淺談勾股定理教學(xué)中常見(jiàn)問(wèn)題解析

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中要運(yùn)用恰當(dāng)、科學(xué)的教學(xué)策略，根據(jù)教材的具體內(nèi)容制定科學(xué)的教學(xué)策略，以提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生學(xué)習(xí)的質(zhì)量。在進(jìn)行教學(xué)時(shí)一定要遵循直觀性原則、因材施教原則、理論聯(lián)系實(shí)際原則、科學(xué)性等原則。

一、歷史典故

在我國(guó)最早的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭，有一段周公與商高的“數(shù)學(xué)對(duì)話”：

周公問(wèn)：“聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：我們一沒(méi)有登天的云梯，二沒(méi)有丈量整個(gè)地球的尺子，那么我們?cè)鯓硬拍艿玫疥P(guān)于天地之間的數(shù)據(jù)呢？”

商高回答說(shuō)：“我們已經(jīng)在實(shí)踐中總結(jié)出了一些了解天地的好方法。如當(dāng)直角三角形（矩）的一條直角邊（勾）等于3，另一條直角邊（股）等于4的時(shí)候，那么它的斜邊（弦）就必定是5。這就叫做勾股弦定理，是在大禹治水的時(shí)候就總結(jié)出來(lái)的一個(gè)定理。”

二、定理定義

在任何一個(gè)平面直角三角形中的兩直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。又稱為“商高定理”。在外國(guó)稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”。

直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長(zhǎng)的平方之和等于斜邊（即“弦”）邊長(zhǎng)的平方。也就是說(shuō)，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么勾股定理的公式為a2+b2=c2 。勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證分明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股數(shù)組不定方程a2 + b2 = c2的正就整數(shù)組解為a，b，c。a=3，b=4，c=5就是一組勾股數(shù)組。 由于方程中含有3個(gè)未知數(shù)，故勾股數(shù)組有無(wú)窮多組解。

三、驗(yàn)證推導(dǎo)

證明的思路為：把上方的兩個(gè)正方形，透過(guò)等高同底的三角形，以其面積關(guān)系，轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。

其證明如下：

1.設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。

2.其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

3.畫出過(guò)點(diǎn)A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。

4.分別連接CF、AD，形成兩個(gè)三角形BCF、BDA。

5.∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是共線的，同理可證B、A和H共線。

6.∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等于∠FBC。

7.因?yàn)锳B和BD分別等于FB和BC，所以△ABD必須相等于△FBC。

8.因?yàn)锳與K和L在同一直線上，所以四方形BDLK必須二倍面積于△ABD。

9.因?yàn)镃、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC。

10.因此四邊形BDLK必須有相同的面積BAGF = AB2。

11.同理可證，四邊形CKLE必須有相同的面積ACIH = AC2。

12.把這兩個(gè)結(jié)果相加，AB2+ AC2 = BD×BK + KL×KC

13.由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD（BK + KC） = BD×BC

14.由于CBDE是個(gè)正方形，因此AB2 + AC2 = BC2。

此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節(jié)所提出的。由于這個(gè)定理的證明依賴于平行公理，而且從這個(gè)定理可以推出平行公理，很多人質(zhì)疑平行公理是這個(gè)定理的必要條件，一直到十九世紀(jì)嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。

四、幾何原理

在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊上的正方形。此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。

在正式的證明中，需要四個(gè)輔助定理如下：

（1）如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）

（2）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。

（3）任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。

（4）任意一個(gè)四方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積（據(jù)輔助定理3）。

證明的概念為：

把上方的兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)換成兩個(gè)同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。

其證明如下：

設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。

其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過(guò)點(diǎn)A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。

分別連接CF、AD，形成兩個(gè)三角形BCF、BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是線性對(duì)應(yīng)的，同理可證B、A和H。

∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等于∠FBC。

因?yàn)锳B和BD分別等于FB和BC，所以△ABD必須全等于△FBC。

因?yàn)锳與K和L在同一直線上，所以四方形BDLK必須二倍面積于△ABD。

因?yàn)镃、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC。

因此四邊形BDLK必須有相同的面積BAGF=（AB）2。

同理可證，四邊形CKLE必須有相同的面積ACIH=（AC）2。

把這兩個(gè)結(jié)果相加，（AB）2+（AC）2=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD（BK+KC）=BD×BC

由于CBDE是個(gè)正方形，因此（AB）2+（AC）2=（BC）2。

五、主要意義

1、勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中最基本也是最原始的兩個(gè)對(duì)象——數(shù)與形的第一定理。

2、勾股定理導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，從而深刻揭示了數(shù)與量的區(qū)別，即所謂“無(wú)理數(shù)\"與有理數(shù)的差別，這就是所謂第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

3、勾股定理開(kāi)始把數(shù)學(xué)由計(jì)算與測(cè)量的技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明與推理的科學(xué)。

4、勾股定理中的公式是第一個(gè)不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導(dǎo)到各式各樣的不定方程，另一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個(gè)范式。

（作者單位：江西省贛州市龍南縣楊村初級(jí)中學(xué)）