高中數學解題中整體思想的運用探討

摘 要：高中數學解題教學是課程教學的重要組成部分，學生解題能力的提升是一線教師探討的重點話題，本文以高中數學教學內容中的四個方面為探究的載體，重點闡述如何利用整體思想有效處理數學問題，以期為一線數學教師教學提供一定的參考.

關鍵詞：高中數學；整體思想；解題

高中數學題目類型多樣，學生在解題過程中不能根據題型特點運用相關解題思想，以及對應的解題方法很難解答出一些題目. 整體思想是解答高中數學題目的重要思想，將其應用到相關題目中能夠起到事半功倍的解題效果. 因此，高中數學教師在教學實踐中應結合數學教學內容，注重整體思想在解答數學題型中的講解，培養學生利用整體思想解題的意識與習慣，以不斷提高高中數學教學質量與水平.

[?] 整體思想在三角函數題型中的應用

三角函數是高中數學教學的重要內容，也是歷屆高考的必考內容，考慮到三角函數比較抽象，而且變式較多，題型豐富，很多學生在解答三角函數題目時感覺比較吃力. 不過通過分析三角函數題型不難發現，一些三角函數題目運用整體思想進行解答能顯著提高解題效率. 因此，在高中數學教學實踐中，數學教師應收集一些代表性的題目在課堂上進行講解，提高學生運用整體思想解答三角函數題型的意識，為提高學生三角函數題目的解題水平奠定堅實的基礎.

例如：在講解三角函數內容后，數學教師可在黑板上板書這樣一道例題：求tan25°+tan20°+tan25°tan20°的值. 對該題目形式進行分析可知，25°與20°并不是學生記憶的常用三角函數值，因此使用傳統方法并不能解答出該題目. 為給學生留下深刻的印象，教師可給學生留下一段思考時間，而后詢問學生該怎樣解答. 當然除部分預習過且學習能力較強的學生知道用整體思想進行解答外，很多學生并不能說出解題思路. 在充分調動學生的求知欲后，教師可引出整體思想，并為學生講解整體思想在解答數學題目過程中的優勢. 以上述題目為例進行深入的剖析：25°與20°雖不是特殊角，但25°+20°=45°卻能構成特殊角. 而tan45°可利用三角公式加以分解，即tan45°=，通過這一分析不難發現利用整體思想進行整體帶入便能順利求解出該題目.

為進一步鞏固所學，教師可為學生布置一道類似的練習題目，使學生充分意識到利用整體思想解答題目的高效性. 如要求出cos225°+sin225°+sin20°cos50°的值等這一類題目.分析高中數學三角函數知識不難發現，特殊角可被拆分為多種組合，例如45°可拆分為25°與20°、兩個22.5°等多種形式，因此，高中數學教學過程中應引導學生一旦遇到非特殊角三角函數題型，就應考慮使用整體思想進行求解.

[?] 整體思想在不等式題型中的應用

不等式是高中數學的主要組成內容，雖在高考中很少單獨出大題，但其融入整個高中數學知識中對解答出相關題目起著重要作用. 因此，數學教師應重視不等式內容的教學，使學生充分掌握解答不等式問題的技巧與方法.分析發現，在解答不等式題目時可利用整體思想，以提高不等式解題效率. 當然因不等式題型形式多樣，很多題型看似相似，但有著本質的區別，教師教學實踐中應選擇有代表性的題型進行講解.

例如：在講解不等式相關理論知識后，教師可為學生講解這一題目：已知a，b均為正數，且滿足關系式++=1，ab的最小值為多少. 直接解答這一題目難度比較大，很多學生不知如何下手，為此，教師應為學生講解利用整體思想進行換元，以順利地解答出題目.首先，將給出的已知等式關系進行等價變形得出關系式為：a+3+2b=2ab；其次，利用關系式y=ab進行換元，將條件轉換成y=；最后，利用基本不等式相關知識便可解答出來.

另外，通過講解整體思想在不等式題型中的應用后，教師可鼓勵學生將平時做題過程中遇到的不等式題型加以總結，分析哪些不等式問題可利用整體思想進行求解，而后與同學進行交流，尋找出解答相關題型的技巧，做到舉一反三，觸類旁通，會解答一道題目，就會解答所有類似題目，以提高不等式題型的解題效率.

