淺淡《九章算術》應用于小學數學的思考

【摘 要】《九章算術》是中國古代最重要的數學著作，作為算法化著作的代表，在數學史上有其獨到的成就，而且在小學數學各個版本的現行教材中均占了很大篇幅。因此，本文就《九章算術》融入小學數學教材這一主題進行論述，探索《九章算術》的教育功能，并對《九章算術》如何滲透到小學數學教材進行理性思考。

【關鍵詞】九章算術 小學數學 理性思考

【中圖分類號】G622 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）25-0079-04

《新課標》第四部分明確談到：“數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中。為此，教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數學在自然與社會中的應用，以及數學發展史的有關材料，幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，激發學習數學的興趣，感受數學家治學的嚴謹，欣賞數學的優美。例如，可以介紹《九章算術》、珠算、《幾何原本》、機器證明、黃金分割、CT技術、布豐投針等。”尤其是在初等教育的學習階段，小學數學教材作為學生系統學習數學的起點，有關數學史內容的滲透是很有必要的。與此同時，對于數學史在小學數學教材滲透過程中，我們必須要進行理性的思考。本文主要討論《九章算術》應用在小學數學教材中的內容。

《九章算術》是中國古代最重要的數學著作，也是世界數學史上極為珍貴的古典文獻。公元656年，李淳風受詔負責編撰的“算經十書”作為國學標準的數學教科書，而《九章算術》就是“算經十書”之一。《九章算術》作為算法化的代表，凝聚了古代學者的智慧，形成了我國古代初等數學體系，是數壇歷史上的一顆璀璨明珠。現傳本《九章算術》包括246道數學問題，按問題的性質劃分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股這九章數學內容，故稱為《九章算術》。《九章算術》不僅對我國古代數學的發展有著深遠的影響，同時也對現代初等數學具有一定的指導意義。

一 《九章算術》應用于小學數學教材的內容

第一章是方田，共38個題目，其中有一部分講的是平面圖形的面積計算問題，另一部分講的就是分數的四則運算法則。其中涉及的平面圖形有方田（長方形）、圭田（等腰三角形）、邪田（直角梯形）、箕田（等腰梯形）、圓田（圓形）、宛田（扇形）、弧田（弓形）、環田（圓環）。還提及了有關分數的約分、通分及分數的加減法和分數的大小比較等。這一章中運用到小學數學課本的有平面圖形的面積求法，例如：第1題指出計算長方形的面積方法，“術曰：廣從步數相乘得積步。”這里的“廣”是指長方形的長，“從”是指長方形的寬。還有運用分數的四則運算法則，例如：第10題指出分數減法的運算，“術曰：母互乘子，以少減多，余為實，母相乘為法，實如法而一。”這里的“母互乘子，以少減多，余為實”是指分子與分母交叉相乘，用少的減多，所得余數為分子；再分母相乘為分母，“實如法而一”就是得到的一個新分數。

第二章是粟米，共46個題目，主要講了谷物糧食的按比例折換，還有比例的算法。為了更好地進行物品交易，先是規定好了各種糧食之間的交換比例，然后在按比例折算，古代把正比例稱為“今有術”，并給這四項定了名字，分別是“所有率”“所有數”“所求率”“所求數”，就是已知其中的三項要求出第四項，所用的運算公式是：

所有率∶所有數=所求率∶所求數

例如“今有術曰：以所有數乘所有率為實，以所有率為法，實如法而一。”相當于

這一章的比例換算在人教版、北師大版等多種版本的小學數學課本均有涉獵。

第三章是衰分，共20個題目，提出比例分配法則，稱“衰分術”，是以“今有術”為基礎來處理各種比例分配問題。例如“衰分術曰：各置列衰，副并為法，以所分乘未并者各自為實，實如法而一。不滿法者，以法命之。”具體以第一題為例“大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共獵的五鹿。欲以爵次分之，問各得幾何？”既是按比率5∶4∶3∶2∶1計算每人應得鹿。這些比例的運算在小學數學

