淺談勾股定理教學中常見問題解析

在初中數學教學過程中要運用恰當、科學的教學策略，根據教材的具體內容制定科學的教學策略，以提高教學質量和學生學習的質量。在進行教學時一定要遵循直觀性原則、因材施教原則、理論聯系實際原則、科學性等原則。

一、歷史典故

在我國最早的數學著作《周髀算經》的開頭，有一段周公與商高的“數學對話”：

周公問：“聽說您對數學非常精通，我想請教一下：我們一沒有登天的云梯，二沒有丈量整個地球的尺子，那么我們怎樣才能得到關于天地之間的數據呢？”

商高回答說：“我們已經在實踐中總結出了一些了解天地的好方法。如當直角三角形（矩）的一條直角邊（勾）等于3，另一條直角邊（股）等于4的時候，那么它的斜邊（弦）就必定是5。這就叫做勾股弦定理，是在大禹治水的時候就總結出來的一個定理。”

二、定理定義

在任何一個平面直角三角形中的兩直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。又稱為“商高定理”。在外國稱為“畢達哥拉斯定理”。

直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長的平方之和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么勾股定理的公式為a2+b2=c2 。勾股定理現發現約有400種證分明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股數組不定方程a2 + b2 = c2的正就整數組解為a，b，c。a=3，b=4，c=5就是一組勾股數組。 由于方程中含有3個未知數，故勾股數組有無窮多組解。

三、驗證推導

證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關系，轉換成下方兩個同等面積的長方形。

其證明如下：

1.設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。

2.其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

3.畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。

4.分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。

5.∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是共線的，同理可證B、A和H共線。

6.∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等于∠FBC。

7.因為AB和BD分別等于FB和BC，所以△ABD必須相等于△FBC。

8.因為A與K和L在同一直線上，所以四方形BDLK必須二倍面積于△ABD。

9.因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC。

10.因此四邊形BDLK必須有相同的面積BAGF = AB2。

11.同理可證，四邊形CKLE必須有相同的面積ACIH = AC2。

12.把這兩個結果相加，AB2+ AC2 = BD×BK + KL×KC

13.由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD（BK + KC） = BD×BC

14.由于CBDE是個正方形，因此AB2 + AC2 = BC2。

此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的。由于這個定理的證明依賴于平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。

四、幾何原理

在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。

在正式的證明中，需要四個輔助定理如下：

（1）如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）

（2）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。

（3）任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。

（4）任意一個四方形的面積等于其二邊長的乘積（據輔助定理3）。

證明的概念為：

把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉并轉換成下方的兩個同等面積的長方形。

其證明如下：

設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。

其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于K、L。

分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是線性對應的，同理可證B、A和H。

∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等于∠FBC。

因為AB和BD分別等于FB和BC，所以△ABD必須全等于△FBC。

因為A與K和L在同一直線上，所以四方形BDLK必須二倍面積于△ABD。

因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF必須二倍面積于△FBC。

因此四邊形BDLK必須有相同的面積BAGF=（AB）2。

同理可證，四邊形CKLE必須有相同的面積ACIH=（AC）2。

把這兩個結果相加，（AB）2+（AC）2=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD（BK+KC）=BD×BC

由于CBDE是個正方形，因此（AB）2+（AC）2=（BC）2。

五、主要意義

1、勾股定理是聯系數學中最基本也是最原始的兩個對象——數與形的第一定理。

2、勾股定理導致不可通約量的發現，從而深刻揭示了數與量的區別，即所謂“無理數\"與有理數的差別，這就是所謂第一次數學危機。

3、勾股定理開始把數學由計算與測量的技術轉變為證明與推理的科學。

4、勾股定理中的公式是第一個不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導到各式各樣的不定方程，另一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個范式。

（作者單位：江西省贛州市龍南縣楊村初級中學）