淺談“數(shù)形結合”在解題中的應用

摘 要：“數(shù)”和“形”是數(shù)學中兩大研究對象. 數(shù)形結合在高中數(shù)學解題中的應用應突出“數(shù)形結合——解決集合問題”、“數(shù)形結合——解決不等式問題”、“以形助數(shù)——解決函數(shù)的最值問題”三個方面.

關鍵詞：數(shù)形結合；解題應用；集合；不等式；函數(shù)最值

“數(shù)”和“形”是數(shù)學中兩大研究對象，兩者的結合是推動數(shù)學教學不斷前進發(fā)展的動力. 數(shù)形結合在高中數(shù)學解題中運用非常廣泛，不應該只把它看成是一種解決數(shù)學問題的方法，而應該把它視為高中數(shù)學中一項重要內容來進行研究. 數(shù)形結合的有效應用可以幫助學生從本質上更深入地了解數(shù)學問題的內涵，有利于學生打下堅實的基礎，有利于學生發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題的能力提升，更有利于促進學生數(shù)學綜合素質的提高.

[?] 對數(shù)形結合思想的解讀

數(shù)形結合思想是高中數(shù)學幾大思想方法中的一種. 數(shù)與形是數(shù)學中教學者們研究比較多的對象，數(shù)形結合中的“數(shù)”表達的是數(shù)量關系，“形”表達的是空間圖形. 兩者經(jīng)常聯(lián)系在一起，相互滲透，并在特定的條件下會實現(xiàn)相互轉化. 數(shù)形結合意思是指根據(jù)數(shù)與形之間特定的關系，通過兩者之間的轉化來解決某些數(shù)學問題的一種方法. “以形助數(shù)”“以數(shù)助形”是它包含的兩大內容. 其中“以形助數(shù)”的意思是指借助生動、有趣的圖形以及它直觀性強的特點來說明數(shù)與數(shù)之間的關系. 它以圖形作為手段，數(shù)是最終的目的. 例如利用三角形的圖形來說明三角形的性質. “以數(shù)助形”的意思是指利用某些數(shù)的準確性、規(guī)范性、嚴密性的特點來說明圖形的某些性質. 它是以數(shù)作為手段，圖形是最終的目的. 例如有些題目里圖形比較復雜，直接觀察看不出所以然，這就需要給圖形加上數(shù)值，某些圖形的邊長還有它的角度等等. 利用數(shù)形結合的方法可以把抽象難懂的數(shù)學數(shù)字與生動的幾何圖形結合起來，使復雜的數(shù)學問題變得簡單，抽象的數(shù)學問題變得具體，學生利用此種方法便于找到解題的方法，避免了長時間耗費在無效的計算、思考上.可以說“數(shù)形結合”的思想對于幫助學生解決高中數(shù)學問題作用很大.

[?] 數(shù)形結合在高中數(shù)學解題中的應用

1. 數(shù)形結合——解決集合問題

集合與其他數(shù)學內容有著極大的關系，是掌握和學習數(shù)學相關語言的基礎，學好集合有利于培養(yǎng)學生數(shù)學內容的表達能力. 雖然集合是比較簡單的基礎題，但如果缺乏一定的空間想象力，對于解某些題也存在一定的難度，這個時候就需要用數(shù)形結合的方法來解題.

（1）利用數(shù)軸解決有關的集合問題

例題分析：此題中以不等式為載體，主要考查的是交集的知識點，也就是集合中的包含關系. 如果學生單純依靠題目中給出的數(shù)據(jù)進行解題，往往會難以下手，而且會有摸不清的感覺，無法解出實數(shù)a的取值范圍. 此時如果用數(shù)軸圖形就會變得簡單的多（如圖1所示），數(shù)與數(shù)之間的關系就會明朗化.由數(shù)想到形，以形助數(shù). 本解題的關鍵就在于如何把集合的問題轉換成圖形.教師在講解時可以這樣引導學生：在數(shù)軸上標出集合A、B所含所有元素的范圍，再利用A、B的位置關系來確定參數(shù)a的最終取值范圍. 也就是把抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化，化難為易，化繁為簡.

（2）利用相關圖法解決集合問題

在集合問題中一般用圓來表示集合，如果兩個圓相交表示集合之間有公共元素，相反如果兩個圓是相離的就表示沒有公共元素，利用相關圖法能直觀地解答出集合之間、數(shù)與數(shù)之間的關系問題.

