一道原創命題的再思考

摘 要：高中《數學新課程標準》提出“高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一.” 本文通過自己所創作的一道命題提出了一題多解的教學模式，通過一題多解的訓練，開拓學生思維，激發學生發現問題，研究問題的積極性，培養其探求新知的創新精神，提高其分析問題和解決問題的能力.

關鍵詞：原創；命題；一題多解；發散性思維

數學是一門概念性強、充滿思辨性的思維科學. 量化突出，解法多樣是數學學科的突出特點. 本文通過自己所創作的一題多解的命題，提高學生的數學讀題能力，知識點的相互轉化問題，培養學生思維的靈活性和發散性. 通過對此題的探索研究，使學生養成從多角度、多渠道思考問題，解決問題的好習慣，深入理解轉化與化歸等數學思想方法.

[?] 命題提出

命題為：已知實數x，y滿足x2-y2=a2，則2x-y的最小值為___________.

本題是從學生所熟悉的動點到定直線距離的最值問題入手，改變條件和結論，逐層更改，逐層深入而創作得到的. 具體命題的思維過程為：

例 已知實數x，y滿足x2+y2=1，則點p（x，y）到直線2x-y+4=0的距離的最小值為__________.

變式1：已知實數x，y滿足x2+y2=1，則2x-y+4的最小值為__________.

變式2：已知實數x，y滿足+y2=1，則2x-y+4的最小值為__________.

變式3：已知實數x，y滿足x2-y2=1，則2x-y的最小值為___________.

變式4：已知實數x，y滿足x2-y2=a2，則2x-y的最小值為___________.

[?] 命題目的

本題是筆者對自己在日常教學中常見的一些題型及知識點的歸納及總結而創作得到的，此命題有以下目的：

1. 學生可達到對此題所涉及的一些知識點的鞏固與加深. 明確各知識點之間的區別與聯系.

2. 學生能夠認真分析題目的條件與結論，找出解決此類問題的一些方法.

3. 學會數學中常用的一些思維方法.

4. 使學生能夠體會到此題所用到的數學思想方法.

5. 培養學生運算、作圖、想象、聯想、類比等能力.

6. 使學生能夠消除思維定式，能夠從多渠道、多角度去思考問題，提高學生們的發散性思維能力.

[?] 解法探討

本人對此命題通過認真分析，做了深入的研究與探索，得到以下解答方法，愿和各位同行們一起分享和探討，也希望各位同行們能提出寶貴意見，給出更好的解答方法.

此題條件為已知實數x，y滿足x2-y2=a2，結論為2x-y的最小值. 條件只有一個，但含有參數，應對參數進行分類討論，所以條件可能是兩條直線，也可能是焦點在x軸上的雙曲線，也可以看成是一個二元一次方程等. 而結論是一個二元一次多項式絕對值的最值問題.

通過對條件和結論認真思考分析，可聯想到的知識點有：

雙曲線的標準方程及漸近線方程、雙曲線的參數方程、點到直線的距離公式、求導法則、三角恒等式、基本不等式、直線方程、斜率公式、導數幾何意義、三角函數值域、方程組的解、一元二次方程根的判別式、線性規劃等知識點.具體解法如下：

（1）當a=0時，y=±x，則2x-y的最小值為0.

（2）當a≠0時，a2>0，則表示焦點在x軸上的雙曲線.

解法1：用幾何性質求解

構造雙曲線x2-y2=a2上的點到直線2x-y=0的距離的最小值問題.具體做法為作該直線的平行線，當此平行線與該雙曲線相切時，切點到直線的距離最小，直接將切點坐標代入2x-y中便可得到最小值.

點評：此方法求解較簡單，但構造和求導對一般學生來說較復雜.

解法2：用換元法及基本不等式求解

由x2-y2=a2得（x+y）（x-y）=a2，由它們的積是定值而想到均值不等式，從而換元構造基本不等式的條件便可求解. 具體令m=x+y，n=x-y，則mn=a2>0，所以m，n是同號，由m=x+y，n=x-y得x=，y=，

所以2x-y=

≥=a便可求解.

點評：此方法較難想到，一旦想到用平方差公式將左式化成兩個數的積是定值，有了此思路，計算過程就較簡單.

解法3：用基本不等式法求解

解法4：用三角代換法求解

分析：由x2-y2=a2可想到三角代換法，因為1+tan2α=sec2α，所以可令x=asecα，y=atanα，α∈[0，2π），則2x-y=a·2secα-tanα=a

，然后轉換成求一個動點和一個定點所成直線的斜率絕對值的最小值問題，由數形結合法得到一個直角三角形求出傾斜角的取值范圍，從而可得解.

點評：此法對程度好一點的學生來說很容易想到，但對一般的學生來說還是有點難度，因為此方法用到的知識點在選修課本雙曲線的參數方程中提到過.

解法5：用三角代換法求解

分析：如圖2，基本思路同解法4，但不同之處在于求定點P（0，2）和動點（-cosα，sinα）所成直線斜率的范圍時，先把過點P（0，2）的圓x2+y2=1的切線設出來，再根據點到直線的距離等于圓的半徑1，從而可得出切線的斜率，即可得到2x-y的最小值.

解法6：利用三角函數的有界性和相關公式求解

換元同解法4，但得到2x-y=a·2secα-tanα=a

后，可繼續換元利用三角函數的有界性求出a·

的最小值.再令=t，則sinα+tcosα=2，所以sin（α+β）=2，（其中cosβ=，sinβ=）. 則sin（α+β）=，由y=sinx的有界性可得≤1，所以≥2，即t≥，故得解.

