計算教學中應用數形結合思想的幾點思考

【摘""要】“數”與“形”是小學數學教材的兩條主線，更是小學數學的主要內容。“數”與“形”的相互轉化與結合既是數學的重要思想，也是解決問題的重要方法。本文就小學中低學段的數學教學，以數形結合為契機，挖掘教學內容，逐步培養學生基本的數學思想和邏輯思維能力，促進學生數學學習。

【關鍵詞】數形結合""計算教學

【中圖分類號】G622""""""""【文獻標識碼】A"""""""""【文章編號】1674-4810（2015）31-0072-04

“數”是指課程中包括數學思想、數學原理、數學法則等在內的所有知識與技能;“形”是指與知識、技能相關的各種教具、情景、輔助手段等;“數形結合”即把教具運用、情景設計、教學的輔助手段滲透到數學知識與技能的教學中去，并在整個過程中更好地幫助學生理解和思考，發揮他們的主體性，增強學生的學習興趣，提高學生的思維水平。實踐證明，數形結合與抽象思維協同運用是全面提高學生素質的重要方法，在數學教學中有至關重要的作用和地位。數學學科本身具有很強的抽象性，特別是計算教學，都是用一些數字加運算符號組成的。由于小學生自身的知識基礎有限，他們對抽象的計算比較難以接受，總是感到枯燥無味。因此，在計算教學中利用數形結合的思想使學生對數學的理解和思考更形象、更直觀。計算教學中，教師要有意識地引導學生巧妙地將“數”與“形”結合，兩者相輔相成，讓“數形結合”思想為計算教學護航。

一"背景與依據

1.腦科學的相關理論

腦科學科研成果表明，大腦的兩半球具有不同的功能，左半腦的功能偏重于抽象的邏輯思維，講究規范嚴謹、穩定封閉，如數的運算、代數式的運算和推理等。右半腦的功能則偏重于形象思維，講究直覺想象，如猜想、假設、構思開拓、奇異創造等。左、右半腦的功能各有特征，如果能互相補充就會使大腦功能更加健全和發達。“數形結合”同時運用了左、右半腦的功能，在培養形象思維能力的同時，也促進了邏輯思維能力的發展。

教學中運用形象記憶的特點，使抽象的數學盡可能地形象化，對學生輸入的數學信息和映象就更加深刻，從而幫助學生在頭腦中形成數學的模型，更好地理解和記憶。

2.學生思維水平發展的特點

從兒童思維發展特點來看：小學生的思維是從具體形象思維為主要形式逐步向抽象邏輯思維過渡，但這時的邏輯思維還是比較簡單的，且在很大程度上仍有具象性。因此，培養學生的形象思維能力，既是兒童本身的需要，也是他們后續學習的需要。小學中低學段孩子學習以興趣為主，關注“有趣、好玩、新奇的事物”，因此學習內容應多選擇與實際生活背景相關的符號、圖形、故事方面的情境，學生能夠通過各種數學活動將新舊知識聯系起來，思考現實中的數量關系和空間形式，由此來發展他們對數學知識的理解。而數學中的數量關系、量的變化等一般都是以符號（關系符號、運算符號、圖形、圖表）加以表示的。學生身心發展的特點和數學學科的抽象性特征決定了學生數學學習基本是一種符號化語言與生活實際相結合的學習。

學生的發展總體上具有階段性，其思維有一個逐漸抽象的過程。課標中提到，在課程中應充分考慮兒童心理發展的水平，一次抽象完成不了的課題，可以通過反復出現、多次抽象來完成。在小學中低年級，教師可以較多地呈現數形結合的材料，重復出現，螺旋上升，以幫助學生理解。數形結合既是一種數學研究方法，也是我們教師需要培養學生必備的數學思想。

3.學科本身的特點

數與形是數學研究中兩個重要方面。一方面，借助于圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟發。另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，更方便得到結論。小學數學教學比較注重形與數之間的聯系，讓學生獲得數、形的觀念，進而體會數學模型的結構。

二"意義與作用

1.利用數形結合，幫助學生形成數感

課標指出：計算應是學生經歷從現實生活中抽象出數和簡單的數量關系，在具體的情景中理解，并應用所學的知識解決問題的過程，應避免繁雜的運算，避免將運算和應用割裂開來。由此，我們可以看出計算教學擔負著數學課程所承擔的重要任務。新教材追求在計算教學的過程中結合學生的生活實際，并使學生逐步形成數感。將數的認識以及數的計算等知識的學習與具體實物、圖形相結合，運用數形結合的思想方法來進行教學。