課本中有講解，也運用到了現實生活中的具體例子。

第四章是少廣，共24個題目，講的是面積和體積的開平方、開立方，反求其一邊長和徑長等的問題，這在小學數學課本中未涉及。

第五章是商功，共28個題目，講的是立體圖形的體積運算，例如“城、垣、堤、溝（底為等腰梯形的直棱柱）、渠，皆同術。術曰：并上、下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺”，就是我們小學數學課本中所學的梯形面積=（上廣+下廣）÷2×高，而等腰梯形的直棱柱的體積=梯形面積×袤，還有分割長方體后的各個立體圖形的體積，如：塹堵、陽馬等。

第六章是均輸，共28個題目，講的是平均攤派捐稅；用衰分術解決賦役的合理負擔問題。今有術、衰分術及其應用方法，構成了包括今天正反比例、比例分配、復比例、連鎖比例在內的整套比例理論，是粟米和衰分章的發展。

第七章是盈不足，共20個題目，講的是盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及可以通過兩次假設化為盈不足問題的一般問題解法。例如《九章算術》卷七第2題，“今有共買雞，人出九，盈十一；人出六；不足十六。問人數、雞價各為幾何？答曰：九人，雞價七十。”若每人出9，就比雞價多11；若每人出6，就比雞價少16。一般地假設人數為x，每人出錢a1盈b1，出錢a2不足b2。“盈不足術”相當于給出了解法：x=（b1+b2）÷（a1-a2），這些內容在小學數學課本中還未涉及到。

第八章是方程，共18個題目，講的是多元一次方程組應用問題解法；采用分離系數的方法表示線性方程組，相當于現在的矩陣；解線性方程組使用的是直除法，與矩陣的初等變換是一致的。除此，這一章還引進和使用了負數，并提出了正負術——正負數的加減法則，還有正負數的乘除法等。其中有運用到小學數學課本中的是正負數的引進和正負數的加減法。

第九章是勾股，共24個題目，講的是利用勾股定理來解決各種實際問題，與測量和繪圖有直接的聯系，勾股定理公式是指：若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則a2+b2=c2。

二 《九章算術》實例解析

本文將以人教版為例，研究小學數學教材的《九章算術》的內容，如下表：

由表1可以看出，小學數學教材中包含了大篇幅《九章算術》的內容，那么在《九章算術》中是如何闡述以上的數學內容，又體現了怎樣的數學思想方法，以下將以方程和負數為切入點進行闡述。

1.方程

第八章是方程，共18個題目，講多元一次方程組應用問題解法。《九章算術》的注釋者劉徽說：“程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程。”就是說物體未知的個數即是方程的個數。與此同時，為了使方程組有確切的解，劉徽對方程組提出了正確無誤的理論說：“行之左右無所同存，且為有所據而言耳”。就是說在方程組里既不能有相依方程，也不能有矛盾方程。

現以九章算術卷八第一題為例題，來闡述方程的算法程序。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？”對于此題，《九章算術》所提出的解法是“遍乘直除算法”，“直除”法就是連續相減的消元法。《九章算術》沒有表示未知數x，y，z的符號，而是用算籌將x，y，z的系數和常數項排列成一個方陣（如圖1）。

圖1

對于數學專業的學生而言，方陣的介紹及求解見大學的高等代數，因此通過列舉方陣的方法求解方程組對初等教育的學生而言是不太現實的。現今中小學的學生求解方程所使用的方法是通過x，y，z列舉三元一次方程組：

再通過消元法進行求解，古今求解《九章算術》的思想方法實質上是一致的，都是運用消元法，但是九章算術的過程相對而言不及解線性方程組簡便。

2.負數

負數的引進，是中國數學史的一個里程碑，這個記載比國外早了七八百年。《九章算術》卷八“方程”章是這樣介紹的：“正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”劉徽對此做了這樣的注釋：今兩算得失相反，要令正負以名之；正算赤，負算黑，否則以邪正為異。劉徽注釋為：正負是兩種“得失相反”情況的反映，用紅色算籌表示正數，黑色算籌表示負數，或者用正、斜排列的方式分別表示正、負數。

