整體性視野下的數學豎式教學淺探

在小學階段，符合數學學科特征和學生認知規律的數學知識分散呈現在各個章節，然而由于部分教師對知識整體把握的意識不強，對內容處理的能力較低，不能很好地把握教材的基本要求和內容安排，使得學生所學的內容缺少實質性聯系，影響了學生數學素養的提升與思維能力的進一步發展。小學數學教學中的豎式計算是一個很重要的學習內容，但分散在每個學段的教材之中，這就需要我們跳出單冊豎式教學框架，以整體的視野來建立各冊豎式之間的本質聯系和結構關聯，幫助學生在更高層次上認識數學，提升數學素養。

一、豎式教學的“窄化”現象

現象一：環節前后“脫節”。三年級下冊《乘法》單元第一課時《兩位數乘以兩位數》，內容是讓學生通過列橫式分步計算，然后出現豎式，接著讓學生探索豎式每一步的意義，得到結果。一些教師把分步算法與列豎式孤立開來，重點教學豎式的格式、算法，忽視列豎式的基礎、每一步的意義，忽視豎式形成的過程，致使學生把解決此問題的理解定位于“用豎式計算”。

現象二：豎式算理“忽略”。三年級上冊《除法》單元第一課時《兩位數除以一位數》，內容是讓學生通過情境圖“4筒加6個羽毛球共46個，平均分給兩個班，每個班分得幾個？”進行計算，一些教師注重了豎式計算的算法，忽略了具體的算理：為什么先用最高位去除？豎式中第一步獲得的“4”表示什么意思？整個豎式里，出現了兩個“4”和3個“6”，分別是什么意思？使得學生只會計算結果，而對每一步的意義不甚了解。

現象三：教材意圖“不解”。二年級下冊《有余數的除法》單元第二課時《兩位數除以一位數》：媽媽買了12個蘋果，每4個放一盤，可以放幾盤？如果每5個一盤呢？教材中創設了分蘋果的情境，先安排學生分一分，通過口算算出結果，接著介紹了豎式的方法，再通過類比教學有余數的除法。有些老師孤立地進行豎式算法的教學，無視教材的編寫意圖，脫離了具體的教學情境。其實這里是第一次出現除法豎式，對豎式的算理、求商的方法，學生的學習是有困難的。我們要讓學生在具體的操作活動中，依托除法的豎式，通過類比推理學習和理解有余數的除法的計算方法，幫助他們體會除法的算理和算法，進一步加深對除法含義的理解。

縱觀以上常見的課堂教學現象，可以歸納為兩類問題。

第一是教師對知識點教學的“孤化”。由于數學的知識分散在每一冊、每一個單元中，一些教師往往將知識和技能分解成若干個知識點和能力點，再圍繞這些“點”進行強化訓練，最終留給學生的很可能就是幾個符號、算式，數學本身的意義也簡單化地變成了題目的計算和應用。豎式計算這個知識點分散在每冊中，但都不是單獨存在的，它的準確性、形象性、生動性能夠從整體的結構關系中表現出來，如果教學中僅關注豎式計算，很容易導致豎式教學的“孤化”，影響了學生對整個豎式體系的理解。

第二是教師對學科結構整體把握能力薄弱。或許是對教材體系不熟悉，或許是缺少整體建構的意識，或許是對豎式的理解不夠深入，一些教師重視單類豎式的教學，忽略所教內容的基礎和結構位置，導致了所學新知未納入學生的知識理解體系中，支離破碎，學生很快就遺忘了。語文教學中倡導“字不離詞、詞不離句、句不離篇”，豎式教學也要對新知進行“整體感知—局部研讀—整體把握”，充分考慮整體與所學新知的關系，從豎式的整體網絡上思考，在豎式的整個單元中體會，才能幫助學生整體地把握豎式的本質。

二、賦予豎式計算的現實意義

1.整體把握內容標準

數學教材根據學生的學習認知規律、知識背景和活動經驗，合理地安排學習內容，形成了比較嚴謹的編排體系，教師要基于數學學科知識之間的邏輯關系，理清數學學科內在的知識結構，培養學生思維的正向遷移能力，使學生能夠用綜合的眼光去發現問題、認識問題和解決問題。

2.突出單元整體設計

數學教材內容的編排是以單元結構形式呈現的。教材將有內在聯系的、具有共同主題的內容構成一個整體，并且根據學生的認知規律，由淺入深、由易到難地進行編排。計算單元內容編排一般結合口算、估算、豎式筆算、混合運算及解決問題綜合編排，豎式作為其中的重要部分與其他內容相輔相成。教學時我們要將一個單元當作一個整體進行思考，優化組合，整體設計，以整體漸進的方式推進教學。

下面以五年級上冊“小數乘除法”單元為例，進行說明。

（1）整體思考單元體系。系統論強調：“整體大于部分之和?！苯虒W單元是相互聯系的若干要素按一定的方式組成的統一整體，其規模的大小是不同的，并且是有層次的。在以豎式計算為主的單元中，豎式教學的順序有著較強的邏輯性，這就需要我們在教學前進行單元整體解讀，以此感知本單元的學習內容，理清單元的知識結構。“小數乘除法”單元分五段：第一段學習小數乘整數的計算方法，探索小數點移動規律；第二段學習除數是整數的小數除法，探索小數點移動規律；第三段學習小數乘小數，求積的近似值；第四段學習除數是小數的除法，求商的近似值；第五段學習小數四則混合運算。五段教學后安排整理與練習。