小學生認數的規律是：先認識整數，包括認識一位數、整十數、認識兩位數、整百數和多位數，而后認識分數、小數、百分數……而且每一種數的認識都是在學生實際應用中進行的。他們在一開始認識數時是無法理解1、2、3……只能借用自身所熟悉的圖形，這就出現了：1幢房子、2個盒子、3個小朋友……來幫助構建數結構，最后抽象出l、2、3……建立了最初的數字結構。再往后的數的計算也是如此構建的。分數的認識，教材首先給出了一幅分蛋糕的主題圖，將一個蛋糕平均分給2個學生，每人只能分得其中的一半，學生已知的整數無法表示這半個蛋糕，于是就產生了學習分數的需求，老師介紹用1/2表示，從而引入了分數。教學初步認識小數時，教材提供了兩個情景，一是人民幣的價格，二是米尺。這兩樣在學生的生活中比較熟悉，可以更好地幫助孩子理解十進制的分數轉化成小數的方法，從而更好地形成數感。在五年級分數與除法一課中，2/3的意義既可以表示“把單位‘1’平均分成3份，取其中的2份”，還可以表示“把‘2’平均分成3份，取其中的1份”;還有2/3米，既表示1米的2/3，還表示2米的1/3。這么抽象的兩句話要讓孩子明白，還是用畫圖的方法最簡單，用2個圓片圖，簡單明了。

2.利用數形結合，幫助學生理解算理

計算教學不僅僅是要教給學生計算的方法，更重要的是要引導學生掌握算理。

在教學異分母分數加減法時，讓學生根據題意，列式計算1/2+1/4，教師在此基礎上引導學生進行比較，發現此分數加法與以前我們所學習的分數加法不同，從而揭示課題。異分母分數的加減法如何計算呢？教師先引導學生拿出一張長方形或正方形的紙，先折出這張紙的1/2，并涂色表示，再折出這張紙的1/4，并涂色表示，從而發現，涂色部分一共占這張紙的3/4。教師引導學生借助折紙的過程，得到了1/2+1/4=3/4這一結果，然后引導學生觀察已經折好的紙，原來左邊的1/2也可以用另一個分數2/4來表示，將1/2化成2/4的過程就是通分。如果借助多媒體課件進行演示，可以將大小相同的兩個圓疊在一起，利用透明色的設置使學生一目了然。在此基礎上，引導學生逐步概括出異分母分數加減法的計算方法。

教學多位數加減一位數時，利用小棒圖的演示，讓學生明白算理。比如53-5，老師首先呈現53根小棒（5捆3根），要從中拿走5根，學生提出不夠，那就從5捆中拆開一捆再分。退位減法的算理利用小棒的演示深入人心，看到小棒圖，小朋友們能激發更多的思維火花：有的說可以先減3根，再從50根中減2根;有的說可以從1捆中減去5根，剩下5根加上43……

再如在教學兩位數乘一位數的時候，為了能讓學生明白如何列豎式計算，為什么要這么寫，用數形結合的方式，可讓學生很快領悟到位，沒有灌輸的味道。在新授過程中先出示小棒圖3個12（12指1捆2根），3個32（3捆2根），4個21（2捆1根），然后讓學生看圖說結果：3個2根是6根，3個1捆是3捆，也就是30根，合起來就是36。學生對豎式為何這樣算，以及在豎式中的寫法已有了一定的領悟，只要教師再適當地評價與點撥即可，這是光用嘴講所無法做到的。

3.利用數形結合思想，提高學生計算能力

小學階段的學生，思維發展水平還不夠成熟，理解抽象的內容和一些有一定難度的計算還比較困難，但他們對直觀的、形象的內容比較容易理解。可以利用數形結合，把數學題化繁為簡，將某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

比如利用數軸幫助學生理解正負數的計算：

小紅的家在學校東面900米，記作+900米，小明的家在學校東500米，可記作（"""）米，從小紅的家走到小明的家，要走多少米？學生列式為900-500=400米。

小紅的家在學校東面900米，記作+900米，小明的家在學校西500米，可記作（"""）米，從小紅的家走到小明的家，要走多少米？學生列式為900-（-500）=1400米，有了直觀圖后，也可以直接列式為900+500=1400米。

