從一道考題看學(xué)生分類討論意識(shí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年）指出：“分類是探索數(shù)學(xué)研究對(duì)象性質(zhì)的有效途徑，特別是對(duì)于幾何圖形分類，有利于培養(yǎng)幾何直觀性和思維的層次性。”本文通過(guò)對(duì)一道考題的測(cè)試結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分析學(xué)生分類討論意識(shí)的現(xiàn)狀。

再現(xiàn)原題

筆者所在學(xué)校是一所省級(jí)重點(diǎn)完全中學(xué)，生源整體較好，初三年級(jí)共有學(xué)生650余人.結(jié)合承擔(dān)的市級(jí)小課題“初中生數(shù)學(xué)分類討論能力的現(xiàn)狀與對(duì)策研究”的進(jìn)度，筆者在一模數(shù)學(xué)考試中設(shè)置了一道考查分類討論思想的題目，以期通過(guò)答題情況來(lái)管窺學(xué)生分類討論意識(shí)的現(xiàn)狀。

經(jīng)過(guò)層層篩選和慎重考慮，以2012年棗莊市中考數(shù)學(xué)第25題為原型進(jìn)行改編，將其設(shè)置為全卷的倒數(shù)第二道解答題。

例題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC斜靠在兩坐標(biāo)軸上放在第二象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0）。B點(diǎn)在拋物線的圖象上，過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為D，且B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3.求證：△BDC≌△COA；求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式；拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

答案：（1）略；（2）；

（3）存在，若，則；

若，則；

若，則，.

全等三角形模型十分常見；用待定系數(shù)法求直線的解析式非常基本；無(wú)論是“是否存在”的探究式設(shè)問(wèn)形式，還是有關(guān)直角三角形的分類討論問(wèn)題的考查內(nèi)容，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也都不陌生。其中，前兩問(wèn)是基礎(chǔ)題目，一方面為保證學(xué)生要在此題上得到一定的分?jǐn)?shù)，另一方面也為有一定難度的第三個(gè)問(wèn)題做思路和求解上的鋪墊；第三個(gè)問(wèn)題求解時(shí)需要分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)是顯然的，答案?jìng)€(gè)數(shù)的多少與相應(yīng)分?jǐn)?shù)的高低從一定程度上即可反映學(xué)生分類討論意識(shí)的強(qiáng)弱。

另外，制定評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，前兩個(gè)問(wèn)題為3分，第三個(gè)問(wèn)題是6分，為引導(dǎo)學(xué)生重視分類討論思想和體現(xiàn)人文關(guān)懷，第三個(gè)問(wèn)題的6分又細(xì)致如下：有一個(gè)正確坐標(biāo)給2分，有2個(gè)正確坐標(biāo)給3分，有3個(gè)正確坐標(biāo)給5分，有4個(gè)正確坐標(biāo)（即全部寫對(duì)）給6分；若從卷面顯見其分3種情況討論，不論最后答案是否正確，都給1分（滿分除外）；而寫錯(cuò)一個(gè)坐標(biāo)，至少扣掉1分。

結(jié)果及分析

據(jù)統(tǒng)計(jì)，實(shí)際參加一模數(shù)學(xué)考試有639人，該題平均得分6.62分，以下是具體情況及其分析。

由表1可以看到，639人中，有179人未做第三個(gè)題，有50人看錯(cuò)題目，有410人做過(guò)第三個(gè)問(wèn)題。為突出研究主題，忽略未做及看錯(cuò)題的229人。從剩余的410人中來(lái)看，學(xué)生的分類討論意識(shí)現(xiàn)狀，由表2可以看到，只討論一種情況的約占四分之一，表明這部分學(xué)生缺失分類討論的意識(shí)；而討論兩種情況的接近二分之一，表明這部分學(xué)生已有一定的分類討論意識(shí)，卻考慮不夠周全，分類討論的能力有待提高；有28.54%的人完整地討論了三種情況，表明這部分學(xué)生已經(jīng)具有較強(qiáng)的分類討論意識(shí)和一定的分類討論能力。

第三個(gè)問(wèn)題分別以C、A、P為直角頂點(diǎn)進(jìn)行討論求解時(shí)，以C為直角頂點(diǎn)的情況容易上手也最為簡(jiǎn)單，以P為直角頂點(diǎn)的情況不太好想也較為復(fù)雜，表3也反映了這一客觀事實(shí)。

由上分析可知，討論以P為直角頂點(diǎn)的情況是一個(gè)難點(diǎn)，那么學(xué)生在具體求解時(shí)都是怎么做的呢？這里，以得11分（因計(jì)算失誤或符號(hào)問(wèn)題寫錯(cuò)一個(gè)坐標(biāo)）、12分的37人為樣本調(diào)查學(xué)生的解題方法，見表4。