例2 某學校開展有籃球、足球、排球三種球類興趣班，共有45人參加. 同時參加籃球和足球兩個班的有10人，同時參加籃球和排球兩班的有8人，同時參加籃球、足球、排球的有3人，問只參加籃球班的人數(shù)？

解：用A表示參加籃球班的人數(shù)，B表示參加足球班的人數(shù)，C表示參加排球班的人數(shù).根據(jù)題意，畫出圖2所示圖形：

例題分析：這樣的集合題在高中數(shù)學的考試中常見，一般作為選擇題、填空題的題型出現(xiàn). 對這樣的題如果學生按照平時的思維習慣來解題，部分學生通常會選擇這樣的方法：在草稿紙上列出表格，然后采用排除的方法算出參加足球、排球的人數(shù)，最后才算出參加籃球的人數(shù)，這樣的方法通?？疾閷W生邏輯思維能力，如果方法不對，就會算錯，而且非常麻煩. 但如果采用數(shù)形結合思想，利用相關圖法，把他們之間的集合關系表達出來，學生一看圖形就會明白他們之間的關系，計算起來就會變得簡單、靈活，很容易算出最終的結果只參加籃球班的人數(shù)為30人. 教師在講解這類題時，應注意引導.

2. 數(shù)形結合——解決不等式問題

在高中數(shù)學中相等和不等是數(shù)量關系中兩個比較重要的關系，用不等式來表示數(shù)與數(shù)之間的不等關系，這是學習高中數(shù)學代數(shù)基礎知識的一個重要內容. 它在解決高中數(shù)學各類問題中有著很大的作用. 凡是運用到比較量大小的相關問題都需要不等式知識來解決，例如集合中的某個實數(shù)的范圍、方程的判別式以及相關的函數(shù)內容. 縱觀近年來的高考題特別強調對不等式知識的考查，主要注重學生數(shù)學能力運用、數(shù)學思想運用方面的考查，例如由數(shù)構造形，利用面積的不等關系證明不等式.

例題分析：不等式證明題是高中數(shù)學中常見的類型題. 在各種考試中也常常見到. 針對本題中這樣的不等式證明題，并不容易直接證明，學生如果從計算推導的角度去一步一步證明不僅步驟繁瑣，而且計算量大，容易出錯. 因此可以用構造法來進行證明. 構造法是證明不等式的一種方法，當遇到不容易證明的不等式時，可以根據(jù)題目的要求、特征構造適當?shù)膱D形，以圖助數(shù). 本題中就是根據(jù)題目特征構造適當?shù)木匦螆D形，利用矩形面積的不等關系進行推導，以圖助數(shù)，最終證明不等式，求得問題的解決.

3. 以形助數(shù)——解決函數(shù)的最值問題

函數(shù)的最值是函數(shù)中一個較為重要的性質，與函數(shù)的單調性、奇偶性、函數(shù)的值域等有很大的關系. 也是高考中一個熱點題型. 此類題可以作為選擇題、填空題、解答題出現(xiàn)，運用非常廣泛.

例4 如果實數(shù)x，y滿足等式（x-2）2+y2=1，那么的最大值是__________.

解：觀察等式的形式很容發(fā)現(xiàn)其有很明顯的幾何意義，即該等式是一個圓的解析式，它表示以點（2，0）為圓心，半徑為1的圓，如圖4所示. 而表示圓上的點（x，y）與坐標原點連線（0，0）的斜率. 如此，該問題則轉化成為直觀的幾何問題. 動點A在以（2，0）為圓心1為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率最大值. 由圖分析可知，當A點在第一象限，且與圓相切時，斜率最大，此時k==tan30°=. 得解.

例題分析：求最值一般是求某個代數(shù)式或者某個函數(shù)的最大值、最小值.求函數(shù)的最值問題一般可以采用配方法、換元法、不等式法、平方法、導數(shù)法、函數(shù)單調性法、線性規(guī)劃法等方法解決. 有些題目可以直接使用這些方法進行解決，但有些題目則比較復雜，計算量非常大，使用上述方法學生計算起來不方便，容易出現(xiàn)錯誤. 這個時候就需要引導學生轉換思維方式，使用數(shù)形結合思想來解決問題. 利用函數(shù)所表達的幾何意義，借助幾何的方法來求得函數(shù)的最值. 本題利用數(shù)形結合思想，把它當做圓的解析式并通過圖形來輔助分析，以形助數(shù)，數(shù)與數(shù)之間的關系更加明朗化.

數(shù)形結合思想不僅在解決集合問題、不等式問題、函數(shù)的最值問題上有所幫助，在解決三角函數(shù)、函數(shù)的極值、線性規(guī)劃、復數(shù)等高中數(shù)學的問題上也起到很大的作用. 它是解決各類高中數(shù)學問題的有效方法，同時也是進一步探究數(shù)學問題的有利工具. 因此，教師應該重視對數(shù)形結合思想的有效運用，在平時的教學中引導學生運用數(shù)形結合的方法解決問題，使學生掌握其技巧，把數(shù)形結合思想變成學生解題時的有利“武器”.