在計算1/2+1/4+1/8+1/16時，可以提供一組圖，讓學生比較分析：

根據圖示，讓學生重點觀察陰影部分=1-空白部分，接著，每一題又轉變為：

1-1/2""""1-1/4""""1-1/8""""1-1/16

借助一組圖，解決了一類題，這就是數學的神奇之處。

4.利用數形結合，幫助學生發現規律

在小學階段訓練學生利用數形結合的方法觀察、分析問題，有助于學生學習抽象的知識，有助于提高學生數學思維水平。

三年級教學兩位數乘兩位數后，老師補充了這樣一個點子圖：

21×14：

根據圖意，讓學生分析圖中四個部分和兩位數乘法之間的關系，比對之后，學生能夠看出21×14=（20+1）×（10+4）=20×10+1×10+20×4+1×4。

圖的分析比對，給孩子計算兩位數乘兩位數多了一種解題策略，有助于孩子在四年級更好地學習乘法分配律，同時也為孩子在高年級學習多項式乘法建立一個雛形。

5.利用數形結合，培養學生思維能力

數形結合解題，實際上是一個“數”與“形”互相轉化的過程，即把題目中的數量關系轉化成圖形，將抽象的數量關系形象化，再根據對圖形的觀察、分析、聯想，逐步轉化成算式，從而達到問題的解決。

如：三年級思考題“將一個各位數字不相同的四位數的各位順序顛倒過來，得到一個新的四位數，如果新數比原數大4725，那么在所有符合這些條件的四位數中，最大的一個是多少？”在學生思考的過程中，可以引導學生假設原數是ABCD，那么新數就是DCBA，且滿足，從千位的D與A入手分析，可得符合條件

的最大四位數。

再如：“一個蛋糕豎直切6刀，最多能切成幾塊？”

通過觀察發現，要使切成的塊數最多，切時必須使每次的刀痕都相交。把豎直切的刀數與最多切的塊數排列、分析后，發現如下規律：

刀數"""""""""最多切的塊數

0"""""""""""""1=1

1"""""""""""""1+1=2

2"""""""""""""1+1+2=4

3"""""""""""""1+1+2+3=7

4"""""""""""""1+1+2+3+4=11

…"""""""""""…

N"""""""""""""1+1+2+3+…+N=M

根據以上規律，很快算出豎直切6刀最多能切出的塊數。

從這兩題中不難看出：“數”“形”互化的過程，既是解題的過程，又是學生的形象思維和抽象思維協同運作、互相促進的過程。正因為抽象思維的訓練有了形象思維做支持，從而使解法變得豐富而巧妙。

三"方法與策略

數形結合的方法具有雙向性：一方面認識“數”要借助“形”的生動直觀，也就是以“形”為手段，“數”為目的;另一方面在闡明“形”的屬性時要借助“數”的精確和規范，此時，“數”是手段。學生數學學習中直觀形象思維的主導地位決定了大部分數學知識學習需要“形”的支撐。

1.建立數學概念要借助“形”的直觀

由于數學概念的抽象與概括性，教學時要向學生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在數小棒、搭多邊形的過程中認識整數，在等分圖形中認識分（小）數;利用韋恩圖理解四邊形、平行四邊形、長方形、正方形的關系，學習三角形的分類等。同樣，學習運算概念（如“除法”“余數”）、數學術語（如“平均分”“大于”）等需要“形”的參與。

2.探索數學性質要依賴“形”的操作

數學性質是關于規律性的知識，應該讓學生自主探索發現，而形的操作有助于發現規律。如教學3的倍數的特征時可做如下設計：讓學生用9根小棒在數位方格圖中擺出三位數，記錄下來，分別計算判斷是否是3的倍數;然后用8根、6根小棒擺一擺呢？操作中學生發現，組成的三位數是否是3的倍數只與小棒的根數有關，而與擺的順序無關，用的小棒根數就是各個數位上數的和，進一步引導學生發現，每個數位上的小棒根數和這位數除以3的余數有密切關系。

3.形成數學規則需要“形”做材料

規則學習是學生技能形成的先導，那么讓學生明確規則的合理性、理解其意義，不僅在于理解算理，更重要的在于學會學習。利用數形結合能降低思維難度，讓學生有信心和能力歸納出數學法則。如學習20以內進位加法時是通過實物操作體會“湊十”的過程，一個盒子有10格，放了9個球，另外再加5個球，學生在實物圖前自然地想到把5個球中的一個放在盒子里湊“十”;在教學長方形面積計算方法時，通過“擺（利用小正方形擺大長方形）→數（小正方形個數）→想（個數與長寬關系）”等過程中獲得。