（2）整體設置單元目標。單元教學的整體性是指在教學過程中要綜觀整個單元教材的教學目標，厘清知識內容，明確各知識點、數學方法之間的內在聯系，弄清教學的重難點，使教學形成整體結構。如“小數乘除法”這一單元，我們要系統理解編排意圖：一是在情境中學習，讓學生聯系整數乘、除法的意義理解小數乘除法的運算意義。二是明白小數乘除法混合分段編排特點，便于學生根據不同學習內容選擇合適的學習方式。三是由易到難安排教學層次，突破教學難點。教學中安排的例題都是幫助學生在掌握基本方法的基礎上，逐步突破難點的，所以每個知識點的掌握程度直接影響到下個知識的學習，知識點前后關系緊密。整體把握單元目標，既要考慮小數乘除法的知識基礎和后續學習作用，又要考慮本單元螺旋上升的教材編排體系，還要考慮學生學習能力的持續發展，只有這樣設置的單元目標才能真正體現出整體性。

（3）整體進行單元回顧。學生學完一個單元后，要引導學生進行整體回顧，這樣在學習過程中能進一步構建知識體系，強化所發現的數學方法和數學規律，拓展認識。如“小數乘除法”單元，內容比較多，且難度較大，所以在單元復習時，可以圍繞小數乘、除法計算的關鍵環節，讓學生討論“小數乘、除法的計算與整數乘、除法有什么聯系？”“怎樣確定積的小數位數？”“怎樣把除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法？”三個問題，讓學生體會到：小數乘除法與整數乘除法有著密切的聯系，都可以轉化成整數的乘除法來計算，只不過需要另外考慮積或商的小數點位置，幫助學生進一步體會豎式計算的內在聯系，體會“轉化”這一數學思想方法的應用價值。

3.整體研析編寫意圖

數學教材是教師實現教學目標，開展教學活動的主要載體，也是師生共有的重要教學資源。每個教學例題都是根據課程標準精心挑選和設計的，所以例題中的每一個信息、圖例都不能忽略，豎式教學的例題也是如此。教師要領會教材編撰意圖，深刻把握教材本質，讓豎式不再“孤獨”。

（1）直觀操作，提升感知。在數學學習中，直觀操作能有效推動內在的思維，有利于把具體的感知上升為理性的認識。教材依據學生的認知特點，在三年級上冊前的豎式計算都安排了直觀操作，目的是通過有序的操作，幫助學生理解豎式的結構和計算過程。如二年級下冊的“有余數除法”，教材創設了把12個蘋果每5個放一盤的問題情境，引導學生通過在圖上圈一圈的操作，解決了平均分的問題，并告訴學生“有余數的除法也可以用豎式計算”。具體的操作活動，有利于他們體會有余數除法的算理和算法，進一步加深對除法含義的理解。

（2）凸顯過程，豐富認識。豎式教學的教材編寫非常關注學生數學知識的形成過程，我們在教學中要注重將操作過程、計算過程和算式書寫過程有機結合起來，以幫助學生更好地理解每一步算式的含義。

一是整合操作計算。如三年級上冊“兩位數除以一位數”，教材呈現“用小棒代替羽毛球分一分”的操作過程以及口算計算的方法，在此基礎上，讓學生用豎式表達分的過程和結果，并提示結果書寫的位置。這樣的操作過程和口算的方法，不僅能夠幫助學生解決問題，而且賦予程序化的豎式計算以現實的意義。

二是分步理解算理。如三年級下冊“兩位數乘兩位數”，在學生自主探索的基礎上，教材依次呈現了三個虛線框內容，又進一步抽象為一般寫法，這樣不僅讓學生清楚了每一步結果是如何得到的，而且明晰了每一步的計算結果所表示的實際意義。

三是突出差錯轉化。如五年級上冊的“小數加減法”，教材在出示情境圖后，讓學生聯系已有的知識經驗，獨立用豎式計算，然后進行差錯對比交流。通過對豎式書寫形式的比較和小數意義的分析，讓學生一下子明白了只有相同計數單位才能相加，從而更好地體會小數點對齊就能使相同數位上的數對齊這一意義。

四是展現推理過程。如五年級上冊的“小數乘小數”，學生已經具有將小數乘法轉化為整數乘法進行計算的初步經驗，教材先引導學生進行估算，為筆算提供了支持。接著教材提出問題，乘得的積發生了怎樣的變化？怎樣得到原來的積？通過豎式旁給出的形象的推理過程，幫助學生借助直觀認識并理解了算法。

（3）借助素材，支撐理解。隨著學生年齡的增長和生活經驗的豐富，教材從三年級下冊開始，選取了更多的學習素材來激發學生已有的生活經驗，用生活經驗支撐對豎式計算解法的理解。如三年級下冊的“兩位數乘兩位數”，通過“每箱南瓜24個，運來12箱，一共有多少個？”這個生活中的素材，啟發學生可以分別算出10箱和2箱的個數，再把兩次算出的結果相加，相機列出豎式，解釋每一步的意思，這樣就比較容易地讓學生理解了豎式的算理和算法。

（4）理清算理，生長經驗。在學生獲得大量計算活動經驗后，教材在內容編排上更加重視讓學生對計算法則進行歸納和總結，培養學生的歸納推理能力。如三年級上冊“三位數除以一位數”，在讓學生嘗試三位數除以一位數后，教材引導學生總結兩、三位數除以一位數的計算方法，回顧學過的除法，引導學生交流并進行概括，使學生對兩、三位數除以一位數的計算方法有了整體的理解。

豎式計算的學習需要學生經歷較長的認識過程才能逐步理解和掌握，我們要用整體系統的觀點，關注豎式的形成過程，引領學生在理解算理的基礎上掌握算法，從更深的層面認識和開發豎式這一知識的內在聯系，建立起網絡狀的豎式知識結構，進一步提升學生的數學素養。

（過曉偉，無錫市云林實驗小學，214102）

責任編輯：宣麗華