[?] 整體思想在數列題型中的應用

數列是高中數學教學的重點、難點內容，對學生邏輯思維能力、抽象思維能力的要求較高. 不少學生將數列比作數學題目中的“攔路虎”，而且通過分析學生在不同測試中數列題目中的得分情況可知，數列確實是大多數學生的薄弱點. 學生對數列題目產生畏懼，究其原因在于學生未充分理解數列題型的實質，尋找不到有效的解題方法. 因此，高中數學教學實踐中，教師結合不同數列題型特點，幫助學生尋找解答數列題型的有效方法. 為增強學生學習數列知識的自信心，高中數學教師應善于運用整體思想總結不同數列題目類型的解答方法，使學生掌握解答數列題型的有效方法.

例如：在講解數列相關知識后，教師可列舉這一題目：已知a1=1，an=2an-1+3n，試求：通項公式an；該道題目是典型數列題目，綜合性強、難度較大，很多學生看到該題目后頭腦一片空白. 為此，教師應逐步引導學生，將整體思想運用到相關解題步驟之中，幫助學生理清解題思路，最終解答出該題目. 首先，將已知等式兩邊除去3n，將其轉化為=1+2，此時，利用換元法轉變等式形式，即令bn=，很顯然bn-1=，于是有bn=bn-1+1，由a1=1知b1=，引入未知參數將公式變形為，=，不難得出m=-3，即=，而后使用cn=bn-3進行替換，不難得出an的值. 通過講解該題目使學生充分了解整體思想，而后根據數列題目特點進行有目的的代換，最終解答出題目.

數列題型難度較大，教師通過整體思想的運用順利解答出題目，可使學生體會到整體思想優式所在. 當然避免解題過程中受思維定式的影響，教師應與學生一起分析，能夠運用整體思想解答出數列題目的類型與特點，從而在實際解題過程中靈活運用，以攻克這個解題中的“攔路虎”，在各種測試中取得好成績的同時，實現自身綜合數學素養的提高.

[?] 整體思想在圓錐曲線題型中的應用

高中數學中圓錐曲線是比較重要的內容，高考中通常以大題的形式出現，分值較高，而且在一些小的題型中也有所涉及，由此不難看出圓錐曲線在高中數學知識所占的地位非常高. 數學教師在講解圓錐曲線題型時，可根據題型特點將整體思想加以有機的融入，使學生體會到運用整體思想解答圓錐曲線題型的奧妙之處，在增強學生解答題目信心的同時，提高學生的綜合解題水平. 在講解圓錐曲線問題時應從簡單題型入手，循序漸進，逐漸理解圓錐曲線相關題型的本質.

例如：如圖1所示，橢圓C：+=1，直線l：y=x+2，求橢圓上的點到直線的距離的最值.該題型是圓錐曲線的常見題型，難度屬于中等難度. 教師在講解該題目時，可引導學生運用整體思想進行求解. 設橢圓上的點P（x0，y0），由距離方程可知，題目求橢圓上的點到直線的最值實質就是求x0-y0的最值. 采用整體思想進行換元，令t=x-y，根據橢圓方程進行三角

通過在圓錐曲線題型中運用整體思想順利地解答出題目，更能讓學生認識到整體思想的“威力”之大. 不僅如此，整體思想還可應用在導數題型中，高中數學教師可結合教學目標，專門設計一節整體思想在導數題型中應用的專題課，以提高學生解題綜合素質，切實掌握好相關題型的解題方法.

數學是高中階段極其重要的基礎課程，涉及的知識點多而雜，題型十分豐富.為增強學生的數學解題能力，不少高中數學教師鼓勵學生多做題，多見題型，即采用題海戰術，但這種方法效果并不明顯.為此，高中數學教師在教學實踐活動中應善于總結各種解題思想與方法，幫助學生透徹分析不同題型的本質，尤其應鼓勵與引導學生將整體思想應用到實際的解題過程中，以不變應萬變. 同時，結合不同高中數學內容設計運用整體思想解題的專題課，要求學生在專題課進行討論，充分理解與運用整體思想，以此提高學生應用整體思想在解答數學題目中的能力.