4.獲得解題思路要常用“形”來提示

借助圖形解題的最大優勢是將抽象問題形象化。因為將數量信息反映在圖形上，能直觀表現數量間的關系，從而獲得解題思路。尤其在解較復雜的文字題、應用題（如植樹問題、年齡問題等）時，選用線段圖、集合圖等是尋找解題途徑有效的手段之一。同時，在梳理知識的時候，可以指導學生將知識點畫成思維導圖或“知識樹”。

四"細節的把握

數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法。數形結合在數學解題中有重要的指導意義，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑。那么在實際教學中應該注意些什么呢？

1.主題圖的運用和開發

主題圖一般是寓知識、思想、情感于一體的圖畫，貼近生活。為了讓主題圖更好地發揮功能，體現數形結合的思想，我們應本著“源于教材，高于教材”的理念，深入挖掘主題圖的內涵，或進行科學合理的處理，不能被主題圖“牽著鼻子走”。

教師要逐步教會學生讀懂圖中的數學信息，提高學生的讀圖能力，讓主題圖更好地為理解教學內容提供幫助。同時在學生理解圖意的基礎上嘗試解決，并盡可能用不同的解法解答。在反饋階段，可充分結合主題圖讓學生理解算理。

2.適當引進線段圖、數軸

線段圖可以幫助學生將文字信息與數字信息轉化成圖形信息，并直觀地看到具體數量之間的一一對應關系。隨著學生的進一步學習，線段圖可以輔助他們解決疑惑，幫助學生將新知識納入到已有的認知體系中，實現“透過現象看本質”的目標。

線段圖的教學可以在一年級就開始滲透，比如：在教學一年級的圖文應用題時，教師可以有意識地引入線段圖，將題目中的“求總數”“求剩余”等關系用線段圖來表示。一般教師可以從實物圖—點子圖—線段圖的順序進行過渡，而后在三年級教學“倍”的問題時，學生不僅要看懂圖，還要會畫圖。這樣當學生學習和倍問題、差倍問題，高年級的分數應用題時就會看、會畫，用好線段圖這一“拐棍”了。

數軸是高年級的學習內容，也可以在低年級開始滲透，比如在教學近似數的時候，把四舍五入法放到數軸上展開教學，利用數形結合賦予四舍五入一個直觀的幾何解釋，有效地化解了教學難點。

3.一題多變、一題多解

在教學中常借助一題多解或一題多變的形式，突出已知與未知之間的聯系，引發學生提出新的思想、新的方法、新的問題，達到知識之間的融會貫通，發展思維的廣闊性和靈活性，激發學生的好奇心和求知欲，提高解決問題的能力。

4.知識點的密切聯系，促進數形結合

比如找規律的一道習題：

這題結果很容易得到，關鍵是題目本身蘊含了很多知識點的聯系，教師不能一筆帶過。孩子們可以結合立方體點、線、面、體的變化，直觀地認識計數單位“一”“十”“百”“千”，理解它們之間的十進制關系。題目中只需要孩子寫出下一個數，教師可以引導學生想象圖是怎樣的。再接著呢？圖是怎樣的？又是什么數？孩子們慢慢地發現了小方塊所組成的圖形也是有規律的，正方體—條狀—面狀—正方體—條狀—面狀……

挖掘知識點之間的內在聯系，讓學生在一次次的豁然開朗中體會到學習數學的價值和樂趣。

數學家阿蒂亞曾經說過：“代數是有序的邏輯，幾何是看得見的邏輯，概率是無序的邏輯。”正因為幾何是看得見的邏輯，因此利用幾何模型可以使小學生更容易接受，在這一過程中，數形結合思想、空間觀念的發展也能得到很好的體現。

在小學數學教學中，數形結合能為學生提供恰當的形象材料，可以把無形的解題思路形象化，將抽象的數量關系具體化，不僅有利于學生順利、高效地學習數學知識，更有利于學生學習興趣的培養、智力的開發、能力的增強，使教學收到事半功倍之效。最關鍵的一點，數形結合能使抽象枯燥的數學知識形象化、具體化，使得數學教學充滿樂趣。相信巧妙地運用數形結合，一定會引導學生由怕數學變成愛數學。

〔責任編輯：林勁、李婷婷〕