川地震與蘆山地震次生地質災害特征對比

王怡璇，朱利東，楊文光，李 超，李敬波，陳 順2(63)

盾構隧道近距離側穿樁基的施工力學響應研究

高俊濤，黃雪陽2(69)

海洋生物膜對混凝土耐久性影響

劉虎城，李 猛，徐學斌，鄔曉光2(74)

地震多發地區道路防水損害路面維養材料研究

謝遠新，王 澤，羅忠賢，王文奇，王寵惠2(78)

在建高速公路路塹邊坡垮塌成因分析及處治措施

席稱心，陳 磊2(81)

超載作用下中美規范響應分析

閔亞芝，孫華強，趙 吉2(86)

大跨度結合梁斜拉橋非線性動力特性研究

王 偉3(66)

錨桿長度無損檢測的影響因素分析

訾建峰，楊 森3(71)

自錨式懸索橋主纜架設監控

包大海，袁堂超，陸久飛3(76)

L型和矩形低矮房屋體型系數對比研究

姚 望，姚 勇，李 明4(57)

預應力碳纖維布加固效果試驗研究

李永東4(62)

超聲波及表面波法在檢測含水裂縫深度中的應用分析

張小龍，趙 鵬，徐浩銘，徐 港4(66)

矮塔斜拉橋的動力特性分析

朱 強，劉 菲4(72)

地震作用下中小跨徑空腹式拱橋腹拱病害評價方法改進

陶慶東，肖倫斌5(57)

水泥混凝土路面的溫度梯度研究

曾惠珍5(62)

基于沖擊彈性波CT的橋墩缺陷無損檢測

張育斌5(69)

碳纖維布加固鋼管軸壓短柱有限元分析

李兆陽，高小育，陳沿辰5(74)

預應力孔道壓漿密實度檢測技術在連續剛構橋中的應用

宋景景6(73)

某特大跨徑拱橋靜動載試驗分析與評價

耿 澤，孫亞民，裴存棟6(77)

某滑坡穩定性的FLAC-3D數值模擬研究

張艷陽，任光明6(83)

數理基礎科學

曲面上測地線和短程線的性質

邢家省，高建全，羅秀華1(63)

一類具粘性阻尼項的擬線性波動方程解的存在性

宋瑞麗，王宏偉1(67)

基于偏最小二乘法的PM2.5相關因素分析研究

盧 鵬，何 杰，彭叢笑1(71)

橢圓型最優控制問題中的L1,2-方向稀疏

嚴春梅，張 維1(76)

兩個相依部件并聯系統和有冷貯備部件串聯系統的模糊可靠性

汪軍芳，張民悅1(80)

VaR準確性檢驗的T檢驗法

唐 寧，馮長煥1(83)

基于風險偏好的PPP項目風險分擔的三方博弈模型

葛 果，侯 懿1(87)

集合約束下的向量擬均衡問題

代乾文1(92)

幾乎基次亞緊空間的無限乘積

石鵬飛，何兆容，張焰杰1(98)

動態區間值模糊軟集及其決策應用

何 霞，杜迎雪，劉衛鋒2(92)

變分法的靈敏度分析及其在分布式水文模型的應用

王雪嬌，錢偉婷，杜 鵑，翁云華2(97)

高斯曲率絕妙定理的幾種公式的推導方法

邢家省，高建全，羅秀華3(80)

Hilbert空間中解凸集約束優化問題的梯度投影算法

楊 麗3(86)

Robin型無窮多點邊值問題正解的存在性

覃仕霞，羅 圓3(90)

廣義均值不等式及其簡單應用

王 琳，楊 秀3(96)

曲面正交網下測地曲率計算公式的推導方法

邢家省，白 璐，高建全4(75)

Hilbert空間中一類新廣義非線性變分不等式組問題

羅 靜，隆建軍4(80)

廣義拓撲的比較

宋穎瀟，丁 猛，朱培勇4(86)

無約束優化算法比較及其極值點研究

毛 巍，蘭恒友4(89)

基于DEA的經濟績效視角分析新疆工業企業民營化改革

張 淼4(95)

曲面上三個基本形式關系的證明方法

邢家省，白 璐，羅秀華5(81)

基于灰色關聯與投影算法的鐵路貨運量影響因素分析

梅曉玲5(85)

向量值集值形式廣義博弈Nash平衡的存在性

計 偉，張珺銘5(89)

S-σ-仿Lindelof空間和S-σ-仿緊空間及其乘積性質

丁 猛，朱培勇5(93)

帶非線性記憶邊界條件的熱方程組解的爆破問題

李慧芳5(97)

開關壽命連續型三不同型部件溫貯備可修系統可靠性分析

張民悅，姜明明6(87)

雙分數跳-擴散環境下的可轉換債券定價

金宇寰，薛 紅，馮進鈐6(92)

2015年1～6期總目

6(97)

Convertible Bonds Pricing in Bifractional Jump-diffusion Environment

JINYuhuan,XUEHong,FENGJinqian

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Convertible bond is a hybrid advanced financial derivatives with both features of bonds and options, and the reasonable pricing have important practical significance to issuers and investors. In this paper, on the basis of considering the volatility of enterprise market value and interest rates, assuming that stock price follows stochastic differential equations of bifractional Brownian motion and jumping process-driven, and the interest rate satisfies Vasicek model, the mathematical model of the financial market in the bifractional jump-diffusion environment is built. Using the stochastic analysis theory of bifractional Brownian motion and actuarial methods, the pricing problem of convertible bond is discussed, and the convertible bond pricing formula in bifractional jump-diffusion environment is obtained. On the basis of existing research the further research and promotion on convertible bonds pricing formula is done, so as to make the model more close to the actual financial markets.

bifractional jump-diffusion process; convertible bond; actuarial science; stochastic interest rate

2015-09-07

陜西省教育廳自然科學專項基金(12JK0862)；陜西省自然科學基礎研究計劃資助項目(2015JM1034)

金宇寰(1991-)，女，陜西安康人，碩士生，主要從事金融數學方面的研究，(E-mail)215845655@qq.com； 薛 紅(1964-)，男，山西萬榮人，教授，主要從事隨機分析與金融工程、保險精算等方面的研究，(E-mail)xuehonghong@sohu.com

1673-1549(2015)06-0092-05

10.11863/j.suse.2015.06.19

F830；O211

A