由表4不難發(fā)現(xiàn)，優(yōu)秀學(xué)生的解法呈現(xiàn)出多樣性，主要集中在應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式和構(gòu)造圓（利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”與圓也密切相關(guān)）的方法上，的確令人倍感鼓舞。

引發(fā)思考

學(xué)生的分類討論意識(shí)需加強(qiáng) 該題第三個(gè)問(wèn)題無(wú)論從問(wèn)題情境還是求解策略，都不應(yīng)該成為“難題”，可639人中仍有179人“無(wú)動(dòng)于衷”，仍有50人連題目都沒(méi)有弄清楚，仍有98人僅討論了一種情況。若將此三類都理解為學(xué)生缺乏分類討論的意識(shí)，則全年級(jí)缺乏分類討論意識(shí)的比率高達(dá)51.17%，這是令人深思的。

眾所周知，分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中最為重要的數(shù)學(xué)思想之一，而初中數(shù)學(xué)的諸多基礎(chǔ)知識(shí)和例習(xí)題均與分類討論密切相關(guān)。在實(shí)際教學(xué)中，如何利用好這些素材，并系統(tǒng)地滲透分類討論思想，以提高學(xué)生的分類討論意識(shí)和能力，是一個(gè)非常有價(jià)值的研究課題。

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)亟待優(yōu)化 求解第三個(gè)問(wèn)題時(shí)，延長(zhǎng)BC與對(duì)稱軸相交求出P1是容易的，得到P1后根據(jù)對(duì)稱求出P2也是容易的，即在較強(qiáng)的分類討論意識(shí)下，本題得到10分應(yīng)該是容易的。可事實(shí)上，由表1知，本題得分大于或等于10分的僅有80人，約占總?cè)藬?shù)的12.52%，所有預(yù)設(shè)中的“容易”其實(shí)都“不容易”。學(xué)生在解決此題過(guò)程中，暴露出思維上的諸多缺陷：入手就討論以P為直角頂點(diǎn)的情況（有15人），書寫過(guò)程時(shí)并未按照先討論C、后討論A、最后討論P(yáng)的從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的順序，反映出思維上的雜亂無(wú)章；195人中，有184人已討論了分別以C、A為直角頂點(diǎn)的兩種情況，按理說(shuō)接下來(lái)再考慮以P為直角頂點(diǎn)的情況是很自然的，可見學(xué)生思維的周密性并不樂(lè)觀；由表3可知，已有143人意識(shí)到存在以P為直角頂點(diǎn)的情況，卻僅有四分之一多的學(xué)生突破了“難關(guān)”，反映了學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力還有待提高，數(shù)學(xué)思維能力尚較膚淺；特別需要提及的是，在求解分別以C、A為直角頂點(diǎn)的情況時(shí)，有相當(dāng)一部分學(xué)生從勾股定理入手直接套用兩點(diǎn)間距離公式，大部分都因公式記憶錯(cuò)誤，或公式理解不到位（表現(xiàn)在符號(hào)上），或計(jì)算繁瑣而得不出正確結(jié)果，不會(huì)具體問(wèn)題具體分析，特殊情況特殊處理，不能根據(jù)問(wèn)題求解的狀況及時(shí)調(diào)整求解策略，這反映了思維定勢(shì)對(duì)學(xué)生的消極影響。

概言之，僅從這一道題的答題情況來(lái)看，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有序性、周密性、深刻性、靈活性都亟待提高，需要教師在平時(shí)的教學(xué)中從優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)入手培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

課外拓展意見 實(shí)際上，兩點(diǎn)間距離公式、互相垂直的兩直線的斜率之積為-1以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等，都是高中數(shù)學(xué)解析幾何部分的內(nèi)容。由表4可知，這些知識(shí)卻由各種途徑（教師課內(nèi)滲透或課外輔導(dǎo)班補(bǔ)充等）悄然傳至學(xué)生。從閱卷反饋來(lái)看，知道這些知識(shí)的人不少；但能真正理解，并正確應(yīng)用的學(xué)生卻微乎其微，不但不能給學(xué)生的解題帶來(lái)便利，反而影響了其實(shí)際潛能的正常發(fā)揮，更為嚴(yán)重的是，部分學(xué)生深感數(shù)學(xué)之繁難，不能認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本來(lái)面目，甚至從此遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)。

事實(shí)上，教師在試卷講評(píng)時(shí)，就產(chǎn)生了分歧，如何講解此題，尤其是講解哪些方法是一個(gè)不能回避的問(wèn)題。以筆者拙見，從“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”入手講解，并滲透構(gòu)造圓的解法即可。

（作者單位：陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)）