據調查，負數的內容在人教版、蘇教版和北師大版教材中均有涉獵，可見負數是初等數學的一個重要板塊。負數的歷史與介紹不僅應運用于小學數學教材中，作為高等師范學校的教師，也應該在數學史課程中對《九章算術》負數部分做重點介紹，使得他們在今后的教學中有足夠的知識儲備，為他們成為一名合格的小學教師做準備。

三 《九章算術》應用于小學數學教材的利弊

1.《九章算術》的優點

《九章算術》作為一部世界數學名著，理論聯系實際，題材多樣，由淺入深，既便于教學又適合自學深造。即使到現在，它在數學教育領域還有著極高的教育價值。

第一，有利于拓展學生數學知識面。《九章算術》算題在取材上豐富多樣，直觀形象。具體涉獵了小學數學八個方面的教學內容：圖形的面積、長方體體積的計算、十進位計算、最大公因數、約分、分數四則運算、方程、負數。書中很多題目只要稍加變換就可以成為比較好的教學題材。

第二，有利于學生更好地掌握數學思想方法。《九章算術》通過觀察—分析—歸納—概括這一循序漸進的步驟，總結出抽象的結論，對抽象理論輔以一定數量的實際問題來加深理解，蘊含了化歸、數形結合、構造數學模型等思想方法，利于學生創造性思維的培養。同時，對于學生從數學史的角度，尋找目前正在學習數學知識的本源，亦有一定的借鑒與探源作用。

第三，有利于將數學與生活結合起來。《九章算術》對中國數學的影響與歐幾里得《幾何原本》對西方數學的影響是一樣的。相對而言，歐幾里得的《幾何原本》 內容比較理論化，不僅不適合小學生學習，對成人而言也具有一定的難度。而《九章算術》秉承理論聯系實際的解題思維，將抽象思維轉化為具體思維，與現代數學“數學來源于生活，又回歸于生活”的思想大同小異。小學生學習具有直觀性、具體性的特點，以具體的實物為數學原型，利于學生掌握抽象的知識。

2.《九章算術》的缺點

《九章算術》的功績是值得肯定的，不過，社會在變遷，時代在發展，今人已經在古人的基礎上對 《九章算術》提出了新的見解，甚至得出更為簡便的計算方法，用現代數學的觀點去評價《九章算術》，它也存在些許不合理之處：

第一，它對任何數學概念都沒有定義，對于7～12歲的兒童來講，沒有一個準確的定義或者概括，學生則很難將所學的方法進行延伸、拓展。而且《九章算術》對數學公式，解法都沒有進行推導和證明，很難向小學生闡述方法的準確性，數學是一門嚴謹的學科，每一步都應有其理論依據。

第二，如果將《九章算術》的內容直接運用于小學數學教學中，這樣做并不合理，它的編排順序不適合學生的數學學習，而且隨著歲月的變遷、時代的發展，現代社會已經不存在《九章算術》所舉的實物例子，如果學生無法聯系到身邊的實物，這樣也就缺乏了理論與實踐相結合的意義。

第三，《九章算術》是古人智慧的結晶，由于那時沒有系統的理論體系，計算方法相對而言比較繁雜，而今，現代數學家已經簡化了《九章算術》的數學方法。

任何一本偉大的著作，都需要與時俱進才能發揮出其最大的價值，如果要將《九章算術》運用到小學數學現行教材中，則需要將其內容進行合理的改編，這樣才能突顯《九章算術》的教育價值及數學思想方法。

四 結束語

《九章算術》作為一本傳世的數學經典著作，是古代數學家研讀和學習的標準教科書，雖然《九章算術》的內容給看似枯燥的數學注入了新鮮血液，但是其在小學數學教材中的滲透，是要以學生為本而且要站在發展的角度去審視數學。對功底扎實的數學學習者而言，雖沒有直接闡述其數學觀，通過其體系結構亦不難看出蘊含其中的數學思想方法。但是對以形象思維為主體的小學生而言，他們需要的是一個對數學概念清晰的界定，否則會走進數學學習的誤區。因此只有將《九章算術》合理地運用于小學數學教材中，才能趨利避害，實現雙贏效果。

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〔責任編輯：林勁〕