點評：此法要進行兩次換元，化到sinα+tcosα=2這一步后再求t的取值范圍，比較符合學生解三角函數問題的思維.

解法7：用方程的思想方法求解

分析：令2x-y=z后，將函數問題轉化為方程有解問題，根據方程有解所滿足的條件求解. 即當實數x，y滿足x2-y2=a2，求z的最小值問題轉化為關于x，y的方程組x2-y2=a2，

2x-y=z有解，

將y消去后化簡得，3x2-4zx+z2+a2=0，此方程有解，

則Δ=16z2-12（z2+a2）≥0，得z≥a.

點評：此方法充分體現了函數與方程的思想方法的妙處，思路清晰簡潔，解題過程簡單明了，便于學生理解和掌握.

解法8：利用線性規劃求最優解的方法求解

分析：此題可從實際情境出發，抽象出二元一次方程組，運用線性規劃知識求最優解來加以解決.

2x-y=2x-y（2x≥y），

y-2x（2x

將此題分解為如下兩類：

①x2-y2=a2，

2x≥y，求z=2x-y的最小值；

②x2-y2=a2，

2x

點評：此方法雖然比較麻煩，但充分地體現了一種常用的數學方法，函數與方程，不等式組與線性規劃求最優解的思想.

解法9：利用函數求導數得最值的方法求解

分析：雖然x2-y2=a2不能進行統一的研究，但可以對研究的對象進行分類討論，即x=（y∈R）與x=-（y∈R），把2x-y轉化成關于y的函數問題，借助導數研究函數最值，對兩種情況進行分別研究，最后整合在一起得到整個問題的最終結果.

點評：此方法相對來說較麻煩，但它充分地體現了數學當中一種常用的方法，就是用函數求導的方法來求最值.

綜上（1），（2）可知，2x-y的最小值為a.

[?] 方法總結：

此命題的九種解法中，方法各異，各有所長.有些解法基本思路一致，但是具體操作過程不同，用到的知識點也不同.以上解法用到的知識點有：雙曲線的標準方程及漸近線方程、雙曲線的參數方程、點到直線的距離公式、求導法則、三角恒等式、基本不等式、直線方程、斜率公式、導數幾何意義、三角函數值域、方程組的解、一元二次方程根的判別式、線性規劃等知識點. 小小的一道題目居然用到這么多的知識點，充分體現了數學學科思維的靈活性和多樣性. 用到的數學思想方法有：轉化與化歸、數形結合、分類討論、函數與方程，四種常用的數學思想方法通過一道小小的填空題充分地體現出來.當然并不是每一道題都需要用這么多的方法求解，但我們應在這眾多的方法中挑選自己認為最簡單的一兩種方法來求解.

[?] 用后反思

1. 回顧整個命題過程及解法，此題所涉及的思想方法：

（1）函數思想：主要牽扯到的是①函數與方程，②函數與不等式，③函數與圓錐曲線 ，④函數與三角問題.

（2）數形結合思想：

①雙曲線上一點到雙曲線外一條定直線的距離的最值問題，需結合圖形，作該直線的平行線且與雙曲線相切；

②圓外一點與圓上一點所成直線的斜率變化問題.

（3）分類討論思想：

①對參數a進行分類，②對2x-y進行分類.

（4）轉化化歸思想：

①轉化成動點到定直線的距離的最值問題；

②轉化成利用基本不等式求最值問題；（積為定值，和有最小值）

③轉化成動點與定點所成直線的斜率的最值問題；

④轉化成三角函數有界性問題；

⑤轉化成方程有根所滿足的條件問題；

⑥轉化成線性規劃求最優解問題；

⑦轉化成用導數求最值問題.

2. 通過對此題的分析與解決，可以對此題進行更深入地改進：

改進1：已知實數x，y滿足y2-x2=a2，則2x-y的最小值為___________.

改進2：已知實數x，y滿足x2-y2=a，則2x-y的最小值為___________.

改進3：已知實數x，y滿足+y2=a（0

改進4：已知實數x，y滿足x2=2py，（p>0）則2x-y+4的最大值為________.

也可對題型進行改進，也可改為選擇題、解答題，或化簡題、證明題等.

3. 推廣：

已知實數x，y滿足圓錐曲線方程f（x，y）=0，則Ax+By+C（A·B≠0）的最值為___________.

4. 解法啟示：

一題多解就是在條件和問題不變的情況下，讓學生多角度、多側面地進行分析思考，探求不同的解題途徑. 一題多解的訓練是培養學生發散思維的一個好方法. 它可以通過縱橫發散使知識串聯，達到舉一反三、融會貫通的目的. 但在思維向多方向發散的過程中，仍然需要集中思維的配合，需要嚴謹的分析、合乎邏輯的推理，在發散的多種途徑、多種方法中，也需要通過比較判斷，獲得一種最簡結、最科學的方案與結果. 教師應通過創作一題多解的命題來訓練學生的數學發散性思維能力，培養學生的數學讀題能力，提高數學各知識點的轉化能力. 所以教師教學不應簡單地傳授學生基本的知識點，而應著重對學生的思維能力進行訓練與培養，把數學思想方法貫穿到整個教學過程中.

總之，新課改后，浙江高考數學原創題、創新題增多，對學生的數學能力的要求越來越高. 面對新課改的挑戰，數學課堂教學應該嘗試以學生為主體的開放式教學，讓學生在心情放松、思維活躍、敢于說話、善于表達的氛圍中，體驗并提高自己的思維能力.